在数学解题中的应用

1、 本科生毕业设计（论文）“1”在数学解题中的应用所在学院：数学与信息技术学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 田丹丹 学 号： 1320710052 指导教师： 周璇 完成日期：2014年4月27日 目 录 摘要································

2、···················· ABSTRACT····························

3、83;················· 1.“1”在小学应用题中的应用······························

4、;1 1.1逐次变化的单位“1” ·······························2 1.2转换单位“1” ··············

5、·······················2 1.3中间量单位“1” ························

6、3;··········2 2.“1”在代数问题中的应用·······························3 2.1“1”在代数运算中的应用···&

7、#183;························3 2.2“1”在代数证明题中的应用······················&

8、#183;···4 2.3“1”在代数求值中的应用····························5 3.“1”在对数函数问题中的应用············&#

9、183;··············5 3.1“1”在对数比较大小中的应用························5 3.2“1”在对数函数求值中的应用·····

10、···················6 4.“1”在三角函数问题中的应用···························6 4.1“

11、1”在三角函数求导中的应用························7 4.2“1”在三角函数计算中的运用····················

12、3;···7 参考文献·············································

13、3;··8 摘 要本文针对各种数学问题的类型，总结了关于用“1”解决问题的不同方法. 归纳总结了“1”在小学应用题中的应用、“1”在代数问题中的应用、“1”在对数函数问题中的应用以及“1”在三角函数问题中的应用.使用“1”解决这些类型的经典问题，不仅有利于学生开拓思维，还有利于今后继续在数学领域探讨和研究“1”. 关键词：化简为易；简化；分数有理化ABSTRACT In this paper, according to the type of various mathematical problems and summarizes about with

14、“1” the different method to solve the problem .Summarized the application of “1” word problems in elementary school, “1” in the application of algebraic problems, “1” in the application of logarithmic function problems and “1” in the application of the trigonometric function problem .Use these types

15、 of classic “1” to solve the problems ,not only helps students develop thinking ,has proved to be in the future continue to explore and research in mathematics “1” .Keywords:Easier; simplification; molecular rationalization. “1”可以分为具体的“1”和抽象的“1”. 具体的“1”包括了“1”这个数字、等于1的分数或者包含“1”的定式；抽象的“

16、1”主要以单位“1”的形式出现. 有很多数学问题加入这样的“1”后，思路变得清晰，问题也一下子变得简洁明了. “1”作为一种可以化简为易的解题工具，在整个学习阶段都是不可或缺的. 本论文主要对“1”在小学应用题、代数问题、对数函数以及三角函数中的应用进行了概括与总结. 1“1”在小学应用题中的应用在小学阶段应用题比重相对较多，难度相对较大，而在这些应用题中很多时候可以运用单位“1”进行转化，解题也会由于这个“1”的出现而变得更加容易. 由于题型多样，这就更加考验到了学生如何使用“1”来解题. 单位“1”可以分为：固定的单位“1”、逐次变化的单位“1”、统一的单位“1”、转换单位“1”和中间量单

17、位“1”. 因为固定单位“1”和统一单位“1”较为简单，所以就其余三部分进行解析.1.1逐次变化的单位“1”这类题型中单位“1”出现不只1次，但每一次所指的对象是不相同的，所以称这类题为逐次变化的单位“1”.例1. 在某一电器商场内，有一种全自动洗衣机原价2800元，现在降价20%，降价后的价格比进价还要高，这种全自动洗衣机进价是多少元？分析：本题中，由于出现降价，所以把原价定为单位“1”.根据“洗衣机原价2800”先求降价后的价格，然后求其进价.解：2800×（1-20%）=2240（元）， 2240÷（1+）1991.11（元）.答：这种全自动洗衣机进价是1991.11

18、元.1.2转换单位“1”这类题型中单位“1”看似与应用题的条件和问题没有直接联系，但是如果运用一些有关知识，就可以把题目条件中的有关单位“1”转化成与问题有关的单位“1”，所以称为转换单位“1”.例2. 小志生日邀请小雅去家里开生日派对，小雅坐汽车早上出发，由于堵车平均速度为40千米每小时，返回时所用时间比去的时间少了25%，求返回时汽车的速度.分析：本题中出现了返回时间比去时少了25%，因此不妨设去时所用时间为单位“1”.题目中需要把以“时间为单位1”转换成“速度为单位1”. 由于路程不变，速度与时间成反比（反比例的意义）因此题目中返回时间比去时时间少了25%，可以想成去的速度比返回的速度少

19、了25%.用题目中的“平均速度为40千米每小时”求解返回汽车的速度为多少.解：40÷（125%）53.33（千米/小时）.答：返回时汽车的平均速度为53.33千米/小时.1.3中间量单位“1”这类题目中有多种量，其中有一个量与其余量都有联系.在这里我们称这个量为中间量，而这类题目也可以称之为中间量单位“1”问题. 此类题目中单位“1”不同，可以用“中间量”作为单位“1”入手，解答此类题型就会变得容易.例3. 学生流行收集邮票，甲同学比乙同学邮票多10%，乙同学比丙同学多20%.已知丙同学比甲同学少64张，丙同学有多少邮票？分析：由题目中甲同学、乙同学和丙同学中的乙同学为中间量. 因此

20、乙同学的邮票数量为单位“1”. 由题目中“甲同学比乙同学邮票多10%”可知甲同学邮票数相当于乙同学的（1+10%），也就是；又由“乙同学比丙同学邮票多20%”可知丙同学邮票数相当于乙同学邮票数的1÷（1+20%），也就是. 可以求出丙同学比甲同学少的邮票数占乙同学的几分之几. 而“丙同学比甲同学少64张”，所以可以求出乙同学的邮票数为多少张. 继而求出丙同学的邮票数.解：=, 64÷=240（张）, 丙同学邮票数：240×=200（张）. 连等式：64÷(1+10%)1÷（1+20%） ×1÷(1+20%)=200(张).

21、答：丙同学有200张邮票.不管是哪一种单位“1”问题，在小学数学中都非常重要.如果抓住单位“1”的使用方法，许多数学问题就会迎刃而解. 根据题目的特点，巧妙地使用，可以给解题者一个清晰的思路，这也是单位“1”存在的意义2.“1”在代数问题中的应用由于很多代数题如果直接从题目条件下手很难解出答案，但如果使用“1”作为解题的突破口，解题的过程会变得更加简单. 换句话说，“1”可以简化复杂的代数问题. 代数题中的“1”不单单指证明的结果为1，也包含在证明过程中使用了“1”来进行证明. 例如把“1”放入题目，用于配方或者替代等来化简式子.2.1“1”在代数运算中的运用在具有某个运算的集M中，任意的两个

22、元素通过这个运算仍得到M中的一个确定元素，称这样的运算为M的一个代数运算.例4. 计算.分析：这条题目中“1”为，再利用平方差公式进行循环式的运算.解： = =.例5. 已知12,化简.分析：如果执着于根号的直接变化这题是很难的，只有学会把变为配方后化解式子中的根号，才能最终化简式子，解决问题.解：原式= = = =2.2.2“1”在代数证明中的应用代数证明一般指证明一个代数式的结果是否成立. 对于一些包含复杂内容的代数式我们一般无从下手，但是通过观察分析会发现其内在会有一定的联系. 一方面证明结果为“1”，另一方面证明过程需要有“1”的形式.解这样一类代数证明题也因为这两种“1”的存在与加入

23、，而变得容易.分析：由本题代数式结果为1，可知当分母与分子相同时即为“1”. 因此分别用（“1”的形式）将条件式中的几个分式的分母统一. =1.所以原式成立.例7. .分析：令分式分母乘以，则分式分母统一.那么就可以令第一个分式乘以，第二个分式乘以这样不仅结果不会改变，还能有助于同分母加减运算，帮助这类代数证明题的推进.证明：因为=1, 所以= .2.3“1”在代数式求值中的应用代数式求值问题是历年中考试题中的一种常见的题型.除了按常规代入求值，还要根据题目形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，“1”作为一种方法和技巧也运用于其中.，求.分析：这类题型，思路较为活跃，很难想出这类

24、题的解题方法. 即找不出什么特殊规律，也没有给定的数值，因此我们要用“1”来设定给一个等式.解：设=1, 所以=0.分析：此类题需要大量的知识积累，本题根据三个式子连乘的分解式，可以得出等式左边缺少“1”，因此等式两边同时加“1”.解：方程两边同时加1，得. 即. 因为, 所以=3，=7，=11. =2,=6,=10.不管是在代数运算、证明还是求值，“1”总是占有一席之地.代数中的加1减1，代数分数中的分子分母相同等于1，甚至是一个自然数加1等于几个质数相乘 无疑有了这些“1”，这些代数问题都变得简单，解题思路也因为这些“1”变得清晰开阔. 3.“1”在对数函数问题中的应用对数函数比起之前认识

25、的自然数、分数、小数更进了一层. 对数与数的次方有关，而我们却无法记忆所有的次方式，在遇到带有小数点的次方更是难以记忆. 因此对数函数的各类题型的解决往往需要更加巧妙的方法. 在对数函数的求值中“1”的使用并不是轻而易举就能想到的，这就考验了学生活用各类知识以达到解决问题的能力. 巧用了对数函数的性质，进而利用“1”进行化简.3.1“1”在对数比较大小中的应用对数比较大小是初中阶段学习对数常出现的一种题型，相较于之前的数的比较在难度方面有很大的提升. 而“1”则可以作为一种解题思路中的关键一笔，使解题过程更加流畅. 例10. 设则. A. B. C. D. 分析：在这道题目中，不仅仅利用了“”

26、，也利用了底数与指数互换比较大小的结果，与原对数比较大小的结果相反.,.因此，选D.3.2“1”在对数函数求值中的应用 这类题目的思维较为活跃，做题时有很高的难度系数. 会使用“1”的前提是必须对对数函数的性质和特点有熟悉的了解，并且能够熟练巩固和应用之前所学的知识.“1”的使用不仅能够简化做题步骤，还能够帮助理清做题思路，明确做题原理.例11. 求函数上的最值.分析:利用，加“1”从而化简为一个平方式，再减去“1”还原.解： .,.在对数函数中，当底数相同，真数不同时，可以使用对数函数的单调性；底数不同，真数相同时，既可以用底数与对数函数图像的关系也可以用换底公式转化为同底对数；底数和真数都

27、不同时选用中间值.因此，“1”在对数函数问题中用来分解对数函数，使对数函数满足某种计算条件，或者满足题目中的某个问题的中介，以达到化难为易的效果.4.“1”在三角函数问题中的应用三角函数看似比较复杂，但如果掌握三角函数的本质和内部规律就会发现各个三角函数公式之间有很强大的联系. “1”常常被用于三角函数公式之间的联系中，作为解题的媒介、问题的出破口，用于化简三角函数的各类问题，从而达到解题的目的.4.1“1”在三角函数求导中的应用 三角函数的求导主要依赖于大量的三角函数求导公式，但如果一味使用三角函数求导公式则还有许多三角函数求导问题得不到解决. 因此，在一些三角函数的求导问题中需要用“1”先化简已知问题，再根据题意完成解答. 这类题目如果不加入“1”，则会陷入无限不循环的解题过程，不能得出答案.因此“1”的使用，是这类题型做题的关键.分析：运用了三角函数的一条公式“=1”并使用配方将一条复杂的三角函数求导化成“1”的平方.4.2“1”在三角函数计算中的运用 三角函数的计算主要依赖于对一些特殊角度三角函数的记忆，一般包括的三角函数值的记忆.但如果一旦涉及其他角度，则一无所知. 因此，“1”可以用