双曲面数学方程式

1、§5 双曲面为了较为直观地理解双曲面的几何特征，先看一个例子. 将yz平面上的双曲线分别绕虚轴（z轴）和实轴（y轴）旋转，得到两个旋转曲面 和 分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面. 它们的图形如下所示. 图1图21单叶双曲面定义 在直角坐标系下，由方程 (a，b，c >0)(4.51)所表示的图形称为单叶双曲面；而方程(4.51)称为单叶双曲面的标准方程. 性质与形状（i）对称性 单叶双曲面(4.51)关于三坐标轴，三坐标平面及原点对称. 原点是(4.51)的对称中心. （ii）有界性 由方程(4.51)可知，单叶双曲面(4.51)是无界曲面（iii）顶点、与坐标轴的交点和

2、与坐标面的交线单叶双曲面(4.51)与x，y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z轴的交点（0，0，±ci）称为它的两个虚交点. (4.51)与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线(1)(2)(3)其中（1）叫单叶双曲面(4.51)的腰椭圆，（2）和（3）均为单叶双曲面上的双曲线. （iv）与平行于坐标面的平面的交线为考察(4.51)的形状，我们先用平行于xy平面的平面z = k去截它，其截线为(4)这是一族椭圆，其顶点为，其半轴为b和a ，当k逐渐增大时，椭圆（4）逐渐变大. 可

3、见，单叶双曲面(4.51)是由一系列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化. 再用一族平行于yz平面的平面x = k去截(4.51)，其截线为(5)当k< a时，（6）为一双曲线，其实轴平行于y轴，虚轴平行于z轴，其顶点为，当k= a时，（6）为二相交线，其交点为（k，0，0）当k>a时，（6）仍为双曲线，但其实轴平行于z轴，虚轴平行于y轴，其顶点. 最后，若用一组平行于zx平面的平面去截(4.51)，其截线情况与上述相仿. 截线图形如上图所示. 综上，单叶双曲面(4.51)的图形如图（1）所示. 图（1）中也画出了腰椭圆和两条主双曲线. 一般的单叶双

4、曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在x轴方向作一个伸缩变换而得到. 在直角系下，方程或所表示的图形也是单叶双曲面，绘图时注意须确定其“虚轴”. 二 双叶双曲面：1 定义：在直角坐标系下，由方程（a，b，c > 0）(4.52)所表示的图形称为双叶双曲面；而(4.52)称为双叶双曲面的标准方程. 几何性质与形状：（i）对称性 双叶双曲面(4.52)关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，原点为其中心. （ii）有界性 由(4.52)可见，双叶双曲面为无界曲面. （iii）与坐标轴的交点及与坐标面的交线 双叶双曲面(4.52)与x轴、y轴不交，而与z轴交于（0，0，±c），此

5、为其实顶点. 双叶双曲面(4.52)与三坐标面交于三条曲线(5)(6)(7)（5）是一个虚椭圆，表明双叶双曲面(4.52)与xy平面不相交（无实交点）. （6）、（7）均为双曲线，其实轴为z轴，虚轴分别为y轴和x轴，其顶点为（0，0，±c）. （iv）与平行于坐标面平面的交线：为考察双叶双曲面(4.52)的形状，先用平行于xy面的平面去截(4.52)，其截线为(8)当k< c时，(4.52)与z = k无实交点. 当k= c时，(4.52)与z = k交于（0，0，±c）当k> c时，（8）为椭圆，其顶点为(0，±b，k)，(±a，0，k)，

6、其半轴为b，a. 可见，双叶双曲面(4.52)是由z =±c外的一系列“平行”椭圆构成. 这些椭圆的顶点在双曲线（6）和（7）上变化. 若用平行于yz面的平面去截(4.52). 其截线为(9)对任意实数k，(9)均为双曲线，其实轴平行于z轴，虚轴平行于y轴，顶点为(k，0，±c).双叶双曲面(4.52)的示意图如前面的图（2），但准确地说，图（2）是双叶双曲面的示意图. 最后，若用平行于zx面的平面去截(4.52)，其截线情况与上述相仿. 在直角系下，方程和所表示的图形也是双叶双曲面. 最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别，这一点上有些学生容易出错. 两种双曲面的方程

7、的左边都是x，y，z的平方项，有正有负，右边是1或1. 把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面. 把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是1的，就表示双叶双曲面. 绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则. 悬链曲面（又名悬垂曲面）是一个曲面，是将悬链线绕其准线旋转而得，故为一旋转曲面。除了平面以外，悬链曲面也是第一个被发现的最小曲面，在1744年被莱昂哈德·欧拉发现且证明。1Jean Baptiste Meusnier也做了些早期的研究。2只有两个