借助特殊点的几何性质辨析运动生成的函数图象

1、借助特殊点的几何性质辨析运动生成的函数图象 因运动生成的函数图象问题，具有很强的迷惑性，考查采集“数与“形的形式.因其运动的连续性，通常以分段函数图象的形式呈现.这样，解题的着眼点就应落在分段函数图象的“折点一即特殊点的几何意义的理解上. 函数图象形象直观，能清晰地反映现实生活中两个变量之间的函数关系.辨析因运动变化而生成的变量间的函数图象问题，假设能对动点运动到图形的特殊点(或“折点或“拐点)状态图形给予关注，并借助形成特殊点状态图形的几何性质进行探索，能轻松获解. 本文所述的“特殊点，即“折点或“拐点，形式意义包含两种:一是几何图形特征意义上的“折点;二是几何图形象征意义上的“拐点(指能使

2、运动变化生成重叠面积时的点和应用性问题的研究对象连续运动过程中的“衔接点).借助图形的这些特殊点与几何性质辨析因运动而生成的函数图象非常有效. 一、借助几何图形特征意义上的“折点辨析 这类问题依托几何图形设置动点或动直线或动图形，因运动而生成两个变量之间的函数关系的图象.求解时，通常先从复杂的运动图形中别离出根本图形，即动中求静的思想.在运动元素运动至图形的“折点特殊点处，画出运动过程中瞬间静止的图形，借助其构成的即时状态图形的几何性质，通过计算推理，建立变量之间的关系式，从中转化为函数解析式，再依据函数性质比照函数图象特征进行适宜的选择. 1.借助几何图形特征意义上的“折点定性分析 这类问题

3、缺少明确的数据信息，常可借助动点运动到特殊点位置时构成的即时状态根本图形的性质并结合图象挖掘隐含信息，利用函数最值及增减性合情推理定性分析. 例1 (湖州中考)如图1，、是反比例函数(>0,>0)图象上的两点，/轴，交轴于点.动点从坐标原点出发，沿 (图中“所示路线)匀速运动，终点为.过作轴,轴，垂足分别为、.设四边形的面积为点运动时间为，那么关于的函数图象大致为( ). 解析 动点的运动路径分为4个折点(点、)共3段(线段、曲线和线段). 当点在初始状态点时，四边形未形成，此时，图象现为经过原点;当点在上运动时，此时随的增大而增大;当点在上运动时，依据反比例函数的几何意义，此时不

4、变，那么图象表现为平行于轴,选项B、D淘汰;当点在上运动时，随的增大而逐渐减小，直至到达点，四边形隐没消失，此时，图象表现为回到轴，C错误.应选A. 例2 (永州中考)如图2，在矩形中，垂直于对角线的直线，从点开始沿着线段匀速平移到.设直线被矩形所截线段的长度为，运动时间为，那么关于的函数的大致图象是( )(答:A). 2.借助几何图形特征意义上的“折点定量分析 定量分析就是用数据说话，它能使问题变得简洁明了.这类题目常会提供较多的数据信息，求解时要借助图形运动到特殊点(折点)状态时形成的根本图形的几何性质，分析各数据之间隐含的数量关系，并由此建立函数关系式，借助函数性质比照图象选择.例3 (

5、威海中考)如图3，在正方形中， = 3 cm，动点自点出发沿方向以每秒lcm的速度运动，同时动点自点出发沿折线一一以每秒3cm的速度运动，到达点时运动同时停止.设的面积为(cm2)，运动时间为(秒)，那么以下图象中能大致反映与之间函数关系的是( ). 解析 依题意，动点、同时到达点，因此关注点运动路径中的折点、和特殊点、，图象应呈现3段.当动点在段.当时，;当时，.此时图象为经过原点(0，0)的一段开口向上抛物线，其终点坐标为(1，).当在段运动时.，此时的面积随的增大而增大，图象为一条上升的线段，故排除选项A、D.当在段运动时. ,此时图象为一段开口向下的抛物线，特别地，当=3时，=0.应选

6、B. 例4 (兰州中考)如图4，点、为的四等分点，动点从圆心出发，沿路线作匀速运动，设运动时间为.，那么以下图象中表示与之间函数关系最恰当的是( ).(答案:C) 二、借助几何图形象征意义上的“拐点辨析这类问题，动点运动过程中没有明确的“折点出现，即直线型运动，但呈现的形式较隐性，在函数图象上表现为段与段之间的“拐点，这需要借助动点运动到图形的特殊点时刻能形成函数图象的“拐点(即上升、下降、保持不变的衔接点)进行定性、定量分析. 1.借助几何图形象征意义上的“拐点定性分析 例5 (北京顺义区中考)如图5，在正方形中，点为边的中点，点在对角线上，连接、.当点在上运动时，设的周长为,以下能表示与的

7、函数关系大致图象的是( ). 解析 先根据正方形的对称性找到使有最小值的点特殊点，如图5，连接与交于点(即为特殊点、也即象征意义上的“拐点)，那么当点运动到点处时，的周长最小，可知图象有最低点，故排除，选项;此时，根据距离最低点的值超过半程，可知图象大致为B. 选B. 2.借助几何图形象征意义上的“拐点定量分析 例6 (重庆潼南中考)如图6，四边形是边长为1的正方形，四边形是边长为2的正方形，点与点重合，点在同一条直线上，将正方形沿方向平移至点与点重合时停止，设点、之间的距离为，正方形与正方形重叠局部的面积为，那么能大致反映与之间函数关系的图象是( ). 解析 正方形沿方向平移，即从大正方形左

8、侧进入，右侧移出，当点离开时就生成了一个重合的正方形，分4个特殊点:初始状态时点、小正方形恰好完全融入大正方形时的点、小正方形恰好准备移出大正方形时的点、小正方形恰好完全移出大正方形时的点共3段.初始状态点处时，说明图象过原点;当小正方形局部融入大正方形时.由得，正方形的面积等于对角线乘积的一半，表现在图象上那么是抛物线的一局部且开口向上，选B. 三、借助动态应用性问题关键字词句(对应图象的拐点特殊点)辨析 这类问题以定性的文字陈述信息，关键字词句描述研究对象运动变化的过程.这些字词句的衔接处恰是函数图象中“段与“段之间的折点(拐点)即特殊点的标志，从中反映出函数图象的走势. 1.借助动态应用

9、性问题关键字词句定性辨析 例7 (潜江中考)小英早上从家里骑车上学，途中想起社会实践调查资料忘带了，立刻原路返回，返家途中遇到给她送资料的妈妈，接过资料后，小英加速向学校赶去.能反映她离家距离与骑车时间的函数关系图象大致是( ). 分析 根据小英的行驶情况，题目中的:骑车行走返回途中一加速行走.这些词之间既承接又波动，理解这些关键词同函数图象及图象“拐点表达意义的关系，是选择出适宜图象的依据.距离先增加，再减少(不为0)，再增加，逐一排除.应选D. 评析 首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的几何意义，再根据实际情况来判断函数图象.需注意速度大说明在相等的时间内，走的路程要多，横轴表示时间，纵轴

10、表示路程.表现在函数图象上就是速度大的函数图象的走势相对要陡. 2.借助动态应用性问题关键字词句定量辨析 例8 (泸州中考)小明的父亲饭后出去散步，从家中出发走20分钟到一个离家900米的报亭看报10分钟后，用15分钟返回家，以下图中表示小明的父亲离家的距离(米)与离家的时间(分)之间的函数关系的是( ). 分析 关键词:散步、看报、回家.以此为题眼从小明父亲散步的时间段看，分为0一20分钟散步，20一30分钟看报，30 45分钟返回家，按时间段把函数图象分为三段2个拐点.应选D. 评析 正确理解函数图象横纵坐标表示的实际数量的意义，抓住关键词理解运动的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解

11、决. 四、借助图形定点(特殊点)的几何意义辨析 这类问题，形式上没有运动元素，但呈现比拟隐蔽，需借助图形特殊点定点(用运动相对性观点理解，实际是运动过程中相对静止的瞬间，两个联系的量相随变化就产生了函数)的几何性质作定性定量分析.例9 (兰州中考)如图7，:正方形边长为1,、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为为，那么关于的函数图象大致是( ). 解析 、分别为各边上的点，且、分别只能在各边上运动，此时，表现在图象上不会有拐点，排除选项D.由题意可证.题设，那么，根据勾股定理，得，即，整理得函数图象是一个开口向上，对称轴是且.应选B. 五、借助函数图象的“拐点辨析运动几何图形(运动路线) 这类问题的求解，需借助函数图象拐点的几何意义比照题目中描述运动状态的关键词作定性分析.例10 (黔南州中考)王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购置资料.如图8，是王芳离家的距离与时间的函数图象.假设黑点表示王芳家的位置，那么王芳走的路线可能是( ) 解析 函数图象说明有2个拐点，而路线图A有3个折点，不符合，排除A;函数图象说明王芳