北京科技大学计算方法试题2006

1、一、填空题（1-7每空2%*10，8-9每空3%*10）1、数值的近似值，若满足（），则称有4位有效数字. 2、已知,则范数=5，=(28).3、解非线性方程的牛顿迭代法在3重根附近是（线性）收敛的。4、若，则其10阶差商105、求解常微分方程初值问题的梯形公式为 或 。6、若系数矩阵是（严格对角占优）阵，则求解线性方程组的雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法都收敛。7、复化抛物线公式的收敛阶是（4）。8、给定矩阵，则其雅可比迭代矩阵为（），高斯赛德尔迭代矩阵为（）。9、利用Romberg序列，近似计算，若，则=(0).二、（10分）使用LU分解求解方程解：LU分解6分，L和U各3分，个别数据错误酌

2、情扣分 每个解1分三、（10分）已知正弦函数表:x21。22。24。25。f(x)0.355370.376410.406740.42262用Newton插值求sin23的近似值，并估计误差。（注）解：（1）xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商210.35537220.376410.02104240.406740.015165-0.0019583250.422620.015880.000238330.000549167每个差商1分，共6分插值2分其中注意到误差或误差分析2分注实际值（2）xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商0.355370.376411.205500.406740.86889-6.4

3、45740.422620.909860.76265103.25727每个差商1分，共6分插值2分其中注意到误差或误差分析2分注实际值四、（10分）使用牛顿迭代法求解方程在区间上的解，要求精确到小数点后3位。解：迭代公式迭代公式2分 选择初始点需要下面每步迭代2分（基本上仅需四次迭代）共8分（1）取（2）取（3）取五、（12分）找出合适的使求积公式代数精度尽可能高。并给出此最高代数精确度。解：令令=0令令令令若原求积公式有4次以上的代数精确度，需要上述三个方程每个2分由（1）得 （4）将代入（2）（3）得 和 即 和 所以求解得(1分) 所以(1分)(2分)即由前面的分析求解过程知当时等式左右均

4、相等而时，而所以在，和 时达到最高代数精确度5。验证最高精度2分六、（10分）找出合适的四次多项式，使得且，。解：（方法一）因为所以 (2分)又为四次多项式，所以为一次多项式，设，（1分）则（1分）（1分）(1分)(1分)解得(2分)所以(1分)（方法二）设则每个方程1分解得 a=0,b=-3,c=8,d=-5,e=1 每个系数1分(方法3)使用基函数其中求得每个基函数1分七、(10分)取h=0.1, 用改进欧拉法求初值问题在x=0.1, 0.2，0.3处的近似值. 计算过程保留4位小数.解：（2分）（2分）（3分）（3分）八、（13分）用二次多项式最小二乘拟合如下数据x-3-1013y1.752.453.814.807.01 (1)利用正交化方法求这些结点的前三个正交多项式。 (2)利用正交多项式求出最小二乘拟合的二次多项式，并计算出其平方误差。解：（1）（1分）， 。 （2分），。4， 。（2分） （2）x-3-1013y1.752.