大学生数学竞赛非数试题及答案

1、大学生数学竞赛（非数学类）试卷及标准答案:业专题号一二三四五六七八总分满分205101510101515100得分考试形式：闭卷考试时间：120分钟满分：100分.注率：1.所有仃题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无 得分效.2.密时线左顺恤通）侬封编?卜贞微0雅必及相关标记评阅人 计算limx_0一 cosxx(1 - cos . x)(2)设 f(x)在 x=2 连续，且 lim f(x) -3 存在,则 f(2)二. x 总 x -2(3)若 f (t) =lim t(1 +1)2tx ,则 f '(t)=. x x 已知f(x)的一个原函数为in2x,则Jxf

2、9;(x)dx=.:校院在所 ：号证份身一 1 .(1) .(2)3.(3)(2t 1)e .(4) 2ln x -ln2 x C .2得分评阅人解：口 yx2dxdy二 口（Dry :xx22D:0 <x <1,0 < y <1.2 y-xdxdy,其中y)dxdy + f(yx2)dxdy2 分D2：y _x21 x291197 d” (x _y)dy+10dxJx2(y _x )dy1130 得分(10 分)+1 y =sin f (x2）,其中f具有二阶:名姓评阅人解：dy=2xf(x2)cosf(x2),dx2dy.222.222.222r八2-=2f(x)c

3、osf(x)+4xf(x)cosf(x)-4xf(x)sinf(x)7分dx=2f(x2)cosf(x2)+4x2f“(x2)cosf(x2)f'(x2)2sinf(x2)10分.得分inaId-一四、W5)伙)已知fex，3-2exdx=,求a的值.。3ana:=dina,1解：ex.3-2exdx3_2exd(3-2ex)3o2,o令3-2ex=t,所以ina:13_2a厂jex3-2exdx=f<tdt6分027=-,21产7分23=-J(3-2a)31,9分3ina111由fex可32exdx=,故一J(32a)3-1=-,12分0333即J(3_2a)3=013分亦即3

4、2a=014分+ y-ex =0满足条件二exHe!elnxdx+C5分，一=-“xdx+C6分x1v,=-(e+C).7分x所以原方程的通解是y=1(exC).8x再由条件yx4=e,<e=e+C,即C=0,9因此，所求的特解是y=J.10分.x得分评阅人六(10分)、若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(xi)=f(x2)=f(x3),其中a<x1<x2<x3<b,证明：在(xi,x3)内至少有一点-,使f'(：)=0。证：由于f(x)在(a,b)内具有二阶导数，所以f(x)在以1«21上连续，在(«2)内可导，再根据题意

5、f(x1)=f(x2),由罗尔定理知至少存在一点£w(x1,x2),使f'(。)=0;3分同理，在x2,x3上对函数f(x)使用罗尔定理得至少存在一点2e(x2,x3),使f(2)=0；对于函数f'(x),由已知条件知f'(x)在匕，上连续，在(七，三)内可导,且fK)=f'J)=0,由罗尔定理知至少存在一点5(匕，之2),使f"K)=0,而1,巴2)=(Xi,X3),故结论得证10 分.;得分由 (15分)已知曲线 y =e：y评阅人(1)3平面图形D= sinx和直线x = 0, x = 1围成平面图形D.(2)求D绕x轴旋转所成立体的体

6、积.1解：(1)A=fo(ex-sinx)dx2分=(ex+cosx)04分=e+cos1-25分b_9.t(2)因为VxLf2(x)dx,6分所以Vx二冗J(e2x-sin2x)dx9分=ni-e2x-x+-sin2x111分_2240=nl|-(e2-1)-+-sin2'13分IL224=n!J(e2+Isin2)-1.15分.,22八、得分(15分)设u=评阅人f(x,y,z)有夹U续的一阶偏导数，又函数两式确定：y=y(x)及z=z(x)分别由下列xyxx-zsintdue-xy=2e=Jdt，求.0tdx九刀du:干开dyffdz解：一=一十,一,(1)-dx二x/dx二zdx由exy-xy=2两边对x求导，得exy(y+xdy)-(y+x-dy)=01,7分dxdx即曳=y9分dxx又由ex=r”则d