几种常见不等式的解法

1、题目题目 高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法几种常见解不等式的解法高考要求高考要求不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛， 又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式重难点归纳重难点归纳解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求， 随着高考命题原则向能力立意的进一步转化， 对解不等式的

2、考查将会更是热点， 解不等式需要注意下面几个问题(1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法(2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法(4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论典型题例示范讲解典型题例示范讲解例例 1 已知 f(x)是定义在1，1上的奇函数，且 f(1)=1，若 m、n1，1 ，m+n0 时nmnfmf)(

3、)(0(1)用定义证明 f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式f(x+21)f(11x)；(3)若 f(x)t22at+1 对所有 x1，1 ，a1，1恒成立，求实数 t 的取值范围命题意图本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力知识依托本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化， 是函数中的热点问题； 问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用错解分析(2)问中利用单调性转化为不等式时， x+21 1， 1 ，11x1，1必不可少，这恰好是容易忽略的地方技巧与方法(1)问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式

4、是关键，(3)问利用单调性把 f(x)转化成“1”是点睛之笔(1)证明任取 x1x2，且 x1，x21，1 ，则 f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=2121)()(xxxfxf(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知2121)()(xxxfxf0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即 f(x)在1，1上为增函数(2)解f(x)在1，1上为增函数，112111111211xxxx解得x|23x1，xR(3)解由(1)可知 f(x)在1，1上为增函数，且 f(1)=1，故对 x1，1 ，恒有 f(x)1，所以要 f(x)t22at+1 对所有 x1，1 ，a1，1恒成立

5、，即要 t22at+11 成立，故 t22at0，记 g(a)=t22at，对 a1，1 ，g(a)0，只需 g(a)在1，1上的最小值大于等于 0，g(1)0，g(1)0，解得，t2 或 t=0 或 t2t 的取值范围是t|t2 或 t=0 或 t2例例 2 设不等式 x22ax+a+20 的解集为 M，如果 M1，4 ，求实数 a 的取值范围命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想错解分析M=是符合题设条件的情况之一， 出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于 a

6、的不等式要全面、合理，易出错技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗解M1，4有两种情况其一是 M=，此时0；其二是 M，此时=0 或0，分三种情况计算 a 的取值范围设 f(x)=x22ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)当0 时，1a2，M=1，4(2)当=0 时，a=1 或 2当 a=1 时 M=11，4 ；当 a=2 时，m=21，4(3)当0 时，a1 或 a2设方程 f(x)=0 的两根 x1，x2，且 x1x2，那么 M= x1， x2 ， M1， 41x1x

7、240, 410)4(, 0) 1 (且且aff即210071803aaaaa或，解得2a718，M1，4时，a 的取值范围是(1，718)例例 3 解关于 x 的不等式2) 1(xxa1(a1)解原不等式可化为2)2() 1(xaxa0，当 a1 时，原不等式与(x12aa)(x2)0 同解由于2111211aaa 原不等式的解为(，12aa)(2，+)当 a1 时，原不等式与(x12aa)(x2) 0 同解由于21111aaa ,若 a0，211211aaa ,解集为(12aa，2)；若 a=0 时，211211aaa ，解集为；若 0a1，211211aaa ,解集为(2，12aa)综上

8、所述当a1 时解集为(，12aa)(2，+)；当 0a1时，解集为(2，12aa)；当a=0 时，解集为；当a0 时，解集为(12aa，2）学生巩固练习学生巩固练习1设函数f(x)=) 1( 11) 11(22) 1() 1(2xxxxxx， 已知f(a)1， 则a的取值范围是()A(，2)(21，+)B(21，21)C(，2)(21，1)D(2，21)(1，+)2已知 f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)0 的解集是(a2，b)，g(x)0 的解集是(22a，2b)，则 f(x)g(x)0 的解集是_3已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解， 则a的取值范围是_4已知适合不等式

9、|x24x+p|+|x3|5 的 x 的最大值为 3(1)求 p 的值；(2)若 f(x)=11xxpp，解关于 x 的不等式 f-1(x)kxp1log(kR+)5设 f(x)=ax2+bx+c，若 f(1)=27，问是否存在 a、b、cR，使得不等式x2+21f(x)2x2+2x+23对一切实数 x 都成立，证明你的结论6已知函数 f(x)=x2+px+q，对于任意R，有 f(sin)0，且 f(sin+2)2(1)求 p、q 之间的关系式；(2)求 p 的取值范围；(3)如果 f(sin+2)的最大值是 14，求 p 的值并求此时 f(sin)的最小值7解不等式 loga(xx1)18设

10、函数 f(x)=ax满足条件当 x(，0)时，f(x)1；当 x(0，1时，不等式 f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数 m 的取值范围参考答案1解析由 f(x)及 f(a)1 可得1) 1(12aa或12211aa或1111aa解得 a2，解得21a1，解得 xa 的取值范围是(，2)(21，1）答案C2解析由已知 ba2f(x)，g(x)均为奇函数，f(x)0 的解集是(b，a2)，g(x)0 的解集是(2,22ab)由 f(x)g(x)0 可得2222,0)(0)(0)(0)(2222axbaxbbxabxaxgxfxgxf或即或x(a2，2b)(2b，a2)答案(

11、a2，2b)(2b，a2)3解析原方程可化为 cos2x2cosxa1=0，令 t=cosx，得 t22ta1=0，原问题转化为方程 t22ta1=0 在1，1上至少有一个实根令 f(t)=t22ta1，对称轴 t=1，画图象分析可得0) 1 (0) 1(ff解得 a2，2答案2，24解(1)适合不等式|x24x+p|+|x3|5 的 x 的最大值为 3，x30，|x3|=3x若|x24x+p|=x2+4xp，则原不等式为 x23x+p+20，其解集不可能为x|x3的子集，|x24x+p|=x24x+p原不等式为 x24x+p+3x0，即 x25x+p20，令 x25x+p2=(x3)(xm)

12、，可得 m=2，p=8(2)f(x)=1818xx，f-1(x)=log8xx11(1x1)，有 log8xx11log8kx1，log8(1x)log8k，1xk，x1k1x1，kR+，当 0k2 时，原不等式解集为x|1kx1；当 k2 时，原不等式的解集为x|1x15解由 f(1)=27得 a+b+c=27，令 x2+21=2x2+2x+23x=1，由 f(x)2x2+2x+23推得 f(1)23由 f(x)x2+21推得 f(1)23，f(1)=23，ab+c=23，故 2(a+c)=5，a+c=25且 b=1，f(x)=ax2+x+(25a)依题意ax2+x+(25a)x2+21对一

13、切 xR 成立，a1 且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)=23x2+x+1易验证23x2+x+12x2+2x+23对 xR 都成立存在实数 a=23，b=1，c=1，使得不等式 x2+21f(x)2x2+2x+23对一切 xR 都成立6解(1)1sin1，1sin+23，即当 x1，1时，f(x)0，当 x1，3时，f(x)0，当 x=1 时 f(x)=01+p+q=0，q=(1+p)(2)f(x)=x2+px(1+p)，当 sin=1 时 f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到 f(x)在1，3上递增，x=3 时 f(x)有最大值即 9+3p+q=14，9+3p1p=1

14、4，p=3此时，f(x)=x2+3x4，即求 x1，1时 f(x)的最小值又 f(x)=(x+23)2425，显然此函数在1，1上递增当 x=1 时 f(x)有最小值 f(1)=134=67解(1)当 a1 时，原不等式等价于不等式组axx11011由此得 1ax1因为 1a0，所以 x0，a11x0(2)当 0a1 时，原不等式等价于不等式组110 11 xax 由 得 x1 或 x0，由得 0 xa11，1xa11综上，当 a1 时，不等式的解集是x|a11x0，当 0a1 时，不等式的解集为x|1xa118解由已知得 0a1，由 f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立2111322mxmxxmxmx在 x(0，1恒成立整理，当 x(0，1)时，1) 1(1222xxmxx恒成立，即当 x(0，1时，112122xxmxxm恒成立，且 x=1 时，1) 1(1222xxmxmx恒