中国石油大学近三年高数期末试题及答案

1、 20132014学年第一学期高等数学（2-1）期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准一（共5小题，每小题3分，共计1 5 分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“”或“” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1若在无界，则.（ ）- （ 1分 ）例如：，在无界，但. - （ 2分 ）2若在点连续，则在点必可导.（ ）- （ 1分 ） 例如：，在点连续，但 在 不可导. - （ 2分 ）3若，则或（ ）- （ 1分 ）例如：有，但，都不存在. - （ 2分 ）4若，则在点必取得极值.（ ）- （ 1分 ）例如：，但在点没有极值. -（ 2分 ）5若在有界，

2、则在必可积.（ ）- （ 1分 ）例如：，在有界，但在不可积. （ 2分 ）二（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1. 指出函数的间断点，并判断其类型. 解 函数的间断点为： - ( 3分 )当 即 时, 为函数的第一类可去间断点; - ( 2分 )当时, 为函数的第二类无穷间断点 . - ( 2分 )2求极限解 -（3分）- ( 3分 )-（1分）3设方程确定二阶可导函数，求.解1 对两边取对数，得 ，即 ，- ( 2分 )等式两边关于求导，得：，即，- ( 2分 )- ( 2分 ).- ( 1分 )三（共3小题，每小题7分，共计2 1分）1求不定积分.解 -（2分）（令） = -（2分）

3、=-（3分）2设 是函数的一个原函数，求.解 ，- ( 2分 )，- ( 2分 )- ( 3分 )3求定积分 .解 - ( 1分 )-（2分）-（2分）（令） -（1分）-（1分）四（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1已知一个长方形的长以2cm/s的速度增加，宽以3cm/s的速度增加，则当长为12cm，宽为5cm时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为，则 - ( 2分 )两边关于求导，得 ， 即 -（1）- ( 2分 )已知代入（1）式，得对角线的增加率：（cm/s）. - ( 2分 ) 2物体按规律做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为，计算该物体由移至时克

4、服阻力所做的功.解 - ( 2分 ), - ( 2分 ) . - ( 2分 )五（本题10分）已知，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为，令得驻点- ( 1分 )令，得可能拐点的横坐标：- ( 1分 )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：- ( 6分 )渐近线为：- ( 2分 )六（共2小题，每小题7分，共计14分） 1. 试求曲线 与轴所夹的平面图形绕 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：-（4分） -（3分）2.求微分方程的通解. 解 特征方程为：特征根：- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：- ( 2分 ) 而不是特征根，可设非齐次

5、方程的特解为- ( 1分 )代入原方程可得， - ( 1分 ) 故所要求的通解为- ( 1分 )七（本题7分）叙述罗尔中值定理，并用此定理证明：方程在内至少有一个实根，其中为常数.罗尔中值定理：设在上连续，在内可导，则，使得- ( 3分 )令，- ( 2分 )在上连续，在内可导，且，,由罗尔中值定理，,使得，即方程在内至少有一个实根. - ( 2分 )各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 13 %；第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %；第 三 章 微分中值定理与导数的应用 20 %；第 四 章 不定积分 14 %；第 五 章 定积分及其应用 30 % .第 六 章 常微分方程 7 %

6、 . 20142015学年第一学期高等数学（2-1）期末考试A卷( 工 科 类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第 一 章 函数与极限 16 %；第 二 章 一元函数的导数与微分 16 %；第 三 章 微分中值定理与导数的应用 14 %；第 四 章 不定积分 15 %；第 五 章 定积分及其应用 26 % .第 六 章 常微分方程 13 % .本题满分12分本题得分一（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确 ? 在 题后的括号内打“”或“” ，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 . 1极限不存在. （ ）-（2分）证 设 ，取，但，由海涅定

7、理，不存在. -（2分）2若曲线在点处存在切线，则在点必可导. （ ） -（2分）例：在点处有切线，但在处不可导. -（2分）3设函数在上连续且下凸，在内二阶可导，则有. （ ）-（2分）例：在上连续且下凸，但 . -（2分）本题满分18分本题得分二（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 求极限 .解 -（3分）-（3分）2.求极限.解 -（3分）-（3分）3求极限.解 -（3分）.-（3分）本题满分18分本题得分三（共3小题，每小题6分，共计18分）1求函数的间断点并判断其类型. 解 是的间断点，-（3分）又 ，是的跳跃间断点. -（3分）2设，求 解 当时，- （3分 ） 当时， - （

8、 3分 )3设方程确定为的函数，求与.解 , -（3分）.-（3分）本题满分18分本题得分四（共3小题，每小题6分，共计18分）1求不定积分. 解 -（3分）-（3分） 2求不定积分.解 -（1分）-（2分）-（2分）.-（1分）3设在上连续，求定积分 .解1 -（1分） （上半单位圆的面积）-（3分）.-（2分）本题满分8 分本题得分五（本题8分）设由曲线 与直线 及 轴所围平面图形为 (1) 求的面积；（4分）(2) 求绕直线旋转所得旋转体的体积 .（4分）解 曲线与直线 的交点为，-（1分） -（3分）（2） -（2分） -（2分）本题满分12分本题得分六（共2小题，每小题6分，共计12

9、分）1设有半径为的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为.-（1分） -（2分）2设有质量为的降落伞以初速度开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为，则根据牛顿第二运动定律，有 ，其中为重力加速度，-（2分）分离变量，得 ，两端积分 ， ， ， （其中，）-（2分）由已知，代入上式，得，故 -（2分）本题满分6分本题得分七（本题6分）求微分方程的通解. 解 特征方程为：特征根： 对应齐次方程的通解为：-（3分） 而不是特征根，可设非齐次方程的特解为

10、，-（1分）,代入原方程得，,比较同次幂的系数，得解之得， 故所要求的通解为-（2分）本题满分8分本题得分八（本题8分）设是一条平面曲线，其上任意一点到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在轴上的截距，且经过点.（1）试求曲线的方程；（2）求位于第一象限的一条切线，使该切线与以及两坐标轴所围图形的面积最小.解（1）过曲线上点处的切线方程为：，令，得切线在轴上的截距：，由题意，得，即，-（2分）令，则,将代入并化简，得 ，由经过点，令，得，故曲线的方程为：即 .-（2分）（2）曲线：在点处的切线方程为：，即，亦即 ，切线与轴及轴的交点分别为：，-（2分）所求面积，令，得符合实际意义唯一驻点：，即为在

11、内的最小值点， 故所求切线方程为：,即-（2分）A卷 20152016学年第一学期高等数学（2-1）期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 ) 专业班级 姓 名 学 号 开课系室 基础数学系 考试日期 2016年1月 11 日 题 号一二三四五六七八总 分本题满分1218181881295本题得分阅卷人注意事项：1请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3本试卷共八道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共8页。本题满分12分本题得分一（共3小题，每小题4分，共计12分）判断下列命题是否正确？在题后的括号内打“”或“”，如果正确，请

12、给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明. 1函数在内的驻点一定是极值点. （ ） - （ 2分 ） 反例：函数在处满足，即为驻点，但不是在内的极值点 - （ 2分 ）2反常积分是发散的. （ ） - （ 2分 ）证明：由于，又，故反常积分发散. - （ 2分 ） 3设函数、在的某邻域内连续，且当时是的高阶无穷小，则当时，是的高阶无穷小. （ ） - （ 2分 ）证明：由于当时是的高阶无穷小，即，则，即当时，是的高阶无穷小. - （ 2分 ）本题满分18分本题得分二（共3小题，每小题6分，共计18分）1. 求极限.解：= - （ 1分 ） - （ 3分 ） - （ 2分 ）2. 求由参数方程所

13、确定的函数的一阶导数及二阶导数.解： - （ 3分 ） - （ 3分 ）3设，求（其中为常数，）.解：，则 - （ 1分 ），故 - （ 4分 ） - （ 1分 ）本题满分18分本题得分三（共3小题，每小题6分，共计18分）1设函数在处可导，试确定常数的值. 解：由于在点处可导，故点处连续，又 - （ 1分 ），故 由，得. - （ 2分 ）又， - （ 2分 ）由，得. - （ 1分 ）2设曲线的方程为，求此曲线在处的法线方程.解：方程两边对求导，得， - （ 3分 ）又当时，解得，代入上式得，故 - （ 2分 ）曲线在处的法线方程为，即- （ 1分 ）3试确定曲线中的，使得在处曲线有水平切

14、线，为拐点，且点在曲线上.解：由于曲线在处曲线有水平切线，为拐点，故， - （ 2分 ）又，可得， - （ 1分 ）又由于为拐点，且点在曲线上，可得，- （ 2分 ）联立解得 - （ 1分 ）本题满分18分本题得分四（共3小题，每小题6分，共计18分）1设，求不定积分. 解：不定积分两边求导得：，即，- （ 3分 ）故 - （ 3分 ）2求定积分.解：由定积分的对称性质，可得， - （ 2分 ），令，则，- （ 1分 ）且当时，当时，故 - （ 2分 ）故 -（1分 ）3已知，求的值.解：由于， - （ 3分 ） - （ 2分 ）故=1，得 - （ 1分 ）本题满分8分本题得分五（本题8分）设

15、为曲线与直线，轴、轴所围成的平面图形，求：(1) 的面积；（4分）(2) 绕轴旋转一周所得的旋转体体积.（4分）解：（1） - （ 4分 ）（2） - （ 4分 ）或本题满分12分本题得分六（共2小题，每小题6分，共计12分）1一等腰梯形闸门，它的两条底边各长和，高，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受到的水压力，其中水的密度为，重力加速度为.解：建立坐标系（原点在顶端中点，轴竖直向下，轴水平向右），设为水深，选为积分变量， - （ 1分 ），则对应的闸门小窄条上各点处的压强近似为，小窄条的面积近似为， - （ 2分 ）又，得，故， - （ 2分 ）得 - （ 1分 ）2一立体的下部为圆柱

16、体，上部为以圆柱体顶面为底面的半球体，若该物体的体积为常数，问圆柱体的高和底圆半径为多少时，此立体有最小表面积.（常用公式：半径为的球的体积公式为，表面积公式为.）解：由于立体表面积， - （ 2分 ）且满足，可得，即， - （ 1分 ）由，可推知，又，令，得唯一的驻点，此时，- （ 2分 ）故由实际问题的意义，可知当时，立体的表面积有最小值. - （ 1分 ）本题满分9分本题得分七（共2小题，共计9分）1求微分方程的通解.（5分）解：对应的齐次方程的特征方程为，得特征根为， - （ 1分 ） 由于为特征单根，故可设方程特解为，代入方程可得，即，- （ 2分 ）又齐次方程的通解为，故 - （ 1分 ）所求微