一类二阶变系数线性微分方程的解用于合并王以霞2

1、一类二阶变系数线性微分方程的求解王以霞 指导老师：张有为（河西学院数学与统计学院 甘肃张掖 734000）摘 要 本文通过变量代换,找到了将一类二阶变系数线性微分方程化为二阶常系数线性微分方程所应满足的条件,同时,利用构造法构造了一类二阶变系数线性齐次微分方程及其解,并给出了二阶变系数线性齐次微分方程存在非零解的条件关键词 变系数; 构造法; 自变量代换; 未知函数代换; 线性微分方程中图分类号A kind of two order variable coefficient linear differential equationsWang Yixia Instructor: Zhang Yo

2、uwei(School of mathematics and statistics, He Xi University , Zhangye, Gansu, 734000 )Abstract This article through variable substitution, found a kind of two order variable coefficient linear differential equation of two order linear differential equation with constant coefficients should satisfy t

3、he conditions, at the same time, using the structure method of a kind of two order variable coefficient linear homogeneous differential equation and its solution, and gives two order variable coefficient linear homogeneous differential equation existence of non zero solution.Keywords Variable coeffi

4、cient; constant coefficient; construction method; variable substitution of unknown function; substitution; linear differential equation.在实际问题中,二阶变系数线性微分方程广泛的应用于应用数学、工程技术、及力学等重要领域但却没有统一解法,因此,寻求二阶变系数线性微分方程的求法变得尤为重要,本文针对一类特殊的二阶变系数线性微分方程(1)(设,在区间上连续)将其化为二阶常系数线性微分方程求解,并给出了应用举例同时,利用二阶变系数齐次微分方程 的系数,之间的关系,构

5、造某些二阶变系数线性齐次微分方程及其一个非零解,并利用常数变易法可求出方程的通解1 预备知识 引理 (刘维尔公式) 设,是方程的任意个解,是它的朗斯基行列式,则对上的任一皆有 引理 对于二阶变系数线性齐次微分方程,若能求得它的一个非零解,由刘维尔公式即得它的通解（其中、为任意常数）2 主要定理及其应用2.1 自变量代换定理 设方程的函数,满足条件(为任意常数),其中,则方程的通解可求出 证明 作自变量的代换,反函数为,则有:, . 将,代入方程化为:令,则可确定出,于是方程可化为也就是说,对方程可作代换将方程化为的系数为1或-1的二阶线性微分方程,再由条件此方程化为这是常系数线性微分方程通解可

6、以解出,因而方程通解便可求出,证毕推论 若取,即当时,在自变量代换下可将方程化为常系数线性方程下面举例说明上述定理及推论的应用 例1 解方程 解 方程写成 ,当时,取为新的自变量=,则原方程化为.其通解为（、均为常数）.于是原方程的通解（、均为常数） 当时, 取为新的自变量 =,则原方程化为,其通解为（、均为常数）于是原方程的通解为（、均为常数）例2 解方程 解 ,取,则 取新的自变量,则原方程化为,其通解为原方程的通解为其中、均为任意常数2.2 未知函数的代换 定理 方程可通过未知函数的变换（其中为待定的连续可微函数, 为未知函数）化为常系数线性微分方程的充要条件为,且可通过变换将方程化为（

7、其中、是任意常数）证明 引进新的未知函数和待定的连续可微函数,则有代入方程得:欲使上式化为常系数线性微分方程,必须选取使, 其中、为任意常数由得,即得将代入式得到其中为任意常数由此可知,作变换, 则方程化为推论 若,则方程可化为欧拉方程推论 若,则方程化为可积型推论 若,即时,方程可通过变换化为 注:推论2,推论3,推论4的证明可由定理2及其下列举例得到 例3 解时的贝塞尔()方程 解 方程化为则,且 令, 则方程化为（、为任意常数）此方程的通解为（、为任意常数） 例4 求解 解 由于, 满足推论2可取代换,化方程为,这是欧拉方程,可求得解为 故原方程的通解为其中、为任意常数 例5 求解解 此

8、非齐次方程有特解,它对应的齐次方程为因,满足推论3,故可取代换 化齐次方程为显然是解,可通过降阶求得另一线性无关的解=即可得通解 即原方程的通解为其中、为任意常数2.3构造法定理 二阶变系数线性齐次微分方程有形如的非零解的充要条件是存在非零可微函数,使得它满足 证明 必要性 设方程有形如的特解,其中为非零可微函数,将其代入并整理由于则有,整理得即满足充分性 如果存在函数满足条件由于,用乘以式两边得到整理即得 即函数满足方程推论 在方程中,已知在区间上连续,且为,常数,则方程有形如的特解的充要条件是注:证明由定理3即可得到例6 已知,求具有形如的非零解的二阶线性微分方程及其通解解 由推论5知,所求的微分方程系数,满足若取（这里可以根据需要取一个常数,所取数值不同将得到不同的分方程及其通解）得到,因此所求微分方程为 ,有非零解,则有引理得该方程的通解为,其中为,任意常数本文通过对一类二阶变系数微分方程解及通解求法的寻求,从而达到了求解一类二阶变系数微分方程的目的,并且给出了应用举例参 考 文 献1东北师范大学数学系编场微分方程M北京:高等教育出版社,20042罗亚平,陈仲场微分方程M南京:南京大学出版社,19873钱祥征场微分方程解题方法M湖南:湖南