摩擦角在平衡问题中应用

1、 摩擦角在平衡问题中应用【基本概念和规律】一 静摩擦力1定义：一个物体在另一个物体表面具有相对运动趋势是产生的阻碍相对运动趋的力就叫静摩擦力，用表示。2大小：静摩擦力的大小是可变的，其范围在之间，的具体大小由物体的受力情况和运动情况来决定；是最大静摩擦力，为最大静摩擦系数，一般情况下略大于滑动摩擦系数，在没有特别说明的情况下。3方向：方向沿接触面的切线且和相对运动趋势相反。4产生条件：接触面粗糙；接触面有弹力；接触面有相对运动趋势；二 动摩擦力1定义：一个物体在另一个物体表面具有相对运动时产生的阻碍相对运动的力就叫静摩擦力，用表示。2大小：，为动摩擦系数，由接触面情况和材料决定。3方向：方向沿

2、接触面的切线且和相对运动相反。4产生条件：接触面粗糙；接触面有弹力；接触面有相对运动。三 摩擦角（重点介绍）1 全反力当物体对支承面有弹力和摩擦力或两个作用力时，支承面对物体有弹力和摩擦力或两个反作用力，把支承面反作用物体的沿接触面法线方向的弹力和切线方向的摩擦力或的合力叫做支承面对物体的全约束反力，简称全反力，全反力或全反力。2 摩擦角全反力和与接触面法线方向的夹角叫全反角，或。最大的全反角叫摩擦角。由摩擦角的意义可知：接触面间存在着的摩擦角，或；如果则物体就不能滑动，所心可作为判断物体不发生滑动的条件；如果物体除全反力外其它力的合力和接触面的法线夹角小于摩擦角，则不管其它力的合力多大物体都

3、不能滑动，这种现象就叫自锁；如果物体发生了滑动，则摩擦角不变，只是、大小会随外界条件的改变而改变，但全反力的方向不变。【基本概念和规律的应用】一 一个接触面的平衡问题例1一物体质量为m，置于倾角为的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。解析：本题有两种解法，一种是根据平衡条件利用数学建模得到后再求极值，另一种是引入全反力（摩擦角）化四力平衡为三力平衡根据矢量三角形直观快速地求解。解法一：（利用平衡条件求解）设拉力与斜面夹角为，则由平衡条件可得：即有 图1书馆1GF令，则有 解法二：（引入摩擦角）如图1所示，设，则由平衡条件和矢量三角形可得：当拉力F垂

4、直于全反力方向时此时F的拉力最小，即：例2结构均匀的梯子AB，靠在光滑竖直墙上，已知梯子长为L，重为G，与地面间的动摩擦因数为，如图所示，（1） 求梯子不滑动，梯子与水平地面夹角的最小值0；（2） 当=0时，一重为P的人沿梯子缓慢向上，他上到什么位置，梯子开始滑动？分析：本题也有两种解法：解法一是根据物体的平衡条件求解，这是常规解法；另一解法是分析出它临界条件0再引入摩擦角解。解法一：（1）如图2所示，平衡条件可得：N1NfG0图2书馆1由上述3式可解得：N1NfGP0图3（2）如图3所示，由平衡条件可得：N1GF0图4书馆1由上述3式可解得： 解法二：（1）（引入摩擦角）如图4所示，由平衡条

5、件可得： N1GF0图5书馆1所以有 （2）如图5所示，将梯子和人的重力用其等效重力代替，当等效重力的重心还在梯子重心下面时梯子还不会滑倒，当等效重力的重心还在梯子重心上面时梯子就会滑倒，所以当人上到梯子一半即L/2时，梯子开始滑动。二 两个接触面的平衡问题例3一架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙的静摩擦系数分别为1、2，求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。GF11AHCDEBF22图6书馆1分析：此题同样有两种解法，为了节省篇幅，接下来只介绍引入摩擦角的解法。此题是多点摩擦的问题，而且又是多点同时滑动，所以系统达到临界平衡状态（极限平衡状态）时，即梯

6、子与水平所成的夹角最小时，各处摩擦力均达到最大值。现把两端点的受力用全反力表示，则梯子就只受三个力，且三个力必共点。解：如图6所示， ，由平衡条件和几何关系可得： 即梯子与地面所成的最小的角为 想一想为什么多点摩擦同时滑动的临界条件是多点的摩擦力同时达到最大值？例4在互相垂直的斜面上放置一匀质杆AB如图所示，设各接触面的摩擦角均为，求平衡时，杆AB与斜面AO的交角。已知斜面BO和水平面交角。分析：此题也是多点摩擦同时滑动问题。平衡时杆AB与斜面AO的交角有最大、最小值。一般平衡情况下夹角介于两者之间。2GF2F1AB图7书馆1解：在求min时，通过引入全反力，杆子受到如图7所示的三个力，由平衡

7、条件可知三力必共点，由几何关系可知：1GABF2F12图8由上述3式可得：在求max时，通过引入全反力，杆子受到如图8所示的三个力，由平衡条件可知三力必共点，由几何关系可知：由上述3式可得：例5如图9所示，每侧梯长为的折梯置于铅垂平面内，已知A、B两处动摩擦因数分别为A=0.2、B=0.6 ，不计梯重，求人能爬多高而梯不滑到。ABFAFBBG图9书馆1解析：这是多点摩擦不同时滑动的平衡问题，比前面的例题要复杂。如果地面与梯的摩擦系数足够大，则梯子不会滑到，现两边的摩擦系数较小，所以梯子有可能滑到，所以必须对A、B分别分析。解：由题意可得：，如果从A开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到，此时受力如图9所示，设此时人离A端的距离为S，则由平衡条件和几何关系可得： 所以从A端能爬的最大高度为BAFAFBBG图10书馆1如果从B端开始往上爬，爬到如图所示时梯子将滑到，此时受力如图10所示，这将不可能，因为A梯早就滑动了或A梯早就转动了。综上所述，人能爬的最大高度是。想一想为什么人在梯子上爬时，水平地面对另一边梯子的作用力必须沿梯子方向？解题经验小结：引入摩擦角的好处：通过全反力的等效替代，可以减少力的个数，化多力平衡问题为三力平衡问题；可以迅速确定临界平衡状态