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文档简介

1、2008年中山大学研究生入学考试高等代数试题解答摘要：本文给出了中山大学2008年研究生入学考试高等代数试题的一个参考答案.关键词：中山大学；研究生考试；高等代数白建超2012年10月12日星期五一、(10分)设方阵满足，证明可逆，并求.解 .故可逆，且.二、(10分)判断二次型的正定性.解 二次型对应的矩阵为，其一阶、二阶、三阶顺序主子式分别为.显然矩阵非正定.三、(10分)若互素，且整除，证明整除.解 ，such that ,两边同乘以得，Clearly，.四、(15分)证明：若维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关.解 设，用右乘此式，得，又为非零向量，故，同理可证，故线性无关.五、

2、(15分)设是阶可逆矩阵,证明：.证明 是阶可逆矩阵，则有，且有.注：不是阶可逆矩阵时，亦有上述结论.证明 时已证；，又，所以，于是的任何阶子式都为零阵，故，所以.六、(15分)已知矩阵，求中所有元素的代数余子式之和.解 经计算，除上述涵盖的代数余子式外，其余的代数余子式均为2，故.七、(15分) 已知阶矩阵若矩阵的秩为，求的值.解 矩阵的秩为，则，而.显然（否则，与已知矛盾），故只能，即.八、(20分)证明：设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量.如果各不相等，则线性无关.证明 此题在于证明属于不同特征值的特征向量线性无关.下面用数学归纳法给出详细证明.因为特征向量非零，故单个特征向量线性无关，不放假设线性无关，设 (1)(1)式两边同乘以得 (2)(1)式两边同乘以矩阵得 (3)(3)-(2)得由假设且各不相等知，将其代入（1）式得九、（20分）计算阶矩阵解 按第一列展开的作特征方程得特征值为（1）当时，分别令得，所以（2）当时，分别令得，所以十、（20分）试求一个正交相似变换矩阵，将下列对称矩阵化为对角矩阵：.解 利用特征值与特征向量求.特征多项式为，故特征值为.对，解奇次方程组得特征向量为对，解奇次方程组得特征向量为将上述特征向量正交化得将其单位化得令，则为正交矩阵，且有说明：本

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