因式分解掌握方法与技巧

1、因式分解一、因式分解的技巧：  1. 首选提取公因式法：即首先观察多项式中各项有没有公因式，若有，则先提取公因式，再考虑其他方法。  2. 当多项式各项无公因式或已提取公因式时，应考察各多项式的项数。       （1）当项数为两项或可看作两项时，考虑利用平方差公式a2b2（ab）（ab）。       （2）当项数为三项时，可考虑完全平方公式、十字相乘法、求根公式法、配方法。       （3）

2、当项数为四项或四项以上时，可考虑分组分解法。       a. 当项数为四项时，可按公因式分组，也可按公式分组。       b. 当项数为四项以上时，可按次数分组，即可将次数相同的项各分为一组。  3. 以上两种思路无法进行因式分解时，这时考虑展开后分解或拆（添）项后再分解。二. 因式分解的方法：（一）提公因式法       方法介绍：如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将

3、多项式化成两个因式乘积的形式。  例1.        分析：此多项式各项都有公因式x，因此可提取公因式x。       解： （二）应用公式法       方法介绍：应用乘法公式，将其逆用，从而将多项式分解因式，如果是两项的考虑平方差公式，如果是三项的考虑用完全平方公式。  例2.        分析：此多项式可看作两项，正好

4、符合平方差公式，因此可利用平方差公式分解。       解：               例3.        分析：此多项式有三项，正好符合完全平方公式，因此考虑用完全平方公式分解。       解： （三）分组分解法     

5、  方法介绍：分组分解法是因式分解中的重要方法和技巧之一，分组的目的是为提取公因式，应用乘法公式或其它方法创造条件，以便顺利地达到分解因式的目的。下面介绍八种常见的思路：  1. 按公因式分组：  例4.        分析：此题有四项，考虑将它们分组，其中第1、2项有公因式m，第3、4项有公因式p，可将它们分别分为一组。       解：         

6、      2. 按系数特点分组：  例5.        分析：由观察发现，由系数特点第一、二项和第三、四项的系数比为1：2，所以可考虑将第一、二项和第三、四项分为一组，或第一、三项和第二、四项分为一组。       解：                  

7、               3. 按字母次数特点分组：  例6.        分析：此题有一次项，也有二次项，可将一次项分为一组，二次项分为一组。       解：                4. 按公

8、式特点分组：  例7.        分析：此题可将第2、3、4项分为一组，运用完全平方公式，再从整体上运用平方差公式。       解：               5. 拆项分组：  例8.        分析：为了便于运用乘法公式，可将-3拆成-41，再适当分组，

9、达到因式分解的目的。       解：               6. 添项分组：  例9.        分析：       解：            

10、  7. 换元分组：  例10.        分析：观察代数式中的xy，xy可考虑用换元法，使之结构简化，再分组。       解：，则               8. 按主元分组：  例11.        分析：题中的多项式是关于x的三项式排列的，按其结构分解有

11、一定的难度，可考虑换个角度，选定a为主元，即整理为关于a的多项式。       解：             （四）利用特殊值法       方法介绍：比如说将2或10这些特殊值代入字母，比如说x，求出一个数P，然后将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因式写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即可得因式分解的式子。 

12、例12.        解：令x2，则           将105分解成3个质因数的积，即1053×5×7    观察到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x1，x3，x5，在x2时的值，则原式（x1）（x3）（x5）（五）待定系数法       方法介绍：首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而

13、把多项式因式分解。  例13.        分析：观察这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。       解：                     利用恒等式的性质可得：        &#

14、160;            （六）十字相乘法：       方法介绍：对于mx2pxq形式的多项式，如果abm，cdq且acbdp，则多项式可因式分解为：（axd）（bxc）。  例14.        分析：这是一个三项式，它不符合完全平方公式，因此可考虑用十字相乘法分解因式：        

15、      解：（七）双十字相乘法：       方法介绍：可将其中的可用十字相乘法的三项放在一起，先分解因式后，然后再与剩下的项再用十字相乘法。  例15.        分析：可先将其先去括号后的项6a211ab3b2应用十字相乘法可分为（2a3b）（3ab）。       解：      &#

16、160;      （八）巧用换元法：       方法介绍：对于较复杂的一些多项式，通过适当的换元，可达到减元降次，化繁为简的目的。  1. 取相同部分换元  例16.        分析：若将上式展开，得到一个四次多项式，更加难分解了，如将m25m看作一个整体，这样乘积得到的式子就简化了。       解：   &

17、#160;               2. 取部分式子换元  例17.        分析：观察题目特点，可考虑设1xx2y。       解：                  3. 取倒数换元&

18、#160; 例18.        解：                                        以上我介绍了八种方法，除了这些方法外，还有求根法、图像法、配方法等，因为这些知识将在九年级的学习中将会学到，所以以后将继续介绍这些方法。三、分解因式：（30分）1 、 2 、 3 、 4、 5、 6、7、 8、9 、 10、(1)(xp)2(xq)2； ( 2)16(ab)29(ab)2； (3)x26x9； (4)16x224x9； (5)25x410x21； (6)4(xp)212(xp)(xq)9(xq)2；1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.