东城区高三二模数学试题答案--理科

1、北京市东城区2022-2022学年第二学期高三综合练习二数学 理科学校班级姓名考号本试卷分第I卷和第n卷两局部，第I卷1至2页，第n卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交 回。第I卷选择题共40 分、本大题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)假设复数x (x2 x)i为纯虚数，那么x等于(A) 0(B)(C) -1(D) 0 或 1(2)给出以下三个命题: x R , x2X0 R，使得0 ；2X。X0成立;对于集合M , N，假设，那么x M且xN.其中真命题

2、的个数是(A) 0(B)(C) 2(D) 3(3)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如下图，那么该几何体的左视图为(A)(B)(C)(D)极坐标方程sin20 (0表示的图形是A两条直线(B)两条射线(C)圆(D)一条直线和一条射线正项数列 an中，a11 , a2 2 ,- 2 2 2 ,2an an 1an 1 (A) 16(B) 8(C)2 2(D) 4(5)n 2，那么a6等于22x6双曲线飞a占1(ab0,b0,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M , N两点，0为坐标原点假设OM ON，那么双曲线的离心率为 ABC外接圆的半径为 1圆心为(C)uuu0，且 2OA2 uu

3、u ABuuurAC(D)1 .52urn LULTum uuu0， |OA| |AB|，贝y CA CB等于(A) 3(B) , 3(C) 3(D) 2、32(8)函数f (x)x 1, x0,那么函数y ff(x)1的零点个数是log2x, x0,(A) 4(B) 3(C) 2(D)1第H卷(共110分)、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。(9) (x2丄)5的展开式中，X4的系数为 .(用数字作答)x(10)某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取假设干人组成调查小组，有关数据见下表，那么调查小组的总人数为;假设从调查小组

4、中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，那么其中恰好有1人来自公务员的概率为相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644(11 )在厶ABC中，假设 B n,b 辰，那么 C.4(12)如图，BC是半径为2的圆O的直径，点P在BC的延长线上，PA是圆O的切线，点A在直径BC上的射影是 OC的中点，贝U ABP=; PB PC x y 40(13 )点P(2, t)在不等式组 表示的平面区域内，那么点P(2,t)到直线x y 3 03x 4y 10 0距离的最大值为.(14) 对任意 x R，函数 f (x)满足 f(x 1) f(x) f(x)2 1，设 anf(n)2 f(n)

5、,31 数列an的前15项的和为 ，贝y f(15).16三、解答题：本大题共 6小题，共80分。解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15) (本小题共13分)n 7 2n n sin( A ), A (匚，).4104 2(I)求cos A的值；(n)求函数f(x)cos2x(16) (本小题共14分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中边形B1BCC1是边长为6的正方形.(I)求证：A1B /平面 AC1D ；(n)求证：CE 平面AC1D ；(川)求二面角 C AC1 D的余弦值.(17) (本小题共13分)甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得2分或打满6局时停止.设甲在每

6、局中获胜的概率为5局比赛结束时比赛停止的概率为5 .9(I)求p的值；(n)设 表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多1p(p -)，且各局胜负相互独立.第二2的分布列和数学期望 E(18)(本小题共13分)函数 f(x) x2 alnx(a R).(i)假设a 2，求证：f (x)在(1,)上是增函数;(n)求f (x)在1，e上的最小值.(19) (本小题共13分)1 1在平面直角坐标系 xOy中，动点P到定点F(0,)的距离比点P到x轴的距离大一，设动点P44的轨迹为曲线C，直线l : y kx 1交曲线C于A, B两点，M是线段AB的中点，过点

7、M作x轴 的垂线交曲线C于点N .(i)求曲线C的方程；(n)证明：曲线C在点N处的切线与AB平行；(川)假设曲线C上存在关于直线l对称的两点，求k的取值范围.(20) (本小题共14分)在单调递增数列an中，a1 2，不等式(n 1囘 na?n对任意n N*都成立.(I)求a2的取值范围；(n)判断数列an能否为等比数列？说明理由；1 11(川)设 bn (1 1)(1 -)L (1 -n) , Cn 6(1 -),2 22nb can 12求证：对任意的n N* , bn Cn 0.北京市东城区2022-2022学年第二学期高三综合练习二高三数学理科参考答案及评分标准、选择题本大题共8小题

8、，每题5分，共40分(1) B(2) C(3) B(4)A(5) D(6) D(7) C(8)A、填空题本大题共6小题，每题5分，共30分(9) 10(10)9 35(11) 7 n(12)30o 1212(13) 4(14)34注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.、解答题本大题共6小题，：共80分(15)(共 13 分)n解：I因为Ann且 sin(A -)7. 242410n所以An3n,cos(A、nJ2244410因为 cosA cos(A -n) -n44cos(A -,cosn sin(A ,sin n、2 2A 2231025.102所以cosA35 .n由

9、I可得sin A4新课标第一网5所以f (x)cos2x5 si n Asi n x21 2si n2x2sin x1 23 c2(sin x ), x R .2 2fx取最大值j ；因为sinx 1,1，所以，当sinx 1时,2当sinx 1时，f(x)取最小值 3.13分C3 所以函数f(x)的值域为3-.2(16)(共 14 分)(I)证明：连结 AC，与AC1交于0点，连结0D .因为0 , D分别为AC1和BC的中点,所以 0D / AB .又0D 平面AC1D ,A,B 平面 AC1D ,所以A,B /平面AC1D .(n)证明：在直三棱柱 ABC A B1C1中，BB1 平面A

10、BC，又AD 平面ABC ,所以BB1 AD .因为AB AC , D为BC中点，所以 AD BC 又 BC I BB1 B ,所以AD 平面B1BCC1.又CE 平面B1BCC1,所以AD CE .因为四边形B1BCC1为正方形，D , E分别为BC , BB1的中点，所以 Rt CBE 也 Rt C1CD , CC1DBCE .所以 BCEC1DC 90.所以GD CE .又 ADI C1D D ,所以CE 平面AC1D . 9分(川)解：如图，以 BQ的中点G为原点，建立空间直角坐标系.那么 A(0,6, 4),E(3,3,0), C( 3,6,0), G( 3,0,0)._uuu由(n

11、)知CE 平面AC1D，所以CE (6, 3,0)为平面AC1D的一个法向量.设n (x, y, z)为平面ACC1的一个法向量,uuruuuDAC ( 3,0, 4) , CC1(0, 6,0) zn AC 03x4z0,由uuu可得nCC10.6y0.令x1，那么 y 0, z34所以n3 (1,0,-).4uuuuuu从而 cos CE,nCE -tuu -n8 5|CE|n|25uur因为二二面角CAC1D为锐角，所以二二面角CAC1D的余弦值为8罷25 14分(17)(共 13 分) 解：I当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止,故 P2(1 P)25，912解得p -

12、或p .3 312又P ,所以P i13分23(n)依题意知的所有可能取值为 2, 4, 6.5P(2)9，P(4)(15)51 20998152016P(6)198181所以随机变量的分布列为：24652016P98181所以的数学期望E 254田616266 9818181当a2 时，f(x)x22l nx当x(1,)时，f (x)2(x2x所以f(x)在(1,)上是增曾函数.2x2 a0),f (x)(x当x(18)(共13分)新课标第一网x-H-(I)证明:(n)解:21,e , 2x12o,2c2ra, 2e a.假设 a 2，那么当 x 1,e时，f (x)0 ,所以f(x)在1,

13、e上是增函数,又f (1)1，故函数f (x)在1,e上的最小值为1.假设 a 2e2，那么当 x 1,e时，f (x)0 ,所以f(x)在1,e上是减函数,又 f(e)e2a，所以f (x)在1,e上的最小值为e2f (x)是减函数;2e2，那么当1 x J-时，f (x)0,此时e 时，f (x) 0 ,a al na2 2 2 2此时f(x)是增函数.所以f(x)在1,e上的最小值为a alna .2 2 2综上可知，当 a 2时，f(x)在1,e上的最小值为1 ；2a a a当2 a 2e时，f (x)在1,e上的最小值为In；2 2 2当a 2e2时，f (x)在1,e上的最小值为e

14、2 a . 13分(19)(共 13 分)x kb1 .co m11(I)解：由，动点 P到定点F(0,)的距离与动点P到直线y的距离相等.1 1由抛物线定义可知，动点P的轨迹为以(0,)为焦点，直线y为准线的抛物4 44 4线.所以曲线C的方程为y x2 . 3分(n)证明：设 A(x1,y1) , B(x2, y2).2由 y X 得 x2 kx 10 y kx 1,所以 Xi X2k , X1X21 k 设 M(Xo,yo)，那么 Xo2因为MN X轴，k所以N点的横坐标为一2由y X2，可得y 2xk所以当x 时，y k 2所以曲线C在点N处的切线斜率为k，与直线AB平行.那么 X3X

15、421y3 y42k，212k2又(XX4y32y4)在 1 上,1所以打2k21b k( 2k) 1，12k2 由方程(* )有两个不等实根所以(1)2 4b 0,即k1k22k2142所以72，解得k石或k13分(20)(共 14 分)(I)解：因为an是单调递增数列,所以a 2 a1, a 22 .(川)解：由，k 0 设直线1的垂线为1 : y丄X b k代入y221X，可得XXb 0(*)k假设存在两点D(x3, y3), E(X4, y4)关于直线l对称,1, 2a a? , a? 4 ,所以a22, 4 .(n)证明：数列a.不能为等比数列.用反证法证明：假设数列an是公比为q的

16、等比数列，ai 20 , a. 2qn 1因为a.单调递增，所以q 1.因为n N*， (n 1)an na2n都成立所以n N , 1 1 qnn因为q 1，所以n。N*，使得当nn n 时，q2.1*因为1-2(nN).n所以noN*，当当nn0时,nq 11，与矛盾，故假设不成立n9分15913521(川)证明：观察：D q 3,b2C2b3C3，猜测：bn Cn42324用数学归纳法证明:xkb1 (1)当n 1时,b13 c13成立;(2)假设当nk时，bkCk成立；当时，1111bk 1 bk(12k1 )Ck (1?k 1)6(12k)(12k7)1111116(1k 1ck2k 1 )6(1 , 12k1)6(1k 1 )22222所以bk