均值不等式和柯西不等式专项训练

1、均值不等式应用一均值不等式常用类型1.（1）若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）2. (1)若，则 (2)若，则（当且仅当时取“=”）(3)若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”）; 若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”）3.若，则 (当且仅当时取“=”） 若，则 (当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” （3）均值定理可以用来求最值、比较大小、求变

2、量的取值范围、证明不等式、解决实际问题。二.应用（一）求最值1.直接应用 例.求函数 y3x 2 的值域。 2. 应用技巧一：凑项 例.已知，求函数的最大值。3.应用技巧二：凑系数例. 当时，求的最大值。4.技巧三： 分离 例. 求的值域。5.技巧四：亦可使用换元6.技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。7.条件求最值（1）.若实数满足，则的最小值是 .（2）.若，求的最小值.并求x,y的值（3）.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。（4）.已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.（二）利用均值不

3、等式证明不等式1已知为两两不相等的实数，求证：2. 正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc（三）均值不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。（四）均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .3 课后检测1. 求函数yx的值域。2. 设，求函数的最大值。3.已知，求函数的最大值.4.已知，且，求的最小值。5. 若且，的最小值 6. 已知且，的最小值 7.已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.8.已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.9.已知a、b、c，且。求证：10.求函数的最大值。柯西不等式一、二维形式的柯西

4、不等式二、二维形式的柯西不等式的变式三、二维形式的柯西不等式的向量形式借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a2 + b2 + c2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (12 + 12 + 12) * (a2 + b2 + c2)就可以用柯西不等式了。基本方法（1）巧拆常数：例1：设、为正数且各不相等。求证：（2）重新安排某些项的次序：例2：、为非负数，+=1，求证：（3）改变结构：例3、若>> 求证：（4）添项：例4：求证：检测题【1】、设，则之最小值为_；此时_。【2】 设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2 + y2 +

5、z2 = 16，则的最大值为。【3】设a、b、c为正数，求的最小值 .【4】. 设x，y，z Î R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为【5】、设，试求的最大值与最小值。【6】、设，试求之最小值。【7】 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为【8】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_，此时_。【9】、设x, y, zR，若，则之范围为何？又发生最小值时，？【10】 设rABC之三边长x，y，z满足x - 2y + z = 0及3x + y - 2z = 0，则rABC之最大角是多少度？【解】Þx：y：

6、z =：= 3：5：7设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cosq = -，q = 120°【11】. 设x，y，z Î R且，求x + y + z之最大值，最小值。【解】由柯西不等式知42 + ()2 + 22 ³ Þ25 ´ 1 ³ (x + y + z - 2)2Þ5 ³ |x + y + z - 2|Þ- 5 £ x + y + z - 2 £ 5- 3 £ x + y + z £ 7故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3【12】. 求2sinq +cosq sinf - cosq cosf 的最大值与最小值。答. 最大值为，最小值为 -【详解】令向量 = (2sinq，cosq，-