同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学

1、第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为 一元函数一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题.但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用.从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推.通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及 解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法第1节多元函数的基本概念1.1平面点集为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识， 在一元函

2、数微积分中， 区间的概念是很重要的， 大部分问题是在区间上讨论的. 在平面上，与区间这一概念相对应 的概念是邻域.1.1.1令邻域设R(xo,yo)是xOy平面上的一定点，是某一正数，与点 Po(Xo,yo)的距离小于的点P(x, y)的全体，称为点 R(x0,y0)的：邻域，记为U (R,、)，即U(P =P|PP6,亦即u (Po,6) =(x, y) J(x Xo)2 + (y y)2 0,x -0,1 _x2 _y20,即D = x, y | x - 0, x ： y, x2 y2 A P Po ,P才0此时也称当Pt P0时f (P)的极限存在，否则称f (P)的极限不存在.若P点的

3、坐标 为(xo, yo) , P点的坐标为 x, y，则上式又可写为(X yljm y)f (x, y) = A或f (x, y) fA ( XTxo,yo).类似于一元函数，f (P)无限趋于A可用f(P)-A g来刻画，点P = P(x,y )无限 趋于P) =Po(Xo,y)可用PoP = J(X_xo)2 +(y_y)2乙刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义.定义2设二元函数Z二f (P) = f (x, y)的定义域为D, P0(x0,y0)是D的一个聚点,A为常数.若对任给的正数；，不论；多小，总存在0 ,当P(x, y) D,且F0P = J(xXo)2 +(y -yo) 时，

4、总有f (P)A| P0时的极限.如果P(x, y)以某些特殊方式(如 沿某几条直线或几条曲线)趋于R (x0, y0)时，即使函数值f ( P)趋于同一常数 A，我们也不能由此断定函数的极限存在.但是反过来，当P在D内沿不同的路径趋于 P时，f(P)趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在.二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述.工xy_ 设 f (x, y)工三x2 y20，2,xy20,判断极限x2y2 = 0,xji% f(x,y)是否存在?解 当P(x, y)沿x轴趋于(0,0)时，有y=0，于是lim f(x, y)=lim 2 0 2 = 0 ;x,y

5、 冷0x 0 x2 02当P(x, y)沿y轴趋于(0,0)时，有x=0，于是=0.x=07但不能因为P(x, y)以上述两种特殊方式趋于(0,0)时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在.因为当P(x, y)沿直线y =kx k = 0 )趋于(0,0)时，有9limf(x,y) = lim ,I7(1 + k)2x21 + k2这个极限值随k不同而变化，故(x, y)不存在.例4求下列函数的极限:(1)2一 R;,0xy2xy，0 x2 y2In 1 xy2 limx,y 心 y .x2y2 - .xy 4,0xy-xy- lim,0 xy 2 xy 4 x,; 0,0 2, xy

6、410#当X-； 0,讨一;0时,x2 y2 = 0，有 x2 y2 _ 2 xy .这时，函数 2xy 2有界，而y是当xt0且yO时的无穷小，根据无穷小量与有界函x + y数的乘积仍为无穷小量，得In 1 xy从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同.1.4二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性.定义3设二元函数z = f (x,y)在点R(x0,y0)的某邻域内有定义，如果xy%。f x.y -f(x0，Y0)，则称函数f(x,y)在点匕区必)处连续，卩0(心丫0)称为f (x,y)的连续点；否则称f (x,y) 在R(x0,

7、y。)处间断(不连续),R)(x0,y。)称为f (x,y)的间断点.与一元函数相仿，二元函数z=f(x, y)在点F0(x0,y0)处连续，必须满足三个条件： 函数在点 丘化。)有定义；函数在丘&0,%)处的极限存在；函数在卩。(心丫0)处的极 限与F0(x0, y0)处的函数值相等，只要三条中有一条不满足， 函数在F0(x0, y0)处就不连续.xy 22 c?2, x2 y - 0,1由例3可知，f (x, y) = x2 y在(0,0)处间断；函数在直线22x y0,x y 0,11#x y = 0上每一点处间断.如果f (x, y)在平面区域Df(x,y)是D内的连续函数，记为内每一

8、点处都连续，则称f (x, y)在区域D内连续，也称f(x,y)C D 在区域D上连续函数的图形是一张既 没有 洞”也没有 裂缝”的曲面.一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用，故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零 )；二元连续函数的复合函数也是连续函数.与一元初等函数类似， 二元初等函数是可用含 x, y的一个解析式所表示的函数，而这个式子是由常数、x的基本初等函数、y的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的，例如sin x y , 2xy 2 , arcsin仝等都是二元初等函数.二元初等函数在其定义域的区域 x+y y内处处连续.与闭区间上

9、一元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质.性质1(最值定理)若f (x, y)在有界闭区域 D上连续，则f (x, y)在D上必取得最大 值与最小值.推论 若f(x, y)在有界闭区域 D上连续，则f(x,y)在D上有界.性质2(介值定理)若f (x, y)在有界闭区域D上连续，M和m分别是f (x, y)在D上 的最大值与最小值，则对于介于 M与m之间的任意一个数 C,必存在一点(x0,y0)D ,使 得 f (x, y) = C .以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去.习题9 11判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区

10、域、有界集、无界集？并分别指出它们的 聚点组成的点集和边界 x,y |x = 0,y = 0;(2)、x, y |1 ： x2 y2 乞 4；(3)、x, y | y x2 二2求下列函数的定义域，并画出其示意图：2yb2 ； z = x - :y ；1In(x _ y)u323.设函数 f x, y =x - 2xy 3y，求 f(2,3)；(2) f -,- ;(3) f(x + y,x y).4讨论下列函数在点0,0处的极限是否存在:(1)xyx2y4Z-M y丿13#5.求下列极限:(1)sin xy lim -1十；：,0lim三亠x,y o,oxyln xey.x2 y26证明：二

11、元函数f(x,y)=求在(0,0 倬连续.0, x2+y2=0.7设二元函数1 1Ifx + y )sin sin ,xy 式0,f x, yx y，试判断f x, y在点0,0处I0, xy = 0.的连续性.y2 2xy2 -2x在何处是间断的?#第2节 偏导数与全微分2.1偏导数的概念2.1.1偏导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念.由于二元函数的自变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率在这一节，我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念.设函数z = f x, y在点x0,y0的某邻域内有

12、定义，x在x0有改变量 x厶x = 0，而y =yo保持不变，这时函数的改变量为：xZ = f Xo、x, yo - f xo, yo ,.:xz称为函数f x, y在xd, y0处关于x的偏改变量（或偏增量）.类似地可定义f x,y关于y的偏增量为：yZ= f Xo,y 、y - f Xo,y .有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义.定义1设函数z = f x,y在xo,yo的某邻域内有定义，如果lim 厘=lim匚xf(Xo：x, yo) - f (Xo, yo)Ax存在，则称此极限值为函数 z = f x, y在xo, yo处关于x的偏导数，并称函数z = f x, y在点Xo,yo处

13、关于x可偏导记作:z.XX =xof.XX =xoZxx=Xoy _yo,fx(Xo, yo).#类似地，可定义函数z = f x, y在点xo, yo处关于自变量y的偏导数为记作f (心 y。：y) - f(xo,y。)X沟 y 士:faX 沟，Zyy 士fy(Xo,yo).#fx(x,y)二 l.im.o如果函数z = f x, y在区域D内每一点 x, y处的偏导数都存在，即f (x ：x, y) - f (x, y)Axf (x, y . y) f (x,y) fydry存在，则上述两个偏导数还是关于 x, y的二元函数，分别称为 z对x, y的偏导函数(简称为偏导数)并记作,或丄，丄

14、或Zx,Zy或fx(x,y), fy(x, y) :x :：y：x :：y不难看出，z = f x, y在x0, y0关于x的偏导数fx(x),y0)就是偏导函数fx(x,y)在Xo, yo处的函数值，而fy(xo,y)就是偏导函数fy(x,y)在xo,y处的函数值.由于偏导数是将二元函数中的一个自变量固定不变，只让另一个自变量变化，相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极限；因此，求偏导数问题仍然是求一元函数的导数问ff题求时，把y看做常量，将z=f x, y看做x的一元函数对x求导；求时，把xexcy看做常量，将z = f x,y看做y的一元函数对y求导.三元及三元以上的多元函数的偏导数

15、，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了.例1求函数z = sin x+y exy在点1, -1处的偏导数.解 将y看成常量，对x求导得 =exycos( x y) y sin(x y);.x将x看成常量，对y求导得三二 exycos(x y) xsin(x y) -:y再将x = 1, y = -1代入上式得:z:xx 1y 1x=1 y 1-4=e16#例2 求函数z = x2y y21n x 4的偏导数.#2z 小 y2xy.xx=x2 2y ln x .#例3设Z=Xy X Cxul ,求证:-z = 2zy :x In x ：:y17证因为=yxy 1,z=xylnx ,:xy所以

16、 = -yxyJxy In x = xy xy = 2z .y ln x jy yln x2x例4 求函数u =sin x y -e 的偏导数.解 将y和z看做常量，对x求导得 ：U2cos x y:x-ez ,同样可得-U2 x-Uz2 z2ycos x y -e ,e cos x y -e .:y:z2.1.2二元函数偏导数的几何意义由于偏导数实质上就是一元函数的导数，而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的斜率，因此，二元函数的偏导数也有类似的几何意义.设z = f x, y在点x0, y0处的偏导数存在，由于fX(x0, y0)就是一元函数f x, y0在x处的导数值，即fx(x,y)

17、 = f (x, y0)_dxx，故只须弄清楚一元函数f x, y0的%几何意义，再根据一元函数的导数的几何意义，就可以得到fxCxy。)的几何意义.z二f x, y在几何上表示一曲面，过点x0, y0作平行于xz面的平面y = y0，该平面与曲面z = f x, y相截得到截线r z = f(x,y),14 r若将y = y代入第一个方程，得z = f (x, yo).可见截线 r是平面y = y上一条平面曲线，丨1在y=y上的方程就是z=f x,y 从而fx(X0,y) =f(x, y)_dxI表示1x=x)在点Mo h.Xo,yo, f x,yo厂i处的切线对x轴的斜率(图9-5).d

18、同理，fZ) =表示平面x=x0与z=f(x, y )的截线y=yf (x, y),x = Xo.-2 :19在Mo二x,y,f Xo,yoiwr2处的切线对y轴的斜率(图9 5).图9 520例5讨论函数f(x, y),X2 y2 =o.#o,x2 y2 =o.在点(0,0)处的两个偏导数是否存在.fx(0, 0扌o ：x,ot f (oAx(o rx)、oo(o . ：x)2 o2同样有fy(O,O) =o 这表明f x,y在(o,o)处对x和对y的偏导数存在，即在(o,o)处 两个偏导数都存在.由上节例3知：该函数在(o,o)处不连续本例指出，对于二元函数而言，函数在某点 的偏导数存在，

19、不能保证函数在该点连续.但在一元函数中，我们有结论：可导必连续.这 并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x轴与y轴方向的变化率，fx(xo,yo)存在，只能保证一元函数f x, yo在xo处连续，即 Ho与z=f x, y的截线-i在M x,yo,Z处连续同时fy(xo,yo)只能保证-2在Mo Xo,yo,Zo处连续，但两曲线-12在Mo xo, yo,zo处连续并不能保证曲面 z = f x,y在Mo x,yo,zo处连续.2.2高阶偏导数设函数z = f x, y在区域D内具有偏导数 =fx(x,y)， - = fy(x, y),那么在D内 excyfx(x, y)及fy(x, y)都是x,

20、 y的二元函数如果这两个函数的偏导数还存在，则称它们是函数z二f x,y的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：#jx,y),xA= fyy(X, y)，：yz z()fxy(x, y)，.y : x :x_y21#其中fxy （或 切）与fyx （或彳21 ）称为f X, y的二阶混合偏导数同样可定义三阶，四阶，n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 求函数z = xy x2 sin y的所有二阶偏导数和?z2jy :x2解 因为三=y+2xs iny,.x；Z 2=x+x cosy,-:y所以-2:z=2s iny.；：2z；：2z；:x2:xy1 + 2x

21、cosy,=1+2xcosy,:y:xc2z2 .2 =x siny, yr3z2 = 2 coy-:：y：xe2从本例我们看到 二一,即两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然.xy :y：x事实上，有如下定理.定理1如果函数z二f x,y的两个二阶混合偏导数则在该区域内有:x .y-2z在区域D内连续,.yx-2 -2:Z : z.xy:y .x定理1表明：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.对于二元以上的函数,也可以类似的定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.验证函数z =丨n x2 y2满足方程；2z 乎z厂o -y所以.z#?2zx2 y2 -

22、x 2xy2 _x2：2Z x2 y2 -y 2yx2 一 y2j2z.:x2y2-2:z+-2y2 2 2x y2 27 22 ，x yx2-y22=0 -2.3全微分2.3.1 全微分的概念我们知道，一元函数y二f x如果可微，则函数的增量 Ay可用自变量的增量 Ax的线性函数近似求得在实际问题中，我们会遇到求二元函数z = f x,y的全增量的问题，一般说来，计算二元函数的全增量Az更为复杂，为了能像一元函数一样，用自变量的增量 Ax与Ay的线性函数近似代替全增量，我们引入二元函数的全微分的概念.定义2设函数z二f x,y在F0 x0,y0的某邻域内有定义，如果函数z在F0处的全增量 z

23、=- f x x, y y - f x, y 可表示成_z= Ax Biy+or ,其中A, B是与Ax, Ay无关，仅与x0, y0有关的常数， 尸.C x)2 (厶y)2 , o ( p)表示当 Ax0, Ay0时关于p的高阶无穷小量，则称函数 z=f(x, y )在R(X0，y0 )处可微，而称 Ax+By为f (x, y )在点F0(x0,y0 )处的全微分，记作dz 或df ，即dz= A也x + BAy .y z0若z = f x, y在区域D内处处可微，则称f x, y在D内可微，也称f x, y是D内 的可微函数.z = f x, y在x, y处的全微分记作dz,即dz 二 A

24、 x B y .二元函数z = f x, y在点P(x,y)的全微分具有以下两个性质：(1) dz是y的线性函数，即d A x B y ；(2) 冷dzz-dz=om 0，因此，当Uxy都很小时，可将 dz作为计算z的近似公式.多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续.但是对于可微函数却有如下结论：定理2如果函数z = f x,y在点x, y处可微，则函数在该点必连续.这是因为由可微的定义，得z = f x ： =x,y ： =y f x, y =A ：x B ：y+0i !23#“ + lim 举/3 |Ax|x iym,0 f(xx,y = f(x,y).即函数z = f

25、 x, y在点x, y处连续.一元函数可微与可导是等价的，那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢定理3如果函数z = f x, y在点x, y处可微，则z = f x,y在该点的两个偏导数二，二都存在，且有dz咲yexcy证 因为函数z二f x, y在点x, y处可微，故:z =A ：x - B ：y+o i, p=Cx)2 ()y)2 .令 y = 0，于是.*z = f x ：x, y f x, y = A x o I i x .由此得lim = |im f x %y f x,y0 _xo#同理可证得定理3的逆命题是否成立呢？即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该 点可微分呢？

26、一般情况下答案是否定的如函数f (x, y)二i xy22x2 y2,x y 0,0, x2 + y2 = 0在0,0处两个偏导数都存在，但f x,y在0,0处不连续，由定理2知，该函数在 0,0处不可微.但两个偏导数既存在且连续时，函数就是可微的.我们不加证明地给出如下定理.定理4 如果函数 z=f(x y)在(x, y )处的偏导数z，三存在且连续，则函数.:x _yz = f x, y在该点可微.类似于一元函数微分的情形，规定自变量的微分等于自变量的改变量.即dx = . ：x,d y = . y，于是由定理3有zzdz dx dy .dxdy以上关于二元函数的全微分的概念及结论，可以类

27、推到三元以上的函数中去.比如若三元函数u二f x, y, z在点P x, y, z处可微，则它的全微分为du=dx；:xdy dz.鋼-z25#例8 求下列函数的全微分:(2) u = xyzz = x2 sin2y ；#(1)因为:z: z=2xsin 2y ,.x:y.x=2x2 cos2y，所以 dz 二 2xsin 2ydx 2x2cos2 ydy .因为:uyzyzx-X.UyzUyz .zx in xyx In x ,:y: z所以du 二 yzxyz_ldx zxyz In xdy yxyz In xdz .例9求z = xy exy在点1,2处的全微分.解因 y，yexy,x

28、xexy得.x:yx壬=2 + 2e2,互 x =1 + e2, ex yy全dz x = (2 + 2e2 )dx +(1 +e2 )dy3.1.2全微分的运算法则类似于一元函数微分的运算法则，有26定理5 (全微分四则运算法则)设f x,y , g x, y在P x,y处可微，则1) f (x yg(x y)在 x, y 处可微，且d I f (x y) _ g(x y)丨二 d f (x y)丨 _ d lg(x y) 1;2) 若k为常数，kf(x y)在点x,y处可微，且d kf (x y) l - kd If (x y) 1；3) f(x y) g(x y)在点x,y处可微，且d

29、If (x y) g(x y)丨-g(x y)d If (x y) I f (x y)dg(x y) 1；4)当g(x,y)工时，卫泄 在点 x,y 处可微,g(x + y)d f (x + y)= g(x + y)df (x + y) + f (x+ y)dg(x + y) g(x + y)g2(x + y)22例10 求z=xsin x y 的全微分.-Z22222:Z22=sin x y 厂2x cos x y , = 2xycos x y , xjydz=d xsin(x2+y2 = xd sin(x2 + y2 dx=sin x2 y2 i亠 2x2cos x2jdx 2xy cos

30、 x2 y2dy1求下列各函数的偏导数:习题9 222y(1) z =3x 6xy 5y ;(2) z=ln ；xxy(3) z = xye；2.已知 f x,y = x 2y ex，求 fx 0,1 ,fy 0,1. z3.设 z = x y _ , x2y2，求一exCZ,4 , : y0,54.设 z = e求证:3:x285求下列函数的所有二阶偏导数.，八44,22 z = x y -4x y ; z = e cosy xsin y ； z=xln xy ；丄 x(4) u = arctan. y2 2 26 .设 f x,y,z=xy yz zx ,求 fx x0 , 0 , 1f

31、x，z1 , 0 ,y-2,及 0 ,1,0fzzx 2,0,17.验证x2y2z2满足2 2 2；：2r ；：2r ；：2r+ + .2 . 2 . 2.x y : z29#&求下列函数的全微分.x326y z =4xy 5x y ；(2) z = e ；yx2 y2x(3 ) z =xyy19设 f(x,y,z)f 求 dz|f,1,110.设 z =exy,x =1, y =1, ：x =0.15, = y =0.1,求 dz .第3节多元复合函数和隐函数的求导法则3.1复合函数的求导法则3.1.1复合函数的求导法则多元复合现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情

32、形, 函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用.定理1设函数Z = f u,v ),其中u = x ,v = x .如果函数u = x ,v = x都在x点可导，函数z=f（u,v ）在对应的点（u,v ）处可微，则复合函数z= f （x），屮（X）在x处可导，且(9-3-1)dz ；:z du；z dv=+dx ；:u dx；:v dx证 设自变量x的改变量为 Ax,中间变量u二、x和v=：,x的相应的改变量分别为Au和A/,函数z的改变量为 Az.因Z = f u,v在u,v处可微，由可微的定义有lz = dz ouv+o广,cucv22* ( i j其中二,C：u) ( ：v) ,

33、o0，:- 0，且 lim0,故有-z :：Z =u :：Z =v ： 0)=rrx .:u x ；：v X x因为u =x和v y ：i： x 在点x可导，故当y- 0时，AuT0 , Avt0 , 严0 ,=u du二 v dvx dx x dx在上式中令 Ax to ,两边取极限，得dz :z du : z dv=十.dx ；:u dx ；:v dxo( P) P注意，当Axto时，t0.p Ax这是由于这说明Axt 0时,沁、2归讦曲底）2+（g）2彳於）2嵋2，P是有界量,x）为无穷小量.从而P已上 t 0(Axt 0).P Z31#用同样的方法，可以得到中间变量多于两个的复合函数的

34、求导法则.比如#z=f u,v,w,而 u= x,v= x ,w = w x，则dz：z du：z dv：z dw=+dx；:u dx ；:v dx :w dx(9-3-2)因为所以dz设 z = u2v , u=cost,v=sint 求dt解 利用公式(9-3-1)求导,z = 2uv,三二 u2.:u ；vdudvsin t,cost ,dtdtW =竺理 豆聖uvsint u2cost2costsin2t cos3t dt ；u dt ；v dt本题也可将u =cost,v=sint代入函数z = u2v中，再用一元函数的取对数求导法，求得同样的结果.观察公式(9-3-1)，(9-3-

35、2)可以知道，若函数 z有2个中间变量，则公式右端是 2项之 和，若z有3个中间变量，则公式右端是3项之和，一般地，若 z有几个中间变量，则公式右端是几项之和，且每一项都是两个导数之积，即z对中间变量的偏导数再乘上该中间变量对x的导数.公式(9-3-1),(9-3-2)可借助复合关系图来理解和记忆.图9 6公式(9-3-1) , (9-3-2)称为多元复合函数求导的链式法则.上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x和y的情形.关于这种复合函数的求偏导问题，有如下定理：定理2设Z = f u, v在(u,v)处可微，函数u = u x, y 及v = v x, y 在点 x, y 的偏32#导

36、数存在，则复合函数 z = f u x, y ,v x,y 在x,y处的偏导数存在，且有如下的链式法则:z:z ：u :z : v=十:x-：u : x : v : x1三:z ：:u : z : v十.:u . y : v . y9-3-3):求时，将y看做常量，那么中间变量可以这样来理解:xu和v是x的一元(9-3-3)函数，应用定理1即可得但考虑到复合函数 Z=f u x, y ,v x,y 以及u = u x,y与v二v x, y都是x, y的二元函数，所以应把（9-3-1 ）中的全导数符号d 改为偏导数符号“：”公式（9-3-3）也可以推广到中间变量多于两个的情形.例如，设u=护:i

37、X, y y x, y ,w=w x, y的偏导数都存在，函数z=- f u,v,w可微，则复合函数z = f u x,y ,v x,y ,w x, y对x和y的偏导数都存在，且有如下链式法则l、r.r.ri-.l、- i-.；Z : Z :u : Z :V :Z : w+(9-3-4).x： u； x-V-x：w：xrL、 rL、i-.r尸；Z；Z:u；Z:V :Z:w=+ y：u -y-v :y :w ；：y特别对于下述情形：z = f u, x, y可微，而u= x, y的偏导数存在，则复合函数z = f x,y ,x,y对x及y的偏导数都存在，为了求出这两个偏导数，应将f中的变量看做中

38、间变量：u = x, y,v=x,w = y .此时,V=lV = 0W = 0W = i 33#由公式（9-3-4 ）得34#(9-3-5)注 这里二与兰的意义是不同的.是把f u,x,y中的u与y都看做常量对x的f-.f-.f-./ 書x: X: X.x公式(9-3-3) , (9-3-4) , ( 9-3-5)可借助图 9 7 理解.偏导数，而却是把二元复合函数f：；x, y ,x, y中y看做常量对x的偏导数.W4图9 7UA例 2 设 z = eu sin v,u = xy, v = x y,求 ，二x : y解 皂=竺迎十空必=eu si vy + ue cvOs 1:x ；u :

39、x :v ；x二 e | ysin x y i亠 cos x y ：丨，=eu sin v x eu cosv 135#= exy | xsin x y cos x y . I 例3设z = f u, v可微，求z = f x2 - y2, e对x及y的偏导数.解 引入中间变量u = x2 - y2 ,v = exy,由(9-3-3)得二 二丄、2x 丄lyeL 2xf1(x2 _ y2,exy) ye f2(x2 _ y2,exy)， .:x:u；:vf2y)2yf1(x2 y 2exy)+xeXf(x -y ,exy).y:u:v注 记号f,(x2-y2,exy)与f2(x2-y2,exy

40、)分别表示f u,v对第一个变量与第二个x例 4 设 z = xyf y变量在(xy2,exy)处的偏导数，可简写为f1与f2 ,后面还会用到这种表示方法.y，-:z:xyf&)+xyf1C)vUf胪占Y出/y x .yxy yx-x 一2= yfQ)+xf1(qy)-丘 f2G$),y x y x x y x旦xfX讨、J+ xyfx y、Jy x丿-y x 丿 yy x丿xxff、x yJ2x一/ 、X yJ+ yf2fxyy x丿yy x丿 0，仍有tx,ty卢D .如果存在非负常数k,使对任意的x, y卢D，恒有kf tx,ty=t f x,y ,则称二元函数z = f x,y为k次齐次函数.k=1时，称为线性齐次函数 例5证明k次齐次函数f x, y满足xfx(x,y) yfy (x, y) -kf(x, y).证明 在z = f tx,ty中，令u =tx, v =ty，当取定一点x, y时f tx,ty是t的一元函数，于是有二一 d - dt fx(tx,t