基于ARCH模型对澳元人民币汇率波动的分析

1、基于ARCH模型对澳元-人民币汇率波动的分析袁梦 2007133105栾金雨 2007133109（上海金融学院 上海 201209）摘 要自回归条件异方差模型是用来建立条件方差模型并对其进行预测的，ARCH模型首先由Engle提出来的，目的是为了解决随时间变化的方差问题，ARCH族模型常用于对金融资产收益率的波动性、汇率变化的波动性进行建模。本文通过选取530个样本来对其建立ARCH及GARCH（1，1）模型，从而对澳元-人民币汇率波动进行建模并对其基于风险程度基础上作出预测，结果也得出GARCH模型用来拟合汇率波动要比ARMA模型效果更好，并用GARCH(1,1)模型消除了ARCH效应。本

2、文还验证了汇率波动所呈现的“尖峰厚尾”的性质特征，此外还对模型进行了单位根检验。关键词：ARCH模型 GARCH（1，1） 单位根检验一、 问题的提出Hsieh在1989年通过对五个国家汇率的研究，证明了ARCH模型能够描述汇率的波动情况，今后的大量研究表明，GARCH（1，1）模型能更加精确的反映汇率的实际变动。本文通过查找2007年11月2日到2009年12月30日澳元-人民币的汇率收盘价数据，计算出其收益率，运用EVIEWS软件进行回归，并检验出具有ARCH效应，从而建立ARCH模型。二、 问题的假设1） 条件均值2） 的条件方差依赖于它前期值3) 假设收益率具有爆发性和持久性。三、 符

3、号说明1) 扰动项2） 的条件方差3） 残差4）T 辅助回归的样本数5） 辅助回归的可决系数四、 模型的建立与求解1、模型的介绍（一）ARCH模型（1） 均值方程：AR(P)表示（2） 波动率方程：ARCH（q）模型波动率方程为： ARCH模型主要用于对随机扰动项进行建模。 （二）GARCH模型（广义自回归异方差模型）GARCH模型也通常用于对回归模型的随机扰动项进行建模，其定义如下：2、模型的建立（一） 以下是由样本数据作出的自相关图和偏自相关图，可以从下图看出两者都是拖尾。从而可以建立ARMA模型，得出的结果如下所示：Dependent Variable: XMethod: Least S

4、quaresDate: 01/03/10 Time: 11:33Sample (adjusted): 2 530Included observations: 529 after adjustmentsConvergence achieved after 20 iterationsBackcast: 0VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C-0.0002280.000589-0.3878640.6983AR(1)-0.9205250.094385-9.7528300.0000MA(1)0.9083930.1021038.8968560.000

5、0R-squared0.004400Mean dependent var-0.000219Adjusted R-squared0.000615S.D. dependent var0.013633S.E. of regression0.013629Akaike info criterion-5.747607Sum squared resid0.097702Schwarz criterion-5.723386Log likelihood1523.242F-statistic1.162370Durbin-Watson stat1.954172Prob(F-statistic)0.313546Inve

6、rted AR Roots-.92Inverted MA Roots-.91（二）为了检验该模型是否具有ARCH效应，我们对其作回归检验ARCH LM TEST，得出的结果如下表所示：ARCH Test:F-statistic51.56061Probability0.000000Obs*R-squared47.13618Probability0.000000Test Equation:Dependent Variable: RESID2Method: Least SquaresDate: 01/03/10 Time: 11:34Sample (adjusted): 3 530Included

7、observations: 528 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.C0.0001302.50E-055.1913720.0000RESID2(-1)0.2987820.0416107.1805720.0000R-squared0.089273Mean dependent var0.000185Adjusted R-squared0.087542S.D. dependent var0.000572S.E. of regression0.000546Akaike info criterion-12.182

8、81Sum squared resid0.000157Schwarz criterion-12.16664Log likelihood3218.262F-statistic51.56061Durbin-Watson stat2.056606Prob(F-statistic)0.000000（三） 由上表可以得出F统计量（Prob(F-statistic)）0.05，具有ARCH效应，从而建立ARCH模型，ARCH(1),GARCH(1,1)，如下表所示：Dependent Variable: XMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributio

9、nDate: 01/03/10 Time: 11:38Sample (adjusted): 2 530Included observations: 529 after adjustmentsConvergence achieved after 27 iterationsMA backcast: 0, Variance backcast: ONGARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)2 + C(6)*GARCH(-1)CoefficientStd. Errorz-StatisticProb.C-0.0002360.000420-0.5622150.5740AR(1)-0.841

10、3700.099601-8.4473900.0000MA(1)0.7802930.1200146.5016660.0000Variance EquationC1.59E-061.08E-061.4642550.1431RESID(-1)20.1188210.0200665.9213770.0000GARCH(-1)0.8809080.02064942.661970.0000R-squared-0.002356Mean dependent var-0.000219Adjusted R-squared-0.011939S.D. dependent var0.013633S.E. of regres

11、sion0.013714Akaike info criterion-6.138098Sum squared resid0.098365Schwarz criterion-6.089656Log likelihood1629.527Durbin-Watson stat1.864939Inverted AR Roots-.84Inverted MA Roots-.78（四）以下是澳元-人民币汇率收益率波动的残差图：波动率是衡量某一时间段内金融产品价格变动程度的数值定义为价格自然对数一阶差分来表示。由上图可以看出澳元-人民币的汇率波动非常剧烈，变动频繁且有时幅度较大，较大幅度变动之后紧接有一次较大幅

12、度变动，而后始终保持较小程度变动。我们还可以得出如下规律：即大幅波动聚集在某一时段内，小幅波动聚集在另一时段内的规律性变动。这与金融危机给澳元-人民币带来的断断续续地升贬等一系列影响有关，也与人民币逐步升值，美元进一步下跌有关。（五）下表是由软件作出的澳元-人民币收益率柱状图，由下表我们可以看出澳元-人民币收益率具有“尖峰厚尾”的性质，日汇率的收益率均值为-0.000247；峰度大于3，收益率呈现左偏的厚尾特征，说明左面汇率波动具有聚集性，Jarque-bera统计量在99%的置信水平上拒绝了该时间序列为正态分布的假设。分析说明：澳元-人民币在2007年11月2日到2009年12.月30日之间

13、汇率变化非常强烈，峰度大于3，说明近期整个金融市场对澳元-人民币的走势影响起伏之大，而且整个序列呈现“尖峰厚尾”现象，说明汇率变动频繁且密集。统计特征显示序列不服从正态分布。五、 模型的检验(1）对数据进一步分析与研究：对530个样本做单位根检验，看其是否有明显趋势，通过Trend and interception选项，我们得出如下结果：Null Hypothesis: X has a unit rootExogenous: Constant, Linear TrendLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=18)t-StatisticPro

14、b.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-22.920800.0000Test critical values:1% level-3.9754995% level-3.41833810% level-3.131661*MacKinnon (1996) one-sided p-values.Augmented Dickey-Fuller Test EquationDependent Variable: D(X)Method: Least SquaresDate: 01/03/10 Time: 11:28Sample (adjusted): 2 530In

15、cluded observations: 529 after adjustmentsVariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb.X(-1)-0.9985870.043567-22.920800.0000C-0.0016560.001190-1.3918870.1645TREND(1)5.42E-063.89E-061.3942010.1638R-squared0.499698Mean dependent var3.70E-05Adjusted R-squared0.497796S.D. dependent var0.019238S.E. of re

16、gression0.013634Akaike info criterion-5.746914Sum squared resid0.097769Schwarz criterion-5.722693Log likelihood1523.059F-statistic262.6828Durbin-Watson stat1.997800Prob(F-statistic)0.000000上表中=-22.92080，所以时间序列不服从单位根过程，时间序列是平稳的。接下去进一步验证其平稳性，下表即为ADF平稳性检验表t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test s

17、tatistic-22.920800.0000Test critical values:1% level-3.9754995% level-3.41833810% level-3.131661由上表可知，ADF检验统计量都小于它对应的1%，5%，10%的临界值，从而在这三个置信水平下拒绝原假设，即澳元-人民币汇率收益率序列不存在单位根，是平稳的时间序列。(2) 用ARCH-LM检验该模型是否具有异方差性 LM检验是将上述模型所得的误差项进行平方，然后利用平方后的序列对常数和平方后序列本身的p期滞后值进行回归。检验用的统计量是,T是辅助回归的样本数，辅助回归的可决系数。在成立时， 。以下是滞后4

18、期的检验结果： ARCH Test:F-statistic24.05808Probability0.000000Obs*R-squared81.98525Probability0.000000由表中可以得出F统计量和Obs*R-squared统计量都是0，说明还是存在ARCH效应，因此我们用GARCH(1,1)模型来重新进行建模。得到的GARCH(1,1)模型为：Y=-0.841370 +0.780293 -0.000236+ 再对其作ARCH-LM检验，得到下表：ARCH Test:F-statistic0.133028Probability0.970224Obs*R-squared0.53

19、6679Probability0.969833 由上表可以发现F统计量和Obs*R-squared统计量均不显著，这说明残差序列中已经不存在ARCH效应。六、 模型的分析与评价 本文运用ARCH模型对澳元-人民币汇率变动进行了分析与研究，发现汇率具有集聚性变动的特征，通常一段时间内连续大幅度变动，或连续小幅度变动。日收益率序列是平稳序列，不符合正态分布，具有尖峰厚尾的特征，建立ARCH模型回归所得的残差具有ARCH效应。研究还发现GARCH（1，1）模型拟合效果更好，说明汇率收益率的波动与风险有关。 在金融危机的冲击下，澳元兑人民币汇率的日收益率频繁波动，这也带来了一定的风险，此外收益率存在明

20、显的非对称性。这些分析都说明我国急需采取宏观调控政策和适度宽松的货币政策，从而稳定人民币汇率。参考文献1 凤凰网财经 ， 2 谢识予 计量经济学教程 复旦大学出版社 3 徐国祥 统计预测与决策 上海财经大学出版社 1998附录2007年11月2日到2009年12月30日澳元-人民币的汇率收盘价数据如下表：（由于数据太多，现只付上部分数据）2009-9-1576.330.0013542009-9-2565.07-0.019732009-9-3569.260.0073882009-9-4572.90.0063742009-9-7581.780.0153812009-9-8584.110.00399

21、72009-9-9590.720.0112532009-9-10588.75-0.003342009-9-11588-0.001272009-9-14584.21-0.006472009-9-15588.210.0068242009-9-16590.860.0044952009-9-17596.310.0091822009-9-18593.66-0.004452009-9-21592.37-0.002182009-9-22591.66-0.00122009-9-23598.370.0112772009-9-24594.55-0.00642009-9-25588.43-0.010352009-9

22、-28588.940.0008662009-9-29595.880.0117152009-9-30597.880.0033512009-10-9617.540.0323542009-10-12615.95-0.002582009-10-13619.040.0050042009-10-14621.580.0040952009-10-15627.480.0094472009-10-16632.180.0074622009-10-19623.05-0.014552009-10-20633.80.0171072009-10-21629.28-0.007162009-10-22633.310.00638

23、42009-10-23632.89-0.000662009-10-26631.53-0.002152009-10-27626.05-0.008722009-10-28623.69-0.003782009-10-29612.81-0.01762009-10-30624.250.0184962009-11-2614.37-0.015952009-11-3619.520.0083482009-11-4615.3-0.006842009-11-5620.520.0084482009-11-6622.460.0031222009-11-9632.10.0153682009-11-10634.930.00

24、44672009-11-11635.710.0012282009-11-12638.920.0050372009-11-13631.36-0.01192009-11-16636.780.0085482009-11-17638.740.0030732009-11-18634.3-0.006982009-11-19632.08-0.003512009-11-20626.52-0.008842009-11-23626.19-0.000532009-11-24629.60.0054312009-11-25631.420.0028872009-11-26633.930.0039672009-11-276

25、18.31-0.024952009-11-30625.780.0120092009-12-1625.890.0001762009-12-2632.740.0108852009-12-3633.70.0015162009-12-4630.3-0.005382009-12-7625.3-0.007962009-12-8625.530.0003682009-12-9617.75-0.012522009-12-10625.730.0128352009-12-11624.74-0.001582009-12-14620.73-0.006442009-12-15624.350.0058152009-12-1

26、6615.6-0.014112009-12-17613.19-0.003922009-12-18605.13-0.013232009-12-21605.980.0014042009-12-22600.08-0.009782009-12-23599.05-0.001722009-12-24601.470.0040322009-12-25602.780.0021762009-12-28604.080.0021542009-12-29605.390.0021662009-12-30608.30.0047952009-12-31612.940.007599ARCH model based on the analysis of exchange rate fluctuationsmeng yuan 07133105Jinyu Luan 07133109( Shanghai Finance University Shanghai 201209)Abstract:Autoregressive Conditional Heteroscedasticity model is used to create conditional variance model