125补充随机过程的微分与积分易

1、12.5 随机分析 一、均方收敛及均方连续均方收敛及均方连续 二随机过程的均方导数二随机过程的均方导数三随机过程的均方积分三随机过程的均方积分 一、均方收敛及均方连续均方收敛及均方连续 1.1.均方收敛均方收敛的定义的定义：设有二阶矩随机序列Xn,n=1,2,和随机变量X,E(X2)+,若有 0lim2 XXEnn则称Xn均方收敛于X,记作 XXmilnn XXnn lim或或2 2均方极限的性质均方极限的性质 则则若若YYXXnnnn lim,lim). .()()(lim)1 (nnnnXmilEXEXE)()(lim)2(22XEXEnn )()(lim)3(XYEYXEmnmn 3.判

2、别法判别法XXmilnnCXXEmnmn)(lim)(2XE (3) 由柯西-施瓦兹不等式 )()()()()()(XYEYXEYXEYXEXYEYXEnnmnmn )()(XXYEYYXEnmn mnXXEYEYYEXEnmn,0)()()()(2222 4均方连续均方连续(1)(1)设X(t),tT是随机过程,若对某t0T,有 0)()(lim2000 tXhtXEh 称X(t),tT在t0均方连续，记为 )()(lim)()(000000tXhtXtXhtXmilhh 或或证明:(1)由柯西-施瓦兹不等式 22| )(| )()(|XXEXEXEnn )(0)(2 nXXEn若对任意tT

3、，X(t),tT均方连续，称X(t),tT在T上均方连续。证明： (3) 判别法定理定理 X(t),tT 在t处均方连续 Rx(s,t)在(t,t)处连续 )()(0tXhtXmilh)()()(lim200tXECmtXhtXEmh),(),(lim00ttRmthtRXXmh即即Rx(s,t)在(t,t)处连续(2)随机过程的均方连续性与它的均值函数连续性的关系 定理定理 设过程X(t)均方连续,则 )()(lim0thtXXh (4)平稳过程均方连续性与其自相关函数的关系定理定理 设平稳过程X(t),tT的自相关函数为Rx(),则下列条件等价：X(t),tT在T上均方连续；X(t),tT

4、在t=0均方连续； Rx()在=0连续； Rx()在T上连续。 证明：，由定义显然成立； ：当h0时， 222|)0()()0(| )0()(|XEhXXERhRXX 2|)0()()0(|XhXXE 0)0()()0(2 XhXERX：当h0时， )()()0(| )()(|22tXhtXERtRhtRXXX 0)()0()0(2 hRRRXXX：当h0时 0)()0( 2)()(2 hRRtXhtXEXX定理定理 设平稳过程X(t),tT的自相关函数为Rx(),则下列条件等价：X(t),tT在T上均方连续；X(t),tT在T=0均方连续； Rx()在=0连续； Rx()在T上连续。 二随机

5、过程的均方导数 1.1.设X(t),tT是随机过程,若对某t0T,有 0)( )()(lim20000tXhtXhtXEh即 称X(t),tT在t0均方可导，若对任意tT，X(t),tT均方可导，称X(t),tT在T上均方可导。记为 dttdXtXtX)()()( 或或)()( )()(00000tXtXhtXhtXmilh2.性质1）设过程X(t)均方可导,则 dttdttXXX)()( )(ttsRtsRXXX),(),()2stsRtsRXXX),(),(tstsRtsRXX),(),(23）均方可导必均方连续，反之不然。也是正态过程。是正态过程，则)()()4tXtX3.判别法判别法定

6、理定理 Rx(s,t)在(t,t)处及附近有二阶偏导数，则X(t),tT 在t处均方可导。 处连续，在且),(),(2tttstsRX)()()(0tXhtXhtXmilh性质证明：1）设过程X(t)均方可导,则 dttdttXXX)()( )()()()(lim0tXEhtXhtXEhhthtXXh)()(lim0)(tX)()(lim0htXhtXEh左dttdtXX)()( ttsRtsRXXX),(),()2)()(),(tXsXEtsRXX)()()(0htXhtXmilsXEh). .()()(limYXmi lEXYEYXEnnnn)()()(lim0htXhtXsXEhhtsR

7、htsRXXh),(),(lim0ttsRX),(三随机过程的均方积分 1.1.定义定义 设二阶矩过程X(t),tT,a,bT,f(t)是a,b上的普通实值函数。对a,b的任一组分点:a=t0t1t2tn=b,记：tj=tj-tj- 1,tj-1ujtj, j=1,2,n,|=maxtj,1jn 若存在与及uj的取法无关的随机变量Y，使得) 1 (0)()(lim210|YtuXufEnjjjj 则称f(t)X(t)在a,b上均方可积，并称Y为f(t)X(t)在a,b上的均方积分，记作： badttXtfY)()(2.2.性质性质 定理：定理： 设X(t)为一均方连续随机过程,f(t),g(t

8、)是a,b上的实值连续函数，则 baxbadtttfdttXtfE)()()()()1( babaxbabadsdttsRtgsfdttXtgdssXsfE),()()()()()()()2(证明：（1）由定义njjjjbatuXufmi lEdttXtfE10|)()(. .)()(上式表明，随机过程积分运算与数学期望运算的次序可换。（2）类似可证。baxnjjjjdtttftuXEuf)()()()(lim10|注意：这个定理可推广到更一般的积分情况，例如，当f(t),g(t)是复值函数时，定理的（2）改为 babaxbabadsdttsRtgsfdttXtgdssXsfE),()()()()()()(式中)(tg为g(t)的共轭。3.判别法判别法若X(t),tT 均方连续，f(t)连续， 则X(t),tT 均方可积。 关于均方积分的定义可推广到如下的情况：（1）f(t)是a,b上普通的复值函数，(6.3.1)式改为：0)()(lim210|