黄金分割专项练习30题

1、黄金分割专项练习2, ABC 中,1定义：如图1，点C在线段AB上，若满足 aC=BC? AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图AB=AC=1 / A=36°, BD平分/ ABC交 AC于点 D.(1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2) 求出线段AD的长.2.如图，用长为 40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD( AB>AD).D.C40cmAB(1) 若这个矩形的面积等于 99cm2，求AB的长度；(2) 这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出 AB的长度，若不能，说明理由；(3) 若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比返二丄)，求该矩形的面积.

2、(结果保留根号)29在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时,称矩形ABCD为黄金矩形ABCD请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.如图，设 AB是已知线段，在 AB上作正方形 ABCD取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB以线段 AF为边作正方形 AFGH则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.12 .已知AB=2,点C是AB的黄金分割线，点 D在AB上，且 AeJ=BD? AB求丄 的值.AC14五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C,

3、 D分别是线段AB的黄金分割点,AB=20cm 求 EC+CD勺长.是比较好看的黄金身段.15人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为时,个身高的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？17.如图，点P是线段AB的黄金分割点，且 AP> BP,设以AP为边长的正方形面积为 Si,以PB为宽和以AB为长的 矩形面积为S2,试比较S1与S2的大小.18 .如图，在平行四边形 ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且 D为AE的黄金分割点，即 觇护; ' 抠,BE交 DC于点F,已知丄 -1，求CF的长.二二+那么称点P为线段AB的

4、黄團】20.（如图1）,点P将线段AB分成一条较小线段 AP和一条较大线段 BP,如果金分割点，设十，则k就是黄金比，并且心（1） 以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰 APB（如图2）,等腰 APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为: 满足尺的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：腰怎廨一（2） 如图1,设AB=1,请你说明为什么 k约为；I将一个面积（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线为S的图形分成面积为 Si和面积为S?的两部分（设SiV S?），如果S2 S，那么称直线I为该图形的黄金分割线.（如图3）,点P是线段A

5、B的黄金分割点，那么直线 CP>ABC的黄金分割线吗？请说明理由;（4）图3中的 ABC的黄金分割线有几条？21 在人体躯干（脚底到肚脐的长度） 与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点， 即比例越接近，越给人以美感.张 女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为，她的身高为，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分 位）23.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD先折出BC的中点E,再折出线段 AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B',因而EB =EB类似地，在 AB上折出点B使AB =AB .这时B就 是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.2

6、5. 如图，在 ABC 中，点 D在边 AB上，且 DB=DC=AC已知/ ACE=108 , BC=2.（1）求/B的度数；（2） 我们把有一个内角等于 36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比 （或者底边长与腰长的比）等于黄金比2 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； 求AD的长； 在直线AB或BC上是否存在点P （点A、B除外），使 PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P,简要说说明理由.28 折纸与证明 用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1）,先将一张正方形纸片 ABCD对折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE勺对角线BF. 第二步：如图（2）,

7、将AB边折到BF上，得到折痕BG试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG>GD）PAD29.三角形中，顶角等于(1)(2)(3)36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在 ABC中，已知：AB=AC且/ A=36°.在图1中，用尺规作 AB的垂直平分线交 AC于D,并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)； BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；设.，试求k的值；如图 2,在AA iBiG 中，已知 AiBi=AQ,/A 1=108°的值.，且 AiBi=AB,请直接写出(4)AC站30.如图1，点C将线段AB分成两部分，如果=h，

8、那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课 Ad AC题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线I将一个面积为S的图S | S 2形分成两部分，这两部分的面积分别为S1, S2,如果二丄，那么称直线I为该图形的黄金分割线.S S1(1) 研究小组猜想：在 ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图 2),则直线CD是 ABC的黄金分割线.你 认为对吗？为什么？(2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3) 研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点E,再过点D作直线DF/CE交AC于点F,连 接EF (如图3

9、),则直线EF也是 ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4) 如图4,点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF/ AD交DC于点F,显然直线EF是平行ABCD各边黄金分四边形ABCD的黄金分割线请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形黄金分割专项练习30题参考答案:1. (1)证明：T AB=AC=,1/ ABCM C=_ (180°/ A)=丄(180° 36°) =72°, BD平分/ ABC交AC于点D,/ ABD/ CBD=/ ABC=36 ,2/ BDC=180 36° 72° =

10、72°, DA=DB BD=BC AD=BD=BC易得 BDSA ABC BC AC=CD BC,即 BC=CC? AC AD2=CCP AC,点D是线段AC的黄金分割点；(2) 设 AD=x 贝U CD=AG AD=1- x ,2/ AD=Ct7 AC x2=1 - x,解得 X1= , X2=即AD的长为二22 .解：(1)设 AB=xcm 贝U AD= (20 - x) cm, 根据题意得x (20 - x) =99 ,整理得 x - 20x+99=0 ,解得 X1=9 , X2=11 , 当 x=9 时，20 - x=11 ;当 x=11 时，20 - 1仁9 , 而 AB&

11、gt; AD所以x=11,即AB的长为11cm；(2) 不能.理由如下：设 AB=xcm 贝V AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 - x) =101 ,整理得 x - 20x+101=0 ,因为 =202- 4X 10仁-4 V 0 ,所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；(3) 设 AB=xcm 贝U AD= ( 20 - x) cm,根据题意得20解得 x=10 ( 口- 1),则 20 - x=10 ( 3-心)所以矩形的面积=10 ( 1) ? 10 (3-.二)=(400 口- 800) cm2.3. 解：(1)v/A=36° ,

12、AB=AC / ABC/ ACB=72 ,/ BD平分/ ABC / CBDM ABD=36 , / BDC=72 , AD=BD BC=BD ABCA BDC.BD=CD 即 AD=_CDAB=BC , I AC=AD , aD"=ac? cd点D是线段AC的黄金分割点.(2)v点D是线段AC的黄金分割点，- 1 AD=AC,2/ AC=2- AD=： !14. 解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2) 作法：画线段 AB作为三角形底边； 取AB的一半作 AB的垂线 AC,连接BC 在BC上取CD=CA 分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为 E； 分别连接EA、

13、EB贝忆ABE即是所求的三角形.(3) 证明：设 AB=2 贝U AC=1, BC= - , AE=BE=BD=B-CD= 7 - 1 , 匹馮-177-.5.解：(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,则 AP=2X 宀 =.口- 1 ,或 AP=2-(!.- 1) =3- . !，;6 .解：(1)设 AC=x 贝U BC=AB- AC=1- x , / ACBC? AB,2 x =1 X( 1 - x),整理得x +x - 1=0 ,所以线段AC的长度为(舍去)Vs J-(2)设线段AD的长度为x , AC=l ,2/ AD=CD? AC2 x =1 x( l - x),.-i+Vs、i

14、 - Vs-，x2=2(舍去)线段AD的长度;-AC;2(3) 同理得到线段 AE的长度 5 - AD27上面各题的结果反映： 若线段AB分成两条线段 AC和BC(AO BC),且使AC是 AB和BC的比例中项(即AB: AC=AC BC),则C点为AB的黄金分割点7.解：D是AC的黄金分割点.理由如下：在 ABC 中，AB=AC / A=36° ,1/ ABCM ACB= *''=72°.2/ 1=M 2,/ 1=M 2=丄M ABC=36 .2在厶 BDC中，/ BDC=180 -M 2-M C=72 , M C=M BDC BC=BDvM A=M 1,

15、 AD=BC/ ABC和厶 BDC中，M 2=M A,M C=M C, ABCA BDC朋二EC bdP，又 v AB=AC AD=BC=BD AC _ AD2 AD=AC? CD即D是AC的黄金分割点& 证明：v AB=AC M A=36° , M ABC (180°- 36°) =72° ,2v BD平分M ABC交于AC于 D,M DBCj XzABCjX 72° =36° ,22M A=M DBCvM C=M C, BCDA ABC BC_CD "AB_ECv AB=ACv AB=AC=2 BC= - 1 ,

16、(!，- 1) 2=2X( 2 - AD),解得AD= ： t , AD AC=(岳-1) : 2.点D是线段AC的黄金分割点.9. 证明：在 AB上截取 AE=BC DF=BC连接EF./ AE=BC DF=BC AE=DF=BC=AD又/ ADF=90 ,四边形AEFD是正方形.BE=丄' _ ' _， BE 岛 一 1厂一-，矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形.黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.DC1111111111AE2?l10. 解：设正方形 ABCD勺边长为2, 在Rt AEB中，依题意，得 AE=1, AB=2, 由勾股定

17、理知EB=门上号叼三=厂, AH=AF=EF AE=EB- AE=. 7- 1,HB=AB- AH=3- A*=(亦-1|) 2=6 - 2眞,AB? HB=2X( 3 - . H) =6 - 2 仃， aH"=ab? HB所以点H是线段AB的黄金分割点.11 .证明：(1)vZ A=36°,Z C=72 , / ABC=180 - 36°- 72° =72°,/ ADB=108 , / ABD=180 - 36°- 108° =36°, ADB是等腰三角形，/ BDC=180 -Z ADC=180 - 108&#

18、176; =72°, BDC是等腰三角形， AD=BD=BC(2)vZ DBCZ A=36°,Z C=Z C, ABCA BDC BC AC=CD BC, BC?=AC? DC/ BC=AD AD2=AC? DC点D是线段AC的黄金分割点.12.解：TD 在 AB上，且 AD=BD? AB,点D是AB的黄金分割点 而点C是AB的黄金分割点，='AB=3- 口或 AD= - 1, AC=3- 二2 AC= ' AB= 1, AD=AF-一 AB=2 2 CD= - 1 -( 3- . 口)=2 口-4, 6=2伍-4=3 -亦或CD/妬 4血-1AC 质 一

19、L13.解：矩形 ABFE是黄金矩形./ AD=BC DE=AB.AE AD - DE BC - AB BC AB- ABAB AB2护+1 -12 zz矩形ABFE是黄金矩形.14 .解：TD为AB的黄金分割点( AD=_AB=10 n- 10,/ EC+CD=AC+CD亍AD EC+CD= 10 n- 10) cm.15.解：设他的肚脐到脚底的长度为 根据题意得x:=, 即 x=x( m).答：他的肚脐到脚底的长度为时才是黄金身段.AD> BD),xm时才是黄金身段,16 .解：(1)在Rt APD中，AP=1, AD=2由勾股定理知 PD=J 2十卅2=届卫, AM=AF=P- A

20、P=PD- AP= :，- 1, DM=AB AM=3- rU 故AM的长为1 , DM的长为3 -J；(2)点M是AD的黄金分割点.ajlVsiAD由于点M是AD的黄金分割点.17 .解：点P是线段AB的黄金分割点，且 AP> BP, AP2=BPX Ab又S1=aP, 3=PBXAbS 1 = S2.18.解：四边形 ABCE为平行四边形， / CBF2 AEB / BCF2 BAE BCMA EAB匹-A!j：即卩的BA，即把AD= 1 AB= !.+ 1 代入得,IU解得：CF=2故答案为：2.AD CF V ，Vs -1. CF2fjs+i(1)满足十的矩形是黄金矩形;19.解

21、：矩形EFDC是黄金矩形, 证明：四边形 ABEF是正方形, AB=DC=AF又兰二1AD2门-.即点F是线段AD的黄金分割点AFAD-2厂二-DC2矩形CDFE是黄金矩形.20.解:(2)由 _J=k 得，BP=1X k=k，从而 AP=1 - k,AB由得，bS=APX ABBP捉2即 k = (1 - k )x 1,解得k=|2/ k> 0, k=齐(3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以设厶ABC的AB上的高为h，则S 费壮 SABPC jEPXh Bp 弘E氏玉PXh一用 弘飭匚一士昶SaaPC 珏 EPCABPC AAEC直线。卩是厶ABC的黄金分割线.则过点W(4) 由(

22、2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q则AQ也是黄金分割线，设 AQ与 CP交于点的直线均是 ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条.21. 解：根据已知条件得下半身长是160X =96cm设选择的高跟鞋的高度是 xcm,则根据黄金分割的定义得:96+盂=160+7=，解得：x.故她应该选择左右的高跟鞋穿上看起来更美.22. 解：设正方形 ABCD勺边长为2a,在Rt AEB中，依题意，得 AE=a, AB=2a由勾股定理知EB=-a, AH=AF=EF AE=EB- AE= ( - 1) a,HB=AB- AH=( 3 -T) a； A=(6-2a2,AB? HB=2a<( 3-

23、 .) a= (6-2 .) a2, aH"=ab? HB所以点H是线段AB的黄金分割点.23. 证明：设正方形 ABCD的边长为2,E为BC的中点， BE=1 AE=二 | ”又 B' E=BE=1 AB =AE- B' E= _ - 1 , AB' , AB二(屈-1) s 2点B是线段AB的黄金分割点.24. 证明：正方形 ABCD的边长为2, E为BC的中点, BE=1 AE=门 -/ EF=BE=1 AF=AE- EF= 口- 1 , AM=AF= - 1, AM AB=(伍-1) : 2,点M是线段AB的黄金分割点.25 .解：(1)v BD=DC

24、=AC则/ B=Z DCB / CDAM A.设/ B=x,则/ DCB=x / CDAM A=2x.又/ BOC=108 , / B+Z A=108° . x+2x=108, x=36°. Z B=36° ;(2)有三个： BDC ADC BAC/ DB=DC Z B=36° , DBC是黄金三角形，(或 CD=CA Z ACD=180 -Z CDA-Z A=36° ./C DA是黄金三角形.或/ ACE=108 ,/ ACB=72 .又/ A=2x=72 ,/ A=Z ACB BA=BC BAC是黄金三角形. 厶BAC是黄金三角形，厂 -一

25、 ,BC 2- BC=2 AC=7j- 1./ BA=BC=2 BD=AC= 口- 1 , AD=B- BD=2-（；,- 1） =3-., 存在，有三个符合条件的点R、P2、P3.i）以CD为底边的黄金三角形：作 CD的垂直平分线分别交直线AB BC得到点Pi、P2.ii） 以CD为腰的黄金三角形：以点 C为圆心，CD为半径作弧与 BC的交点为点P3.26. 证明：在正方形 ABCD中，取 AB=2aTN为BC的中点， NC=BC=a2在 Rt DNC中，也（羽）又 NE=ND CE=N- NC=（|J，|- 1） a.JCD= 2a= 2故矩形DCEF为黄金矩形.27 .解:（1）（2）

26、CM=A（ 4 分）28 .证明：如图，连接 GF,设正方形ABCD的边长为1DF丄.在 Rt BCF中，BF= 丫 J f = I ',则 A F=BF- BA =-1.2设 AG=A G=x 贝 y GD=1- x,在 Rt A GF 和 Rt DGF中，有 A'F 2+A'G2=dF+dG,即-1) 2(i) 24 (1-x) 2解得x= '|2即点G是AD的黄金分割点（AG> GD .£/ .4G D匹巫，即旦AC BC整理，得 x2+xy - y2=0, -I±Vb -：.解得(2)A BCD是黄金三角形.证明如下：点 D在AB的垂直平分线上, AD=BD/ ABDM A./ A=36° , A