北京工业大学工程数学薛毅作业

1、线性规划和整数规划试验1. 生产计划安排NWAC电力公司为军事承包商生产4中类型的电缆，每种电缆必须经过4种相继的操作：拼接、焊接、套管和检查。表2.1给出了该问题相关的数据，承包商保证对于四种电缆的每一种最低产量是100个单位。（1） 将问题建立成一个线性规划模型，并确定最优的产品进度表。（2） 基于对偶价格（Dual Price），你会推荐增加四种操作中的哪一种操作能力？试解释。（3） 对于四种电缆的最低产量要求对NWAC电力公司有利还是不利？试分析。解答：（1）设四种电缆的日产量为Xi（i=1,2,3,4），所有目标函数应为：max=9.4*X1+10.8*X2+8.75*X3+7.8*

2、X4约束条件10.5*X1+9.3*X2+11.6X3+8.2X4480020.4*X1+24.6*X2+17.7X3+26.5X496003.2*X1+2.5*X2+3.6X3+5.5X447005.0*X1+5.0*X2+5.0X3+5.04500 Xi100，Xi为整数Lingo语句：max=9.4*X1+10.8*X2+8.75*X3+7.8*X4;10.5*X1+9.3*X2+11.6*X3+8.2*X4=4800;20.4*X1+24.6*X2+17.7*X3+26.5*X4=9600;3.2*X1+2.5*X2+3.6*X3+5.5*X4=4700;5.0*X1+5.0*X2+5

3、.0*X3+5.0*X4=100; X2=100; X3=100; X4=100;gin(X1); gin(X2); gin(X3); gin(X4);End输出结果 Global optimal solution found. Objective value: 4009.550 Objective bound: 4009.550 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 -9.400000 X2 101

4、.0000 -10.80000 X3 137.0000 -8.750000 X4 100.0000 -7.800000Row Slack or Surplus Dual Price 1 4009.550 1.000000 2 401.5000 0.000000 3 0.5000000 0.000000 4 3084.300 0.000000 5 2310.000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 1.000000 0.000000 8 37.00000 0.000000 9 0.000000 0.000000结果分析：生产的最优进度，利润最大化为SC320生产100

5、个单位，SC325生产101个单位，SC340生产137个单位，SC370生产100个单位。（2）对偶价格：Lingo语句：min=4800*Y1+9600*Y2+4700*Y3+4500*Y4;10.5*Y1+20.4*Y2+3.2*Y3+5.0*Y4=9.4; 9.3*Y1+24.6*Y2+2.5*Y3+5.0*Y4=10.8;11.6*Y1+17.7*Y2+3.6*Y3+5.0*Y4=8.75;8.2*Y1+26.5*Y2+5.5*Y3+5.0*Y4=7.8;Y1=0; Y2=0; Y3=0; Y4=0;end运行结果： Global optimal solution found. Ob

6、jective value: 4448.199 Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost Y1 0.1995031 0.000000 Y2 0.3636025 0.000000 Y3 0.000000 3294.783 Y4 0.000000 2214.286 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4448.199 -1.000000 2 0.1122733 0.000000 3 0.000000 -218.6335 4 0.000000 -238

7、.5093 5 3.471391 0.000000 6 0.1995031 0.000000 7 0.3636025 0.000000 8 0.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000结果分析：应提升套管(第三种)的操作能力。（3）Lingo语句：max=9.4*X1+10.8*X2+8.75*X3+7.8*X4;10.5*X1+9.3*X2+11.6*X3+8.2*X4=4800;20.4*X1+24.6*X2+17.7*X3+26.5*X4=9600;3.2*X1+2.5*X2+3.6*X3+5.5*X4=4700;5.0*X1+5.0*X2+5.0*X3+5

8、.0*X4=0; X2=0; X3=0; X4=0;gin(X1); gin(X2); gin(X3); gin(X4);end运行结果： Global optimal solution found. Objective value: 4447.700 Objective bound: 4447.700 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 2Total solver iterations: 12 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 -9.400000 X2 219.0000 -10.800

9、00 X3 238.0000 -8.750000 X4 0.000000 -7.800000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4447.700 1.000000 2 2.500000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 3295.700 0.000000 5 2215.000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 219.0000 0.000000 8 238.0000 0.000000 9 0.000000 0.000000根据运算结果分析有：根据总量分析可知对于四种电缆的最低产量要求对NWAC电力公司是不

10、利的。2. 工程进度问题某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程。每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样。表2.2提供这此项目的基本数据。工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成。必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而，每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%。每年底，工程完成的部分立刻入住，并目实现一定比例的收入。例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是0.4 x 50(第二年)+0.4 x 50(第三年)+ 0.4+0.6) x 50(第四年)+ (0.4+0.6) x 50(第五年)=(4x0.4+2x0.6)

11、x50(单位:万元)。试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。解答：设某年某工程的完成量为Xij，其中，i表示工程的代号（i=1，2，3，4），j表示年数（j=1，2，3，4，5）：如第一年工程1完成量为X11，工程3完成量为X31，到第二年工程1已完成X12，工程3完成X32；工程的投入与完成有一定得关系关系，既第一年投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%工程1利润：50 *X11+50 * (X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润：70*X22+70*(X22+X23) +70*(X22+X23+X24) 工

12、程3利润：150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33) +150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润：20*X43+20*(X43 +X44)根据题意有：max (50*X11+50* (X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) +(70*(X22+70*(X22+X23) +70*(X22+X23+X24)+( 150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33) +150*(X31+X32+X33+X34)+( 20*X43+20*(X43+X44)5000*X11+1500

13、0*X31=30005000*X12+8000*X22+15000*X32=60005000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=70008000*X24+15000*X34+1200*X44=70008000*X25+15000*X35=7000X11+X12+X13=1X22+X23+X24+X250.25X22+X23+X24+X251X31+X32+X33+X34+X350.25X31+X32+X33+X34+X351X43+X44=1Lingo语句：max=50*(4*X11+3*X12+2*X13) +70*(3*X22+2*X23+1*X24)+150

14、*(4*X31+3*X32+2*X33+1*X34)+20*(2*X43+1*X44);5000*X11+15000*X31=3000;5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000;5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000;8000*X24+15000*X34+1200*X44=7000;8000*X25+15000*X35=7000;X11+X12+X13=1;X22+X23+X24+X25=0.25;X31+X32+X33+X34+X35=0.25;X43+X44=1;end输出结果： Global optimal soluti

15、on found. Objective value: 523.7500 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 10 Variable Value Reduced Cost X11 0.6000000 0.000000 X12 0.4000000 0.000000 X13 0.000000 0.000000 X22 0.000000 20.00000 X23 0.000000 10.00000 X24 0.2250000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 0.2666667 0.000000 X3

16、3 0.3866667 0.000000 X34 0.3466667 0.000000 X43 1.000000 0.000000 X44 0.000000 8.000000 X25 0.7750000 0.000000 X35 0.000000 18.75000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 523.7500 1.000000 2 0.000000 0.3875000E-01 3 0.000000 0.2875000E-01 4 0.000000 0.1875000E-01 5 0.000000 0.8750000E-02 6 800.0000 0.00

17、0000 7 0.000000 6.250000 8 0.000000 0.000000 9 0.7500000 0.000000 10 0.000000 18.75000 11 0.7500000 0.000000 12 0.000000 17.50000根据运算结果分析有：最大利润的获得，需要按照如下方式完成工程：工程一：第一年完成60%，第二年完成40%；工程二：第四年完成22.5%、第五年完成77.5%；工程三：第二年完成27%、第三年完成39%、第四年完成34%；工程四：第三年完成100%。3. 投资问题一个商业主管在两个计划中有投资选择权：计划A保证每1美元的投资在一年后能赚得0.

18、70美元，而计划B保证每1美元的投资在两年后能赚得3美元。对于计划A，可以按年制定投资计划，而对于计划B，只允许以两年为周期制定投资规划。主管应如何投资100,000美元，使得3在年末的收入达到最大？解答：设,(i=1,2,3)表示第i年给计划A,B的投资金额。根据题意分析：第一年：应该将10万美元全部投入到计划A,B中，所以有：+=100000第二年：因为计划A可以按年制订投资计划，而B只允许以两年为周期制定投资规划，所以第二年的资金仅为第一年投资在A计划中的本金和利润，即1.7。所以有： +=1.7第三年：第三年初手中的资金为第一年投资在B计划中的本息和第二年投资在A计划中的本息，所以有：

19、=1.7+4第三年末的本息表示为：4+1.7此外有： ,(i=1,2,3)=0目标函数，该问题要求第三年末收入达到最大，目标函数表示为f(x)=4+1.7邱最大投资收益即求最大值，建立数学模型max=4+1.7+=100000+=1.7,=1.7+4, (i=1,2,3)=0LINGO语句：max=1.7*X3a+4*X2b;X1a+X1b=100000;X2a+X2b=1.7*X1a;1.7*X2a+4*X1b=X3a;运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 680000.0Total solver iterations: 0

20、Variable Value Reduced Cost X3A 400000.0 0.000000 X2B 0.000000 0.000000 X1A 0.000000 0.000000 X1B 100000.0 0.000000 X2A 0.000000 1.110000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 680000.0 1.000000 2 0.000000 6.800000 3 0.000000 4.000000 4 0.000000 -1.700000根据计算结果分析有：第一年给计划B投资100000，第三年给计划A投资400000。第三年末收入达到

21、最大为680000美元。4. 生产计划与库存问题某公司已签订了在未来的六、七、八月份生产的A、B两种产品的合同。总的生产能力（用小时表示）每月不同。表2.3给出了本问题的基本数据。对于产品A和B，每小时的单位生产率分别是1.25和1。所有的需求必须被满足。然而，后面月份的需求可以从前面的月份的生产来填补。对于任何从本月转到下一月的产品，每件产品A和产品B每月分别发生0.90美元和0.75美元的贮存成本。A、B两种产品的单位生产成本分别是30美元和28美元。试为两种产品确定最优的生产生产计划安排。解答：对于i=0，1,2，令，分别表示第六,七,八月生产的A, B产品所耗费的时间（以小时为单位），

22、,在i=0,1,2时分别表示第六,七,八月初A，B产品的库存量，又由题可知=0，在六,七,八月A,B产品的生产量分别为1.25，。六月份约束条件为：+=500=1000=0七月份约束条件为：+=5000;+=1200;八月份约束条件为：+=750;+=1200;总生产成本30*1.25*（+）+28*（+）储存成本 0.9*（+）+0.75*（+）目标函数=总生产成本+储存成本建立模型如下：F（x）=30*1.25*（+）+28*（+）+0.9*（+）+0.75*（+）LINGO语句：min=30*1.25*(x0a+x1a+x2a)+28*(x0b+x1b+x2b)+0.9*(i0a+i1a

23、+i2a)+0.75*(i0b+i1b+i2b);x0a+x0b=500;x0b=1000;i0a=0;i0b=0;x1a+x1b=5000;x1b+i1b=1200;x2a+x2b=750;x2b+i2b=1200;运行结果：Global optimal solution found.Objective value: 248862.5Total solver iterations: 9 Variable Value Reduced Cost X0A 900.0000 0.000000 X1A 3500.000 0.000000 X2A 0.000000 37.50000 X0B 2600.0

24、00 0.000000 X1B 0.000000 7.000000 X2B 150.0000 0.000000 I0A 0.000000 0.000000 I1A 625.0000 0.000000 I2A 4250.000 0.000000 I0B 0.000000 0.000000 I1B 2250.000 0.000000 I2B 1050.000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 248862.5 -1.000000 2 0.000000 5.125000 3 625.0000 0.000000 4 1600.000 0.000000

25、 5 0.000000 -0.9000000 6 0.000000 -0.7500000 7 0.000000 6.250000 8 0.000000 34.10000 9 0.000000 26.50000 10 0.000000 -35.90000 11 1050.000 0.000000 12 2850.000 0.000000 13 0.000000 -0.9000000 14 0.000000 27.25000 15 3500.000 0.000000 16 0.000000 -28.00000根据运算结果分析有:满足A需求6,7,8月份投入的时间(单位:小时)分别为:900,350

26、0,0;满足B需求6,7,8月份投入的时间(单位:小时)分别为:2600,0,150;满足A需求6,7,8月份的存库量(单位:件)分别为:0,625,4250;满足B需求6,7,8月份的存库量(单位:件)分别为:0,2250,1050;6,7,8三个月的最小生产成本为248862.5美元.5. 职员日程安排问题（1）在一个星期中每天安排一定数量的职员，每天需要的职员数如表2.4所示，每个职员每周连续工作五天，休息两天，每天付给每个职员的工资是200元。公司将如何安排每天开始的工作人数，使得总费用最小。解答：设X1为星期一开始工作的人数，X2为星期二开始工作的人数X6为星期六开始工作的人数，X7

27、为星期日开始工作的人数。 目标函数为：min=200（X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7）按照每天所需售货员的人数写出约束条件，由于除了周二和周三开始工作的之外，其余都会在周一工作，所以周一应有X1+X4+X5+X6+X7个人工作，以此类推得出约束条件：X1+X4+X5+X6+X718Lingo语句：min =200*(X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7);X1+X4+X5+X6+X7=18;X1+X2+X5+X6+X7=15;X1+X2+X3+X6+X7=12;X1+X2+X3+X4+X7=16;X1+X2+X3+X4+X5=19;X2+X3+X4+X5+X6=14;X3+X4+

28、X5+X6+X7=12;gin(X1);gin(X2);gin(X3);gin(X4);gin(X5);gin(X6);gin(X7);gin(X8);end运算结果： Global optimal solution found. Objective value: 4400.000 Objective bound: 4400.000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 20 Variable Value Reduced Cost X1 7.000000 200.0000 X2 2

29、.000000 200.0000 X3 0.000000 200.0000 X4 6.000000 200.0000 X5 4.000000 200.0000 X6 2.000000 200.0000 X7 1.000000 200.0000 X8 0.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4400.000 -1.000000 2 2.000000 0.000000 3 1.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 0.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.

30、000000 0.000000 8 1.000000 0.000000结果分析：总费用最小是，应该为周一7人开始工作；周二2人开始工作；周四6人开始工作；周五4人开始工作；周六2人开始工作；周日1人开始工作。（2）假设公司每天工作8小时，周一需要18名职员，共计144小时，以此类推，公司计划雇用全职人员和兼职人员完成公司的工作，其中全职人员每天工作8小时，兼职人员每天工作4小时，无论是全职人员还是兼职人员，均是每周连续工作5天，休息2天。全职人员每小时工资25元，兼职人员每小时工资15元，并且一周内兼职人员的总工作时间不能超过全体职员总工作时间的25%，试问该公司如何安排职员的工作时间，使公司

31、的总花费最小。解答：Xi表示的是第i日开始工作的全职人员的人数，Yi表示的是第i日开始工作的兼职原人的人数。（i=1 ，2 .7)全职人员每周工资为25*8*5=1000；兼职人员每日工资为15*4*5=300目标函数为：min=1000X1+300Y1+1000X2+300Y2+1000X3+300Y3+1000X4+300Y4+1000X5+300Y5+1000X6+300Y6+1000X7+300Y7Lingo语句：min=1000*x1+300*y1+1000*x2+300*y2+1000*x3+300*y3+1000*x4+300*y4+1000*x5+300*y5+1000*x6+300*y6+1000*x7+300*y7;x4+x5+x6+x7+x1+y4+y5+y6+y7+y118;x5+x6+x7+x1+x2+y5+y6+y7+y1+y215;x6+x7+x1+x2+x3+y6+y7+y1+y2+y312;x7+x1+x2+x3+x4+y7+y1+y2+y3+y416;x1+x2+x3+x4+x5+y1+y2+y3+y4+y519;x2+x3+x4+x5+x6+y2+y3+y4+y5+y614;x3+x4+x5+x6+x7+y3+y4+y5+y6+y712;8*x4+8*x5+8*x6+8*x7+8