常微分方程试题解答_第1页
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1、2007常微分方程试题解答一、填空题：（每题4分，共20分）1 n阶常微分方程的初值条件可表示为 （ ）。2设方程定义在带形区域中，其中为正数，则通过的解的存在区间是（ ）。3. 二阶常系数线性微分方程当系数 满足条件( )时,此方程的所有解有界。4 若常系数线性方程组e有一解为，则数和向量满足 ( ， )。5方程 的通解形式为（ ）二、求下列方程（或方程组）的通解（或特解）：（每题10分，共50分） 1 解1因为，所以，即.令， 则，因此， ,从而由得到原方程的通解为 .解2 2 解 方程可变为， 其为克莱罗微分方程.所以通解为 （为任意的常数）.又由 得到奇解 ，3 解 令，则.从而 ，即

2、.于是（为任意常数。）4 解 先求齐次方程的通解 。因为，所以，从而，所以原方程的通解为.又由得，。从而特解为5 解1 由的特征方程为得，是的特征值。当时，由方程组.其中，得，当时，同理可得，当时，同理可得.令，则有原方程组的通解为，（为任意常列向量）.三、证明题 (共20分) 设方程组有一个非零解，其中，证明方程组经变换，可化为关于个未知函数的线性方程组，它只含个方程，且不含。利用所得结果求方程组的通解，已知它有解.（1）证明：当时，由可得到 当时， 由可得到， 由上面可知 可以由线性表出.证毕.（2）解 将上题的结论可知从而解得又（为任意常数）从而解得再将之代入变换式可知显然这两组解是线性无关的，即原方程的通解为四、综合题：(共10分)设为连续函数， 且满足，求。 解 显然为积分方程， 对其两端关于求导得， （1）从而， . 由积分方程和（1）可得，.因

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