南昌大学20082010高数(下)试题及答案

1、南昌大学20082009学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量,则以,为边的平行四边形的面积等于.2.曲面在点处的切平面方程是.3.交换积分次序.4.对于级数（a0），当a满足条件时收敛.5. 函数展开成的幂级数为.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通过轴 （B）通过轴（C）垂直于轴 （D）平行于平面2.函数在点处具有偏导数，,是函数在该点可微分的 （ ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件3. 设，则（ ）（A） （B）（C）（D）4. 若级数在处收敛，则此级

2、数在处（ ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5.微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)设平面通过点，而且通过直线，求该平面方程四、(本题满分8分)设，其中具有二阶连续偏导数，试求和五、(本题满分8分)计算三重积分，其中六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中L是圆周在第一象限的部分七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是柱面与平面和所围成的边界曲面外侧八、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数九、(本题满分9分)求微分方程的通解十、(本题满分11分)设是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记1证明曲线积分与路径无

3、关；2求的值南昌大学20082009学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 已知向量,则以,为边的平行四边形的面积等于.2.曲面在点处的切平面方程是.3.交换积分次序.4.对于级数（a0），当a满足条件时收敛.5. 函数展开成的幂级数为.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 平面的位置是 （ ）（A）通过轴 （B）通过轴（C）垂直于轴 （D）平行于平面2.函数在点处具有偏导数，,是函数在该点可微分的 （ ）（A）充要条件 （B）充分但非必要条件（C）必要但非充分条件 （D）既非充分又非必要条件3. 设，则（ ）（A） （B）（C）（D）4. 若级

4、数在处收敛，则此级数在处（ ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5.微分方程的通解是（ ）（A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)设平面通过点，而且通过直线，求该平面方程解: 由于平面通过点及直线上的点， 因而向量平行于该平面。该平面的法向量为: 则平面方程为: 或： 即： 四、(本题满分8分)设，其中具有二阶连续偏导数，试求和解:, 五、(本题满分8分)计算三重积分，其中解:六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中L是圆周在第一象限的部分解法一:解法二:（的弧长）解法三: 令，七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是柱面与平面和所围成的边界曲面外侧解

5、:,由高斯公式：八、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数解:收敛半径： 易判断当时，原级数发散。 于是收敛域为九、(本题满分9分)求微分方程的通解解:特征方程为：特征根为：,的通解为：设原方程的一个特解为：,原方程的一个特解为：故原方程的一个通解为：十、(本题满分11分)设是上半平面内的有向分段光滑曲线，其起点为，终点为，记1证明曲线积分与路径无关；2求的值证明1:因为上半平面是单连通域，在内：，有连续偏导数，且：，。 所以曲线积分与路径无关。解2: 设，由于曲线积分与路径无关，故可取折线路径：。南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1.

6、 设，若，则_.2. 空间曲线，在点处的切线方程是_.3.计算积分_.4.设级数收敛，发散，则级数必是_.5.函数展开成的幂级数为_.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线与平面的关系是 （ ）（A）直线在平面上 （B）直线与平面平行但直线不在平面上（C）直线与平面垂直 （D）直线与平面相交但不垂直2函数在点处可微分，则（ ）（A）在点处具有连续偏导数 （B）在点处不一定连续（C）存在 （D）在点的任一邻域内有界3设，则= （ ）（A） （B）（C）（D）4若级数在处收敛，则此级数在处 （ ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5函数的极大值点为（ ）（

7、A） （B）（C） （D）三、(本题满分8分)求通过两点和且垂直于平面的平面方程四、(本题满分8分)设，其中具有二阶连续偏导数，试求和五、(本题满分8分)计算二重积分，其中是由圆周所围成的闭区域六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中是直线从点到的直线段七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是球面的外侧八、(本题满分9分)求微分方程的通解九、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数十、(本题满分11分)已知函数有（1）求、的值；（2）计算，其中为取正向南昌大学20092010学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设，若，则.2. 空间曲线，在点处的

8、切线方程是.3.计算积分.4.设级数收敛，发散，则级数必是.5.函数展开成的幂级数为.三、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 直线与平面的关系是 （ A ）（A）直线在平面上 （B）直线与平面平行但直线不在平面上（C）直线与平面垂直 （D）直线与平面相交但不垂直2函数在点处可微分，则（ C ）（A）在点处具有连续偏导数 （B）在点处不一定连续（C）存在 （D）在点的任一邻域内有界3设，则= （ C ）（A） （B）（C）（D）4若级数在处收敛，则此级数在处 （ D ）（A）敛散性不确定 （B）发散 （C）条件收敛 （D）绝对收敛5函数的极大值点为（ D ）（A） （B）（C） （D）三

9、、(本题满分8分)求通过两点和且垂直于平面的平面方程解: 设已知平面法向量为，则，取所求平面方程为即四、(本题满分8分)设，其中具有二阶连续偏导数，试求和解: 令五、(本题满分8分)计算二重积分，其中是由圆周所围成的闭区域解: 六、(本题满分8分)计算对弧长的曲线积分，其中是直线从点到的直线段解:七、(本题满分9分)计算曲面积分，其中是球面的外侧解:八、(本题满分9分)求微分方程的通解解: 先求的通解特征方程为，特征根，所以对应齐次方程的通解为又设非齐次方程的特解为，则，所以特解为所以的通解为：九、(本题满分9分)求幂级数的收敛域及和函数解:（1）当时，即时原级数绝对收敛当时，级数化为，发散当

10、时，级数化为，发散所以收敛域为（2）设的和函数为，则又，所以十、(本题满分11分)已知函数有（1）求、的值；（2）计算，其中为取正向解: （1），要使，所以，（2）南昌大学20102011学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设，则 _.2. 设，则 _.3. 曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面方程为_.4. 交换积分次序为_.5. 将函数展开成的幂级数为_.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 下列论述正确的是（ ）（A）函数的极值点必是的驻点；（B）函数的驻点必是的极值点；（C）可微函数的极值点必是的驻点； （D）可微函数的驻点必是的极值点2设 ，其中

11、具有二阶连续导数，则 等于（ ）（A） ；（B） ；（C） ；（D）3设非齐次线性方程 有两个不同的解 ， ， 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（A） ；（B）；（C）；（D）4设有级数，则以下命题成立的是（ ）（A）若收敛，则收敛；（B）若收敛，则收敛；（C）若发散，则发散；（D）以上三个命题均是错误的5设：，；：， 则有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）三、计算题（一）(共24分，每小题6分)1、设，求，2、判断级数的敛散性3、求与两条直线及都平行且过点（3，-2，1）的平面方程4、设函数是由方程所确定的隐函数，求，四、计算题（二）(共21分，每小题7分)1、计算，其中为摆线的一拱

12、，2、计算，其中：是以点，为顶点的三角形正向边界3、利用高斯公式计算曲面积分，其中为的上侧五、解答题(共14分，每小题7分)1、求幂级数的收敛域及和函数2、设函数具有连续的二阶导数，且曲线积分与路径无关，求函数六、应用题(本题满分6分)求椭球面上点处的切平面与三个坐标面所围成的立体的体积七、证明题(本题满分5分)设级数和都收敛，且存在正整数，当时有，证明级数收敛南昌大学20102011学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设，则.2. 设，则.3. 曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面方程为.4. 交换积分次序为.5. 将函数展开成的幂级数为.二、单项选择题 (

13、每小题3分,共15分)1. 下列论述正确的是（ ）（A）函数的极值点必是的驻点；（B）函数的驻点必是的极值点；（C）可微函数的极值点必是的驻点； （D）可微函数的驻点必是的极值点2设 ，其中 具有二阶连续导数，则 等于（ ）（A） ；（B） ；（C） ；（D）3设非齐次线性方程 有两个不同的解 ， ， 为任意常数，则该方程的通解是（ ）（A） ；（B）；（C）；（D）4设有级数，则以下命题成立的是（ ）（A）若收敛，则收敛；（B）若收敛，则收敛；（C）若发散，则发散；（D）以上三个命题均是错误的5设：，；：， 则有（ ）（A）； （B）；（C）； （D）三、计算题（一）(共24分，每小题6分)

14、1、设，求，解: 2、判断级数的敛散性解: 所以该级数收敛。3、求与两条直线及都平行且过点（3，-2，1）的平面方程解: 设所求平面法向量为，又已知直线的方向向量分别为：，.取，所以所求平面方程为：即.4、设函数是由方程所确定的隐函数，求，解:设，则：，所以，四、计算题（二）(共21分，每小题7分)1、计算，其中为摆线的一拱，解:2、计算，其中：是以点，为顶点的三角形正向边界解: 直线段方程：，直线段方程：记折线段，所围成区域为，由格林公式得：3、利用高斯公式计算曲面积分，其中为的上侧解:记平面为，取下侧，由和所围成闭区域为，由高斯公式可得在平面：上， 所以五、解答题(共14分，每小题7分)1、求幂级数的收敛域及和函数解:所以收敛半径当时，原级数化为，收敛当时，原级数化为，发散所以收敛域为设的和函数为，即，于是，逐项求导得上式从到积分，得：于是，当时，有：而 ， 故：2、设函数具有连续的二阶导数，且曲线积分与路径无关，求函数解:，由于曲线积分与路径无关