向量组和向量空间

1、 第二章 向量组和向量空间教学安排说明章节题目：§2.1 维向量及其线性运算；§2.2向量组的线性相关性；§2.3向量组的秩学时分配：共6学时。§2.1 维向量及其线性运算 2学时§2.2 向量组的线性相关性 2学时§2.3 向量组的秩 2学时本章教学目的与要求：目的：使学生掌握向量的线性运算及线性相关性的判定，为下一章理解线性方程组解的结构打基础。要求：1、理解维向量的概念和运算。2、深刻理解向量的线性组合、向量组线性相关与线性无关的概念（本章的难点）。3、深刻理解向量组的极大无关组和向量组秩的概念。会求向量组的秩和极大无关组（本章

2、的难点）。4、掌握向量组线性相关性的判定课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.1 维向量及其线性运算 授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量的定义及其线性运算满足的规律，掌握向量内积、夹角、正交等概念教学重点、难点：重点是向量内积、夹角、正交等概念教学内容§2.1 维向量及其线性运算一、维向量的概念定义1 所谓一个维向量就是由个数组成的有序数组 (1)称为向量(1)的第分量.通常用小写希腊字母来代表向量.向量通常是写成一行：.有时也可以写成一列：.为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同.分量全为零的向量称

3、为零向量，记为0 全体维实向量的集合记作例1 线性方程组中的每一个方程都可以用一个维向量表示例2、例3见教材二、向量的线性运算如果维向量的对应分量都相等，即.就称这两个向量是相等的，记作.1. 向量的加法定义2 已知向量，向量称为向量的和，记为2. 数乘向量定义3 设为数，向量称为向量与数的数量乘积，记为向量称为向量的负向量，记为.3. 向量的减法已知向量，定义向量称为向量的减法，记为4. 向量的转置称为向量的转置，记作或显然向量的运算满足以下运算规律交换律： . (2)结合律： . (3). (4) . (5), (6), (7), (8). (9)(6)(9)是关于数量乘法的四条基本运算规

4、则.由(6)(9)或由定义不难推出：, (10), (11). (12)如果，那么. (13)补充例题例1计算（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）例2证明：如果a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 0三、向量的内积定义4 在中,设向量,称实数为向量的内积，记作向量的内积具有以下性质：1）=；2）；3）=；4）定义5 非负实数称为向量的长度，记作显然向量的长度满足非负性、齐次性和三角形法则。向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零。长度为1的向

5、量叫做单位向量.如果,，向量就是一个单位向量.用向量的长度去除向量，得到一个与成比例的单位向量，通常称为把单位化.两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量与成比例就是说有一数使.命题1 设向量，则有，且等号成立当且仅当两向量对应分量成比例定义6 非零向量的夹角规定为定义7 如果向量的内积为零，即，那么称为正交或互相垂直，记为.两个非零向量正交的充要条件是它们的夹角为.只有零向量才与自己正交.课后作业 P56 1；2；3课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.2向量组的线性相关性授课时数：2学时授课类型:理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：掌握向量组的线性相关、无关的定义，掌握

6、有关定理及推论教学重点、难点：重点是判别向量组的线性相关性；难点是定理的证明教学内容§2.2向量组的线性相关性一、 向量组的线性组合定义8 向量称为向量组的一个线性组合，如果有数，使 ,其中叫做这个线性组合的系数.当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经向量组线性表出.例4设，则再如，任一个维向量都是下面向量组的一个线性组合. 向量称为维单位向量.零向量是任意向量组的线性组合.例5设是向量组之中的一个向量，证明是向量组的一个线性组合例6 证明是向量组的一个线性组合，则也是向量组的一个线性组合。例7判断是否是的线性组合？例8判断是否是的线性组合？命题2 如果可由向量组线性表出，而中每

7、一个向量可以经向量组线性表出，那么可由线性表出.二、线性相关定义10 设向量组（m2），如果其中存在一个向量是其余m-1个向量的线性组合，则称向量组线性相关定理1向量组（m2）线性相关的充分必要条件是存在不全为零的数，使如果当且仅当=0时上式成立，则称向量组线性无关。定义 设向量组（m2），如果存在不全为零的数，使那么称向量组（m2）线性相关，否则称线性无关。从定义可以看出，单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关.任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立).在为实数域，并且是三维时，就表示向量与共线.三个向量线性相关的几何意义就

8、是它们共面.并且如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量.不难看出，由维单位向量组成的向量组是线性无关的.例9 判断是否线性相关？例10 是否线性相关？命题3若向量的部分组线性相关线性相关。反之，线性无关线性无关。证：因为线性相关，则存在不全为零的，使则线性相关。命题4 记若线性无关线性无关。反之，若线性相关线性相关。即如果向量组线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的维的向量组也线性无关.证：1°记，显然，因为线性无关，知，因而.2°因为只有列，所以.

9、由1°和2°知，知线性无关。定理2设向量组线性无关，线性相关可由表示，且表示法唯一。证：记，显然.1°因为线性无关，知2°因为线性相关，知因此，知，有解且唯一。可由表示，且表示法唯一。补充知识：定理：设，向量（），则向量可由向量组线性表示的充要条件是：以为列向量的矩阵与以，为列向量的矩阵有相同的秩。定理：向量组，其中，则线性相关的充要条件是：以为列向量的矩阵的秩小于向量的个数。定理：个维向量组成的向量组，当时线性相关。证：记，因为，则线性相关。具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.向量组线性相关齐次线性方程组有非零解。或

10、者说齐次线性方程组只有零解线性无关。推论 设个向量（），向量组线性相关的充要条件是：注：这里把应理解为列向量。补充例题例1向量组是否线性相关.例2判断向量是否线性相关。例3 证明：若向量组线性无关，则向量组也线性无关.课后作业：P61 1，2，3，4课 堂 教 学 方 案课程名称：§2.3向量组的秩授课时数：2学时授课类型: 理论课教学方法与手段：讲授法教学目的与要求：理解向量组的秩的概念，掌握有关定理及推论教学重点、难点：极大无关组的判定教学内容定义11：设两个向量组（1） （2）如果向量组（1）中的每个都可以由向量组（2）线性表示，那么称向量组可由线性表示。如果向量组（2）中的每

11、个向量也可以由向量组（1）线性表示，那么向量组（1）与（2）称为等价。例如：，与向量组，等价。因为，；向量组的等价关系具有如下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价；2）对称性：如果向量组（1）与向量组（2）等价，那么向量组（2）也与向量组（1）等价；3）传递性：如果向量组（1）与向量组（2）等价，而向量组（2）又与向量组等价，那么向量组（1）与向量也等价。定义12 维向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 极大线性无关组

12、的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价.例11 个维单位向量就是的一个极大无关组.例12 的向量组，在这里线性无关，而，所以是一个极大线性无关组.另一方面，也都是向量组的极大线性无关组.上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组一般不是唯一的.定理3：设与是两个向量组.如果向量组可以经线性表出，且，那么向量组必线性相关.推论1 如果向量组可以经向量组线性表出，且线性无关，那么.推论2 任意个维向量必线性相关推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量.一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量.因此，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直

13、接反映了向量组本身的性质.因此有定义13 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同.每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩.含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零.例13，矩阵的行向量组是它的秩是3.它的列向量组是它的秩也是3.定义14 矩阵的列向量组成的向量组的秩称为矩阵的列秩；矩阵的行向量组成的向量组的秩称为矩阵的行秩。定理：的列秩与行秩相等。（因为行秩等于列秩，所以下面就统称为矩阵的秩.）补充例题例1 （1）设线性无关，证明也线性无关；对个线性无关向量组，以上命题是否成立？（2）当线性无关，证明也线性无关，当线性无关时，是否也线性无关？解：令，代入整理得：.因为线性无关，则应有 （），所以（）式只有零解，由定理5推论1知线性无关。例2 设在向量组中，且每个都不能表成它的前个向量的线性组合，证明线性无关.例3 研究下面向量组的线性相关性解：解法1. 令，整理得 因为线性方程组的系数行列式所以方程组必有非零解，知线性相关。（2）解法2. 由知线性相关。小结： (1