数学分析三试卷及答案

1、数学分析（三)参考答案及评分标准一。 计算题（共8题，每题9分，共72分）.1. 求函数在点(0，0）处的二次极限与二重极限。解：，因此二重极限为。（4分)因为与均不存在，故二次极限均不存在。 （9分）2. 设 是由方程组所确定的隐函数，其中和分别具有连续的导数和偏导数,求.解： 对两方程分别关于求偏导：, （4分）。解此方程组并整理得。 （9分）3. 取为新自变量及为新函数，变换方程。设 （假设出现的导数皆连续）.解：看成是的复合函数如下:. (4分）代人原方程，并将变换为。整理得：. （9分)4. 要做一个容积为的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？解: 设圆桶底面半径为，高为,则原问题

2、即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数： ,约束条件： 。 (3分） 构造Lagrange函数：.令 （6分） 解得,故有由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为高为时,制作圆桶用料最省. （9分）5. 设，计算.解：由含参积分的求导公式 （5分). （9分）6. 求曲线所围的面积，其中常数。解：利用坐标变换 由于,则图象在第一三象限,从而可以利用对称性,只需求第一象限内的面积。. （3分)则 （6分）。 （9分）7. 计算曲线积分，其中是圆柱面与平面的交线(为一椭圆),从轴的正向看去,是逆时针方向。解:取平面上由曲线所围的部分作为Stokes公式中的曲面，定向为上侧，则的法向量为

3、. (3分）由Stokes公式得（6分）（9分）8。 计算积分，为椭球的上半部分的下侧。解：椭球的参数方程为,其中且. (3分）积分方向向下,取负号,因此， (6分)（9分） 二. 证明题(共3题，共28分）.9.（9分）讨论函数在原点(0,0)处的连续性、可偏导性和可微性。解：连续性：当时，当，从而函数在原点处连续。 （3分)可偏导性:,即函数在原点处可偏导。（5分）可微性： 不存在，从而函数在原点处不可微。 （9分）10。（9分)（9分) 设满足:(1）在上连续，（2）,（3）当固定时,函数是的严格单减函数.试证：存在，使得在上通过定义了一个函数，且在上连续.证明：（i）先证隐函数的存在性

4、。由条件（3）知,在上是的严格单减函数，而由条件（2)知，从而由函数的连续性得， .现考虑一元连续函数。由于,则必存在使得， 。同理，则必存在使得, 。取，则在邻域内同时成立, . （3分)于是,对邻域内的任意一点,都成立, 。 固定此,考虑一元连续函数。由上式和函数关于的连续性可知,存在的零点使得0. 而关于严格单减，从而使0的是唯一的。再由的任意性，证明了对内任意一点,总能从找到唯一确定的与相对应，即存在函数关系或.此证明了隐函数的存在性。（6分）(ii）下证隐函数的连续性.设是内的任意一点，记。对任意给定的，作两平行线， 。由上述证明知， 。由的连续性,必存在的邻域使得, ， 。对任意的

5、，固定此并考虑的函数，它关于严格单减且， 。于是在内存在唯一的一个零点使,即 对任意的，它对应的函数值满足.这证明了函数是连续的. （9分)11.（10分）判断积分在上是否一致收敛，并给出证明.证明：此积分在上非一致收敛.证明如下：作变量替换，则. (3分)不论正整数多么大，当时，恒有。 （5分）因此，（7分)，当时。因此原积分在上非一致收敛。 （10分）注：不能用Dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：尽管对任意的积分一致有界，且函数关于单调，但是当时，关于并非一致趋于零.事实上，取 相应地取,则，并非趋于零。 数学分析3 模拟试题一、 解答下列各题（每小题5分，共40分)

6、1、 设求;2、求3、设求在点处的值;4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；5、求函数在点处的梯度；6、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线方程；7、计算积分：；8、计算积分：;二、 （10分）求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。三、 （10分)若是由和两坐标轴围成的三角形区域，且，求四、 （10分)计算，其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 .五、 （10分）计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。六、 （10分)计算，其中是半球面.七、 （10分）讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性.参考答案一、解答下列各题（每小题5分,共40分)1、 设求；解：；

7、。2、求；解：3、设求在点处的值；解:.4、求由方程所确定的函数在点处的全微分；解:在原方程的两边求微分，可得将代入上式,化简后得到5、求函数在点处的梯度；解：。6、求曲面在点(1，2，0）处的切平面和法线方程;解:记在点（1，2,0)处的法向量为：则切平面方程为：即法线方程为：，即。7、计算积分：；解:而在上连续，且在1，2上一致收敛,则可交换积分次序，于是有原式.8、计算积分：；解：交换积分顺序得:八、 求内接于椭球的最大长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。解：设长方体在第一卦限的顶点坐标为(x,y，z），则长方体的体积为：拉格朗日函数为 由 解得:根据实际情况必有最大值,所以当长方

8、体在第一卦限内的顶点坐标为时体积最大.九、 若D是由和两坐标轴围成的三角形区域，且,求解:十、 计算，其中是由圆周及所围成的在第一象限内的闭区域 。解：.十一、 计算，其中为，的全部边界曲线，取逆时针方向。解：由格林公式:所以十二、 计算，其中是半球面。解：十三、 讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。解：，而收敛，所以由M判别法知，在内的一致收敛. 数学分析3 模拟试题十四、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设，求；2、，求；3、设，求;4、设是方程所确定的与的函数,求；5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。7、计算积分：;8、计

9、算积分:；二、 （10分)原点到曲线的最大距离和最小距离.三、（10分)已知，其中为球体：，求四、（10分）计算，其中D是由圆周所围成的区域。五、（10分)计算，其中为圆周，取逆时针方向。六、（10分)计算,其中为锥面被拄面所割下部分。七、 (10分)讨论含参变量反常积分在内的一致收敛性。参考答案十五、 解答下列各题（每小题5分，共40分）1、设,求；解:.2、，求;解:。3、设，求；解:.4、设是方程所确定的与的函数，求;解：方程两边求微分，得.5、求函数在点处沿从点到点的方向导数；解:方向即向量的方向,因此x轴到方向的转角.故所求方向导数为:.6、已知曲面上点P处的切平面平行于平面，求P点的坐标。解：设P点的坐标为，则P点处的切平面为又因该平面与平面平行，则有 ，即。7、计算积分:;解：而在上连续，且在2,3上一致收敛，则可交换积分次序，于是有原式。8、计算积分：；解：交换积分顺序得:三、 原点到曲线的最大距离和最小距离.解：设P(x，y,z）为曲线上任意点，则目标函数为，约束条件为,建立拉格朗日函数：由 得驻点：和，根据实际情况必有最大值和最小值,。四、 已知，其中为球体：，求解：用球坐标计算，得故。四、计算，其中D是由圆周所围成