参数范围求恒成立问题

1、专题求参数取值范围一般方法概念与用法 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。题型特点大多以已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。这样的题型会出现于代数中的不等式里也会出现在几何里。就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。题型以及解题方法一，分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值。例1、已知函数，若对任意恒有，试确定的取值范围。解：根据题意得：在上恒成立，即：在上恒成立，设，则当时， 所以例2已知当xR时，不等式a+cos2x<54sinx+恒成立，求实数a

2、的取值范围。分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。解：原不等式即：4sinx+cos2x<a+5要使上式恒成立，只需a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。f(x)= 4sinx+cos2x=2sin2x+4sinx+1=2(sinx1)2+33,a+5>3即>a+2上式等价于或，解得a<8.说明：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=12sin2x,故若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。二，

3、变主换元 在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量看成是主元（未知数），而把另一个变量看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，则可简化解题过程。例3对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在2，2内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。解：不等式即(x1)p+x22x+1>0,设f(p)= (x1)p+x22x+1,则f(p)在2,2上

4、恒大于0，故有：即解得：x<1或x>3.例4、若不等式对满足的所有都成立，求的取值范围。解：设，对满足的，恒成立， 解得：三，利用二次函数根的分布例5.设f(x)=x22ax+2,当x1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1,+)时恒大于0的问题。解：设F(x)= f(x)a=x22ax+2a.)当=4（a1)(a+2)<0时，即2<a<1时，对一切x1,+)，F(x)0恒成立；）当=4（a1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件：-1oxy即得3a2;综合可得a的取值范围为3，1四，利用集合与几何之间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：，则且，不等式的解即为实数的取值范围。例6、当时，恒成立，求实数的取值范围。解：（1） 当时，则问题转化为 （2） 当时，则问题转化为综上所得：或五，几何中的求参要确定变量k的范围，可先建立以k为函数的目标函数，从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解。小练一下1已知函数时恒成立，求实数的取值范围。2.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。3.已知不等式对恒成立，求实数的取值范围。4.已知不等