不等式复习专题

1、不等式-专题复习教学目标一、 知识与技能1.熟练掌握不等式的性质和基本不等式。2.探索不等式的证明过程。会解决简单的最值问题。3.会用线性规划问题解决一些简单的实际问题，感受数学的应用价值。4在复习解不等式过程中，渗透数学思想和方法，提高分析解决综合问题的能力。二、过程与方法通过师生交流学习，共同分析，使学生体会不等式在解题中的作用，体现以教师为主导，学生为主体的教学方法。三、情感态度与价值观提高学生分析解决问题的能力，体会数学思想在解题中的作用，发展学生的智力，激发学生的数学学习兴趣。教学重点 1、一元二次不等式的解法、线性规划问题、不等式的应用。2、解题思路与方法的总结。教学难点 1函数、

2、方程、不等式之间的关系、线性规划、基本不等式的应用。 2、解题思路的探索。教材处理 1、不等式的性质。2、一元二次不等式的解法。3、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题。4、基本不等式。教学方法 启发探究式（教师设问引导，学生自主探究，合作解决）教学过程 一、导入复习 现实世界和日常生活中，既有相等关系，又有不等关系，又存在着大量的不等关系，我们经常应用不等式来研究含有不等关系的问题，本节课我们专题复习不等式。请大家把课本打到71页回顾又不等关系引进不等式，进一步研究一元二次不等式的解法、二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题、基本不等式。二、揭示复习目标三、预习检查1、本章知识结构：实

3、数的性质 均值不等式不等式的性质 不等式的应用不等式的证明不等式的解法函数性质的讨论最值的计算与讨论实际应用问题比较法综合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含绝对值不等式2、高考不等式知识点1.不等式及其性质(1)不等式的基本性质:对于任意实数a,b,有a-b>0a>b; a-b=0a=b; a-b<0a<b.这三条基本性质是差值比较法的理论依据.(2)不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面.单向性:a>b,b>ca>c;a>b,c>da+c>b+d;a>b,c>0ac>bc;a>

4、;b,c<0ac<bc;a>b>0,c>d>0ac>bd;a>b>0,nN*an>bn双向性: a-b>0a>b; a-b=0a=b; a-b<0a<b;a>bb<a;a>ba+c>b+c.单向性主要用于证明不等式;双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式),在应用单向性解不等式时,若n为偶数时要注意讨论.(3)要注意不等式性质成立的条件,例如,在应用“a>b,ab>0”这一性质时,有些学生要么是弱化了条件,得a>b,要么是强化了条件,得a>b>02.

5、算术平均数与几何平均数(1)两个基本不等式：若a、bR，则a2+b22ab，当且仅当“a=b”时取等号.若a>0,b>0，则,当且仅当“a=b”时取等号.说明:两个基本不等式的差异在于条件上的不同.(2)算术平均数与几何平均数:均值不等式(3)不等式 的功能均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值.使用的条件为“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可,解题时,有时为了达到使用均值不等式的三个条件,往往需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情境.(4)基本不等式的拓展若a>0,b>0,则，当且仅当“a=b=c”

6、取等号3.不等式的证明(1)比较法:是证明不等式的最基本方法,通常用差值比较和商值比较;(2)分析法;(3)综合法证明实际问题时,往往用分析法分析,用综合法表述.4.不等式的解法:一元一次不等式;一元二次不等式;分式不等式;高次不等式;含有绝对值的不等式.5.含绝对值的不等式利用它求某些函数的最值时,一定要注意等号成立的条件.|a+b|=|a|+|b|ab0；|a-b|=|a|+|b|ab0；|a|-|b|=|a+b|（a+b）b0；|a|-|b|=|a-b|（a-b）b0.3、高考要求 不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出 不等式的

7、应用大致可分为两类 一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题 4、重难点归纳 1 不等式证明常用的方法有 比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法 (1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证 (2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证

8、关系，可以增加解题思路，开扩视野 2 不等式证明还有一些常用的方法 换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等 换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性 放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法 证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点 5、高考试题研究由于近年高考命题强调能力立意, 考查基础知识不再是考

9、查对知识的复制，而是考查对基础知识的深刻理解，考查各个基础知识点的联系和交汇.从近三年高考数学试题看,不等式这一章内容的考查不再是单一型了,它往往与其它章节知识结合在一起构成了复合型试题,不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合等基本数学思想，其主要题型大致分为:解不等式、证明不等式和不等式的应用.6、高考试题特点 特点一:考小题,重在于基础. 有关不等式的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,基本不等式、一元二次不等式、线性规划等内容的试题都突出了对不等式基础知识的考查.特点二:考大题,经常与其它知识相结合 考查不等式的大题中，有时是单独出现，如2007年山东的线性规划解

10、答题，难度不算大；但经常是与其它知识相结合，如不等式与数列、数列归纳法、函数、导数等知识综合，难度属中等偏难，主要考查学生对基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.特点三:考方法,常用在证明题中 不等式证明的常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；在不等式明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。7、复习备考方略（1）线性规划的内容是近年高考的热点，应加强训练，掌握方法。（2）不等式的证明题题型多变，证明思路多样，技巧性较强，加之又没有一劳永逸、放之四海而皆准的程序可循，所以不等式的证明是本章的难点. 攻克难点的关键是熟练掌

11、握不等式的性质和基本不等式，并深刻理解和领会不等式证明中的数学转化思想.在复习中应掌握证明不等式的常用思想方法：比较法；综合法；分析法；放缩法；反证法；导数法.（3）在复习解不等式过程中，注意培养、强化与提高函数与方程、等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想和方法，提高分析解决综合问题的能力. 能根椐各类不等式的特点，归纳出各类不等式的解法和思路以及具体解法。四、合作交流（考题剖析）考点一：不等关系与不等式【内容解读】通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等（组）的现实背景；了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用。养成推理必有依据的良好习惯，不要想

12、当然，不要错漏不等式性质使用的条件【命题规律】高考中，对本节内容的考查，主要放在不等式的性质上，题型多为选择题或填空题，属容易题。例1a、b为实数，且a>b,则下列不等式成立的是A（A）a（ （B）B （C）（ （D）D解：若ab0才有（A）成立，当a0时，（B）才成立，当a1,b=-3时，a>b,但（C）不成立，由指数函数的单调性，知（D）是对的。故选（D）。点评本题考查不等式的基本性质，注意不等式成立的条件。例2、（2006上海文）如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）（A） （B）（C） （D）解：因为a0，b0，所以，故（A）正确。而a与b的大小不知，故B、C、D都不一定正

13、确。所以，选（A）。点评本题考查不等式的基本性质，利用特殊值法，也能排除B、C、D，特殊值法是解这类问题中常用的方法。考点二：一元二次不等式及其解法 【内容解读】会从实际情况中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式与函数方程的联系；会解一元二次不等式，会由一元二次不等式的解求原不等式；用同解变形解不等式，分类解不等式；对解含参的不等式，对参数进行讨论；注意数形结合，会通过函数图象来解不等式【命题规律】高考命题中，对一元二次不等式解法的考查，若以选择题、填空题出现，则会对不等式直接求解，或经常地与集合、充要条件相结合，难度大。若以解答题出现，一般会与参数有关，或对参数分类讨论，或求参数范

14、围，难度以中档题为主。例3、(2008江苏高考)已知A=，则AZ 的元素的个数 解：由得,0，集合A的解集为 ，因此AZ 的元素不存在因此，填：点评本小题考查集合的运算和解一元二次不等式，难度不大，集合与不等式相结合的内容是经常考查的类型之一。 例4、（2007浙江理科1）“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解：由可得,所以，可得到,但得不到.故选A. 点评本题考查一元二次不等式的解法及充要条件，充要条件在数学中有着广泛应用，它可以与数学中的多个知识点结合起来考查，是一个要重点关注的内容之一。考点三：简单的线性规划【内容解读】

15、了解二元一次不等式（组）表示的平面区域和线性规划的意义；了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，如给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，能使完成的任务量最大，收到的效益最大；给定一项任务，问怎样安排，能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小通过求解以提高解决实际问题的能力【命题规律】线性规划问题时多以选择、填空题的形式出现，题型以容易题、中档题为主，考查平面区域的面积、最优解的问题；随着课改的深入，近年来，以解答题的形式来考查的试题也时有出现，考查学生解决实际问题的能力。例5、(200

16、8广东理)若变量x,y满足，则z=3x+2y的最大值是 ( ) A90 B. 80 C. 70 D. 40解:做出可行域如图所示.由z=3x+2y,得y=-x+,令z=0,画出y=-x的平行线,经过过两直线的交点时取得最值.解方程组,得所以,故答C. 点评求最优解，画出可行域，将目标函数化为斜截式，再令z，画它的平行线，看y轴上的截距的最值，就是最优解。例、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0

17、.3万元和0.2万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，总收益为元，由题意得目标函数为二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线，即平移直线，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值联立解得点M的坐标为(100,200)（元）答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元 点评用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之一

18、。考点四：基本不等关系【内容解读】了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题，理解用综合法、分析法、比较法证明不等式。创设基本不等式使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件（两数都为正）；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件（当且仅当a=b时，等号成立），它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点【命题规律】高考命题重点考查均值不等式和证明不等式的常用方法，单纯不等式的命题，主要出现在选择题或填空题，一般难度不太大。例7、（2008浙江文）已知（ ）(A)(B) (C)(D) 解：由,且， 。所以，选

19、（）。点评由基本不等式:a2+b22ab得2ab a2+b2使用基本不等式要懂得公式的正用和逆用. 例8、(2007山东理) 函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_.解：函数的图象恒过定点A（-2，-1），点评本题考查对数函数图象、直线方程和基本不等式，是一道综合题，属中等偏难试题。考点五：绝对值不等式【内容解读】掌握绝对值不等式xa，xa（a0）的解法，了解绝对值不等式与其它内容的综合。【命题规律】本节内容多以选择、填空题为主，有时与充分必要条件相结合来考查，难度不大。例9、(2008上海文理)不等式的解集是解：由绝对值不等式，得：-1<x-1<，即0<x<2，因此，填（0，2）点评本题直接应用绝对值不等式的公式求解即可，属容易题，送分题。例10、(2007福建) “”是“”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充要条件既不充分也不必要条件解：由|x|<2得2<x<2,由 x2-x-6<0得-2<x<3，2<x<2成立，则有-2<x<3，但-2<x<3成立，不一定有2<x<2，如x2.5故选A.点评：本题考查绝对值不等式的解法，充分条件必要条件的解法，可以用特殊值法来验证，充分性与必要