人教版数学选修精品--§2. 2 .1直接证明--综合法与分析法

1、人教版数学选修精品推理与证明§2. 2 .1 直接证明-综合法与分析法1教学目标：知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。2教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点3教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点4教具准备：与教材内容相关的资料。5教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等

2、是“变形”的常用方法。 6教学过程:学生探究过程：合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的，数学中的两大基本证明方法-直接证明与间接证明。若要证明下列问题：已知a,b>0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法设计意图：引导学生应用不等式证明以上问题，引出综合法的定义证明:因为,所以,因为,所以.因此, .P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q表示要证明的结论1. 综合法综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出

3、所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法例1、在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列, 成等比数列,求证ABC为等边三角形.分析：将 A , B , C 成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余

4、弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明证明：由 A, B, C成等差数列，有 2B=A + C 因为A,B,C为ABC的内角，所以A + B + C= 由 ，得B=.由a, b，c成等比数列，有.由余弦定理及，可得. 再由，得., 因此.从而A=C. 由，得A=B=C=.所以ABC为等边三角形解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来例2、已知求证本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。2）商值

5、比较法：设 故原不等式得证。注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？2. 分析法证明数学命题时，还经常从要证的结论 Q 出发，反推回去，寻求保证 Q 成立的条件，明尸 2 成立，再去寻求尸 2 成立的充分条件尸 3 件、定理、定义、公理等）为止乞，再去寻求尸 1 成立的充分条件尸 2 ；为了证 直到找到一个明显成立的条件（已知条即使 Q 成立的充分条件尸 1 为了证明尸 1 成立，分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转

6、化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法叫做分析法用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因分析法的书写格式： 要证明命题B为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真而已知A为真，故命题B必为真例3、求证证明：因为都是正数，所以为了证明只需证明展开得 即 因为成立，所以成立即证明了说明：分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有这只需要证明命

7、题B2为真，从而又有这只需要证明命题A为真而已知A为真，故B必真在本例中，如果我们从“21<25 ”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“21<25”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子例4 已知，且 求证：。分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去.观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 2一2&#

8、215; 得把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的证明：因为，所以将 代入，可得. 另一方面，要证即证 ， 即证，即证，即证。由于上式与相同，于是问题得证。例5 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明证明：设截面的周长为L，依题意，截面是

9、圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管的截面面积为，所以本题只需证明为了证明上式成立，只需证明 两边同乘以正数，得因此，只需证明上式是成立的，所以这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3课后作业：第84页 1，2, 3教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等

10、是“变形”的常用方法。分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。通过本节的学习，学生积极参加课堂教学，顺利地完成了教学任务，达到了预期的教学目的。但由于学生的基础较差，知识遗忘严重，在一定程度上影响了教学进度，使课堂上进度比较紧张。所以在以后的教学过程中，要特别注意学生的实际水平，让学生提前预习，以保

11、证课堂教学进度。通过本节的学习，使学生了解直接证明的基本方法-综合法，了解综合法的思考过程、特点；培养学生的数学计算能力，分析能力，逻辑推理能力。本节的教学应该是比较成功的。例1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：证明：2bc,a0,2abc 同理 2abc 2abc 因为a，b，c不全相等，所以2bc, 2ca, 2ab三式不能全取“=”号，从而、三式也不能全取“=”号例2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：证明：左右=2（ab+bcac）a，b，c成等比数列，又a，b，c都是正数，所以例3、若实数，求证：证明：采用差值比较法：=例4、已知a,b,c,dR,求证:ac

12、+bd分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd0时,显然成立(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)即证a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcdb2c2+a2d2即证0(bc-ad)2因为a,b,c,dR,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立分析二:用综合法证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2(ac+bd)2|ac+bd|ac+b

13、d故命题得证分析三:用比较法证法三:(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)20,(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2|ac+bd|ac+bd,即ac+bd 例5、设a、b是两个正实数，且ab，求证：a3+b3a2b+ab2    证明：(用分析法思路书写)    要证 a3+b3a2b+ab2成立，    只需证(a+b)(a2-ab+b2)ab(a+b)成立，    即需证a2-ab+b2ab成立。(a+b0)    只需证a2-2ab+b20成立，    即需证(a-b)20成立。    而由已知条件可知，ab，