导数及微积分教案

1、姓名李鸿铭学生姓名吴天嘉填写时间学科 数学年级高三教材版本人教A版阶段观察期：第（4）周 维护期本人课时统计第（7、8）课时共（ ）课时课题名称导数及其应用（一轮复习）课时计划2上课时间教学目标同步教学知识内容导数及其应用。个性化学习问题解决能熟练掌握函数的导数的求法，并利用导数解决实际问题。教学重点 函数的导数的求法、单调区间、最值、函数在某一点的切线的方程。教学难点含有参数的函数的单调区间的求法（涉及分类讨论）教学过程教师活动一、命题走向导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种

2、多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，估计2013年高考继续以上面的几种形式考察不会有大的变化：（1）考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都会考察，选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的中低档题；（2）13年高考可能涉及导数综合题，以导数为数学工具考察：导数的物理意义及几何意义，复合函数、数列、不等式等知识。定积分是新课标教材新增的内容，主要包括定积分的概念、微积分基本定理、定积分的简单应用，由于定积分

3、在实际问题中非常广泛，定积分的应用主要是计算面积，诸如计算曲边梯形的面积、变速直线运动等实际问题要很好的转化为数学模型。2、 要点精讲1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。说明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数

4、的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（可由学生来归纳）：（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3常见函数的导出公式（）（C为常数）（）（）（） （5） （6）4两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (法则2：两个函数的积的导数,等于第一

5、个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y|·u|5导数的应用（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一

6、般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的值(a)、(b)； 将函数的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0<x1<<xi1<xi<xnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分

7、区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质（k为常数）；（其中acb。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（a<b），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a<b）围成，那么所求图形的面积SS曲边梯形AMNBS曲边梯形DMNC。3、 典例解析题型1：导数的基本运算例1（1）求的导数；（2）求的导数；（3）求的导

8、数；（4）求y=的导数；（5）求y的导数。解析：（1）,（2）先化简,（3）先使用三角公式进行化简.（4）y=；（5）yxy*（x）x）*（）。点评：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。例2写出由下列函数复合而成的函数：（1）y=cosu,u=1+（2）y=lnu, u=lnx 解析：（1）y=cos(1+)； （2）y=ln(lnx)。点评：通过对y=（3x-2展开求导及按

9、复合关系求导，直观的得到=.给出复合函数的求导法则，并指导学生阅读法则的证明。题型2：导数的几何意义例3（1）（06安徽卷）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D（2）（06全国II）过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）（A）（B）（C）（D） 解析：（1）与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A；（2），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且，于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确，选D。 点评：导数值对应函数在该点处的切线斜率。例4（1）（06湖北卷）半径为r的圆的面积S

10、(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：；式可以用语言叙述为：。（2）（06湖南卷）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是。解析：（1）V球，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”；（2）曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是。点评：导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。题型3：借助导

11、数处理单调性、极值和最值例5（1）（06江西卷）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x1）³0，则必有（）Af（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）Cf（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）（2）（06天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A1个B2个 C3个 D4个（3）（06全国卷I）已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。解析：（1）依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，

12、65;）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（¥，1）上是减函数，故f（x）当x1时取得最小值，即有f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C；（2）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A。（3）：()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对f(x)求导数得 f '(x)= eax。()当a=2时, f '(x)= e2x, f '(x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(

13、x)在(,1), (1,+).为增函数；()当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数.；()当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= , x2= ；当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f '(x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数。()()当0<a2时, 由()知: 对任意x(0,1)恒有f(x)>f(0)=1；()当a>2时, 取x0= (0,1

14、),则由()知 f(x0)<f(0)=1；()当a0时, 对任意x(0,1),恒有 >1且eax1，得：f(x)= eax >1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)>1。点评：注意求函数的单调性之前，一定要考虑函数的定义域。导函数的正负对应原函数增减。例6（1）（06浙江卷）在区间上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)4（2）（06山东卷）设函数f(x)= （）求f(x)的单调区间；（）讨论f(x)的极值。解析：（1），令可得x0或2（2舍去），当1£x<0时，>0，当0<x£1时，<0，

15、所以当x0时，f（x）取得最大值为2。选C；（2）由已知得，令，解得。（）当时，在上单调递增；当时，随的变化情况如下表：0+00极大值极小值从上表可知，函数在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增。（）由（）知，当时，函数没有极值；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。题型4：导数综合题例7（06广东卷）设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点.求(I)求点的坐标；(II)求动点的轨迹方程.解析：()令解得；当时,， 当时,，当时，。

16、所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,。所以, 点A、B的坐标为。（） 设，所以。又PQ的中点在上，所以，消去得。点评：该题是导数与平面向量结合的综合题。题型5：导数实际应用题例8（06江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。解析：设OO1为x m,则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）。于是底面正六边形的面积为（单位：m2）：。帐篷的体积为（单位：m3）：求导数

17、，得；令解得x=-2(不合题意，舍去),x=2。当1<x<2时，,V(x)为增函数；当2<x<4时，,V(x)为减函数。所以当x=2时,V(x)最大。答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大。点评：结合空间几何体的体积求最值，理解导数的工具作用。题型6：定积分例13计算下列定积分的值（1） ；（2）；（3）；（4）； （5）解析：（1）（2）因为，所以；（3）（4） （5） 积分函数可以看成是半圆，因此利用定积分的几何意义，求半圆的面积就是此积分的值。 变式引申： 求的值。例14（1）一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求

18、物体由x0运动到xa时，阻力所作的功。（2）抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax解析：（1）物体的速度。媒质阻力，其中k为比例常数，k>0。当x=0时，t=0；当x=a时，又ds=vdt，故阻力所作的功为：（2）依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S'(b)=0；在b0时得唯一驻

19、点b=3，且当0b3时，S'(b)0；当b3时，S'(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且。点评：应用好定积分处理平面区域内的面积。五思维总结1本讲内容在高考中以填空题和解答题为主主要考查：（1）函数的极限；（2）导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用；（3）计算曲边图形的面积和旋转体的体积。2我们应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标。课后作业函数与导数（高考真题）一 选择题：1.（全国一1）函数的定义域为（ ）ABCD2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停

20、车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD3.（全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）ABCD4.（全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2BCD5.（全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）ABCD6.（全国二3）函数的图像关于（ ）A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称8.（全国二4）若，则（ ）A<<B<<C<<D<<9.（北京卷2）若，则（ ）ABCD10.（北京卷3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A充

21、分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件11.（四川卷10）设，其中，则是偶函数的充要条件是( )（）（）（）（）12.（四川卷11）设定义在上的函数满足，若，则( )（）（）（）（）13.（天津卷3）函数（）的反函数是（ ） （A）（） （B）（）（C）（） （D）（）14.（天津卷10）设，若对于任意的，都有满足方程，这时的取值集合为（ ）（A） （B） （C） （D）15.（安徽卷7）是方程至少有一个负数根的（ ）A必要不充分条件 B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数的图象与的图象关于直线对称。而

22、函数的图象与的图象关于轴对称，若，则的值是（ ） A B CD17.（安徽卷11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）ABCD18.（山东卷3）函数ylncosx(-x的图象是（ ）19.（山东卷4）设函数f(x)x+1+x-a的图象关于直线x1对称，则a的值为（ ）(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-120.（江西卷3）若函数的值域是，则函数的值域是（ ）A B C D21.（江西卷6）函数在区间内的图象是 （ ）22.（江西卷12）已知函数，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）A B C D 23.（湖北卷4）函数的定义域为（ ）A. B.C. D

23、. 24.（湖北卷7）若上是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D.25.（湖南卷10）设x表示不超过x的最大整数（如2=2, =1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是( )A.B. C. D.26.（陕西卷7）已知函数，是的反函数，若（），则的值为（ ）AB1C4D1027.（陕西卷11）定义在上的函数满足（），则等于（ ）A2B3C6D928.（重庆卷4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为（ ）(A)(B)(C)(D)29.（重庆卷6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确

24、的是（ ）(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C) f(x)+1为奇函数（D）f(x)+1为偶函数30.（福建卷4)函数f(x)=x3+sinx+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为（ ）A.3B.0C.-1D.-231.（福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）32.（广东卷7）设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）ABCD33.（辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）ABCD34.（辽宁卷12）设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）ABCD二 填空题：1.（上海卷4）若函数f(x)的反函数为f 1(x)x2（x0），则f(4)2.（上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x(0,+)时，f(x)lg x，则满足f