复习微分方程统考汇集19901998

1、第十二章 微分方程一、解一阶微分方程 要点：可分离变量方程，齐次方程，一阶线性方程，全微分方程；标准形式，相应解法。例题（华工1990）求定解问题的解。解法1：，； ； ；代入初始条件： 得 ；故 解法2：， 即 ，积分得：，代入初始条件： 即 ， 故 例题（华工1991）求微分方程满足初始条件的特解。解法1：，积分得；当时，代入得 ；特解为。解法2： 当，代入： 特解解法3：先解得方程的通解。 设为非齐次方程的通解，代入得 ， 故为通解。定出，故特解。例题（华工1996）试确定可导函数，使方程成立。解：求导：，即， 代入；.例题（华工1995）试确定可导函数，使方程成立。解：求导 . 由，代

2、入得. 。 或分离变量，.例题（华工1991）当时，是某二元函数的全微分，且，试求及。解：， 令两个相等：，即，故 . 由 ，. 易得 由， 故.解法2：， ； ，； .例题（华工1994）求微分方程，满足的特解。解：. 将代入得；特解为.例题（华工1997）求微分方程的通解。解：令，它们具有连续的偏导数，且 ，两者相等，故这是全微分方程。 通解为。例题（华工1998）求全微分方程的通解。解法1： ，为通解。解法2： 故为通解。例题（华工1998）设，其中是具有连续导数的函数，试消去，建立所满足的一个一阶偏微分方程。解： 代入， 为所求。例题 （华工1994）已知物体的散热速率和它与周围介质的

3、温度差成正比，假设周围介质保持，如一物体由100冷却到60须经过20分钟，问需要经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的100降到30？解法1：设物体得温度为，则由已知条件有 （或也可以） ， 由，故， 用，代入有：， 令代入得（分）。解法2：，积分， 当100降到30时，对应， （分）。例题 （华工1995）设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 。解：， ，。二、解二阶微分方程 要点：一般二阶方程；可降阶的二阶方程；二阶常系数齐次线性方程的通解，二阶常系数非齐次线性方程待定特解及通解；二阶线性方程解的结构，由解求原来的二阶线性微分方程。例题（华工1990）求微

4、分方程的通解。解法1： 的通解为 ； 令， ，； 代入原方程得；解得；故所求通解为 解法2：令，原方程为：.故 于是 例题（华工1990）设二阶连续可导函数，适合，求解： ，； ， ； 代入原方程得， 即 ； 记代入得：，积分得； 故 例题（华工1991）求微分方程的特解（7分）解：特征方程，. 的通解，. 现求原方程的特解， 当时，设， ， ， 代入得， 故 ，. 所求解是 . 当，设， ， ， 代入得 ， ，故 ，.从而，特解为 . 通解.例题（华工1992）求微分方程满足条件，特解。解：， 故通解为 ，于是 . 特解。例题 （华工1992）求微分方程满足条件，的特解。解：，所以通解 .

5、代入初始条件得：. 特解。例题（华工1992）求微分方程的通解。解：；故通解 .例题 （华工1993）求微分方程满足条件，的特解。解：，,故通解为；代入初始条件，得； 特解。例题 （华工1993）求微分方程，满足的特解。解：令，方程变为；，通解，即，用，代入，得； 故所求特解 .例题（华工1994）设函数与都是方程的解，试证明函数是其对应齐次方程的解。解： 两式相减， 即是的解。例题（华工1994）写出方程的待定特解的形式。（一次，）解：.不是特征根， 为特定形式的特解。例题（华工1995）写出方程的待定特解的形式。解： ， 不是根，.例题（华工1995）求方程的通解。解：， 是特征根。 代入得 ， 故通解为 .例题（华工1996）求微分方程满足的特解。解：特征方程，；故 ； 令；故 代入原方程得 . 比较系数得：，； 于是通解为 . .例题（华工1997）求微分方程的一个特解。解：特征方程， 设，定出，（因为自由项为；，二重根）例题（华工1997）（1）若有一特解；若，证明有一特解。 （2）根据上面的结论，求满足初始条件，的特解。解：（1）将代入方程， 即 将代入： （2）方程改写为（满足（1）的前提