856高等代数考研真题答案

1、2011年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码：856考试科目名称:高等代数一.(40分，每题4分)答：1.(C)2.(B) 3.(D)4.(D) 5.(C)6.(B) 7.(A)8.(B)9.(A)10.(D)(20 分)(1).证明：如果(f (x), g(x) =1,(f (x), h(x) =1 ,那么(f (x),g(x)h(x) =1 .(2).命题“如果:-是f (x)的m重根，那么是f (x)的m 1重根”对吗？若你 认为这个命题是对的，给出一个证明。若你认为不对，请举出反例。答：(1).如果f(x)与g(x)h(x)不互素，那么存在不可约多项式p(x),使 p(x

2、| f (x)并且 p(x| g(x)h(x). (5 分)由后者可知，p(x| g(x)或者 p(x| h(x),都 与(f(x),g(x) =1 及(f (x),h(x) =1 矛盾。(10 分)(2).命题不对(4分)。反例：取f(x) = x2-1,则厂(x) = 2x. 0是厂(x)的1重根，但0不是f(x)的2重根。(10 分).(15分)已知行列式11143171137-35.求 A12 A22A32 A42，其中 Aij 是兀素 a”的代数余子式。解：考虑行列式C1114111137-35，按它的第二列展开。(5分)由于C和D除了第二列外均相同,A!2 A22 A32 A42，

3、(10分)而计算可得1114111137-35-12-1-1-54.所以 A12 A22 A32 A42 二-54. ( 15 分)123L1-10L四.（20分）计算n阶行列式02-2LMMM000Ln - 1n - 1解：各列加到第一列;按第一列展开。1+2 + + n23n -1n0-1000原式=0-2-23 . 00000n -11 n-10-002-200= (1+2+n)a19300n -11 n= (12n)(-1)n( n-1)! (10 分) (15 分) (18 分)=-(-1)nJL(n 1)! .(20分)2五（ 10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为=

4、（2,-1,2）解：考虑以 =（2, -1,2）为解的方程k1x1 k2x2 k3X3 = 0，那么 K 2 k2-1) k3? =0. (3分)把它看成k, ,k2,k3的方程。得到基础解系(1,2,0),( -1,0,1) (7 分)由此得到方程组_X12x2X3=0 (10 分)它以=（2, -1,2）为基础解系六 （ 15分）设数域P上的3维空间V的线性变换A在基123下的矩阵为ri 4 -i、150.求线性变换A 2+A +2A二在基o（.，下的矩阵。I1 4 解：线性变换s由于所以-1214-1（14-r+15+ 215）44-45、-11 2、1在基a!, a2, a3下的矩阵为

5、（5 分）-11-1114-1、4-1、F14-r5168、15+15+ 215=736-3444（1 分）（15 分）七. （15分）设二 是n维欧氏空间V的一个正交变换，证明二 的不变子空间的正交 补也是二的不变子空间。证：设W是二的任意一个不变子空间，；,，；m为W的一组标准正交基，把它扩充成V的一组标准正交基 ；1,，；m,，；n, （ 5分）则 W=L（；1，；m）,W-二L（ m 1,，；n） （ 8分） 由于二为正交变换，所以二；1,；2厂，5 也是标准 正交基.（1分）又由于W是匚的不变子空间，所以匚壬空,F；m是W的一组标准 正交基，从而二G1，GW - （ 12分）任取：=am1 mgn W_,那么二（）=存（；m 1）裁（；n），故W -是二的不变子空间.（15分）八. （15分）设二是n维欧氏空间V的一个线性变换.如果 匚关于一个标准正交基的矩阵是实对称矩阵，那么 匚是一个对称变换.证：设匚关于V的一个标准正交基r2,n的矩阵A = （aj）是对称的.令nn =7托冷，y门 是V的任意向量. （2分）i 4i 4广nn那么 &（）=送 xGi）,送 yj （4分）Xz丿广 n n nA=:Z Xi 2 aNk I，送 yjGj （6分）“ lk 土丿j4丿=Z lZ akiXi *k正 yjGj （8分）芒二J壬 丿 j二丿n n