三棱锥的几个重要性质

1、直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展。循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质。我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1：Rt的垂心就是直角顶点。性质2：Rt的两个锐角互余。性质3：Rt两直角边的平方和等于斜边的平方。性质4：Rt中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，Rt两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比。性质5：Rt两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积。

2、性质6：Rt斜边上的中线等于斜边的一半。(所以Rt的外接圆半径Rc)。性质7：Rt的内切圆半径r(abc)。现在我们来探究一下直角三棱锥的性质。如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，设PAa，PBb，PCc。PA、PB、PC两两垂直，PA面PBC，PB面PCA，PC面PAB，面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。作PH面ABC于H，连CH并延长并交AB于D，连PD，则PHAB，PHCD，面PCD面ABC；而PC面PABPCAB，所以AB面PCD，ABPD，ABCH。同理，AHBC，BHCA。由AB面PCD知CDAB，而PDAB且APB90°，ABC、CAB

3、为锐角。同理，BCA也是锐角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。由ABCH，AHBC，BHCA易知，H是ABC的垂心，由此可得：性质2：直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。在RtPAB中，PD·ABPA·PBPD；在RtPCD中，CDPDPC()c；在RtPCD中，PHCD，PD·PCCD·PHPH，。因此有：性质2：直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式。因PH面ABC，侧棱PC与底面ABC所成角为PCH，则有sinPCHsin。同理,侧棱PB与底面ABC所成角为PBH,sinPBHsin，侧棱PA与底面ABC所成角为PAH，s

4、inPBHsin，所以sinsinsin1。因此，性质3：直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。由ABPD,ABCD，侧面PAB与底面ABC所成角为PDC,由PCPD知90°,sinsin(90°)cos。类似推理，由sinsinsin1。易得：sinsinsin1。另外，tan(P-AB-C)tanPDCc，同理，tan(P-BC-A)a ，tan(P-CA-B)b。所以，性质3：直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)c，tan(P-BC-A)a ，t

5、an(P-CA-B)b。如图，Q为底面ABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQd，到面PBC的距离为RTd，到面PCA的距离为RSd，容易得到：PQRQRPRQRTRSddd性质4：底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。QP与棱PA所成角的余弦值cos，QP与棱PB所成角的余弦值cos，QP与棱PA所成角的余弦值cos，在PQRQRTRS两边同时除以PQ，得coscoscos1；性质4：直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。QP与面PAB所成角的余弦值cos，QP与面PBC所成角的余弦值cos，QP与面PCA所成角的余弦值c

6、os，由PQRQRTRS得2×PQRSRTRSRQRTRQ,两边同时除以PQ，得coscoscos2，1sin1sin1sin2，得sinsinsin1。性质4：直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。底面三角形的面积SAB·CD·，这也可以当成直角三棱锥的一个性质：性质5：直角三棱锥底面三角形的面积S。在RtPCD中，PDHD·CD，两边同乘以AB得AB·PDAB·HD·CD，即SS·S；同理，SS·S；SS·S。性质5：直角三棱锥侧面面积是其在底面

7、的射影面积与底面面积的比例中项。把SS·S；SS·S；SS·S；这三个式子相加，得SSSS。性质5：直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方。直角三棱锥P-ABC中，在点A处，cosPAB·cosPAC·，cosBACcosPAB·cosPAC；即cosBACcosPAB·cosPAC；同理，点B处，cosABCcosPBA·cosPBC；点C处，cosACBcosPCB·cosPCA。所以性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值。将直角三棱锥补成长方体，则

8、直角三棱锥的外接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心，半径为长方体对角线的一半。因此有性质7：直角三棱锥外接球的半径R。设直角三棱锥内切球半径为r，球心为，连OA,OB,OC，则把直角三棱锥分成四个小三棱锥，VVVVV，S，×ab×c×ab×r×bc×r×ca×r×××r ，r。所以，性质7：直角三棱锥内切球的半径r。现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形。性质2：直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式。性质3：直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1。三条侧棱与底面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角。直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1。各角的正切值：tan(P-AB-C)c，tan(P-BC-A)a ，tan(P-CA-B)b。性质4：底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和。直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦值的平方和为1。直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正弦值的平方和为1。性质5：直