导数及其应用84756

1、导数及其应用考纲导读1了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值知识网络高考导航导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第1课时 导数

2、的概念（1）基础过关1导数的概念：函数y的导数，就是当0时，函数的增量y与自变量的增量的比的 ，即 2导函数：函数y在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数.3导数的几何意义：设函数y在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 .典型例题例1求函数y=在x0到x0+x之间的平均变化率.解 y= 变式训练1. 求y=在x=x0处的导数.解 例2. 已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 解 （1）y=x2,在点P

3、（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4. 曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. （2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=|=. 切线方程为即 点P（2，4）在切线上，4=即(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 变式训练2：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= . 答案 2或例3.偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式.解 f（x）的图象过点P（0

4、，1），e=1. 又f（x）为偶函数，f（-x）=f（x）.故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.b=0，d=0. f（x）=ax4+cx2+1.函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x-2，可得切点为（1，-1）.a+c+1=-1. =(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c，4a+2c=1. 由得a=，c=.函数y=f（x）的解析式为小结归纳1理解平均变化率的实际意义和数学意义。2搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度等问题打下理论基础. 第2课时 导数的概念（2）基础过关(1) 八个基本求导公式 ； ；(nQ) ， ， ， (2) 导数的四则运

5、算 ， (3) 复合函数的导数设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且 ，即.典型例题例1. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 解 (1) y （2）方法一 y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11. 方法二 =（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）y=（4） ，变式训练1：求y=tanx的导数. 解 y例2. 设函数 (a,bZ)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解析式；（2）证明：曲

6、线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解 ，于是解得或因为a,bZ，故（2）证明 在曲线上任取一点由知，过此点的切线方程为令x=1，得，切线与直线x=1交点为令y=x，得，切线与直线y=x的交点为直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值2.小结归纳要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导.第34课时 利用导数研究函数的性质基础过关1 函数的单调性 函数y在某个区间内可导，若0，则为 ；若0，则为 .（逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有，则 .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调

7、性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： 确定函数的 ； 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性.2可导函数的极值 极值的概念设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值称为极大（小）值点. 求可导函数极值的步骤： 求导数； 求方程0的 ； 检验在方程0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y在这个根处取得

8、；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y在这个根处取得 .3函数的最大值与最小值： 设y是定义在区间a ,b 上的函数，y在(a ,b )内有导数，则函数y在a ,b 上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值(2) 求最值可分两步进行： 求y在(a ,b )内的 值； 将y的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.(3) 若函数y在a ,b 上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y在a ,b 上单调递减，则为函数的 ，为函数的 .典型例题例1. 已知f(x)=ex-ax-1.（1）求f(x)的单调增区间；（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取

9、值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-，0上单调递减，在0，+）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.解：=ex-a.（1）若a0，=ex-a0恒成立，即f(x)在R上递增.若a>0,ex-a0,exa,xlna.f(x)的单调递增区间为(lna,+).（2）f（x）在R内单调递增，0在R上恒成立.ex-a0，即aex在R上恒成立.a（ex）min，又ex>0，a0.（3）方法一 由题意知ex-a0在（-，0上恒成立.aex在（-，0上恒成立.ex在（-，0上为增函数.x=0时，ex最大为1.a1.同理可知ex-a0在0，+）上恒成立.aex在0，+）上恒成立.a

10、1，a=1.方法二 由题意知，x=0为f(x)的极小值点.=0,即e0-a=0,a=1.变式训练1. 已知函数f(x)=x3-ax-1.（1）若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a,使f(x)在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.（1）解 由已知=3x2-a,f(x)在（-,+）上是单调增函数，=3x2-a0在（-,+）上恒成立，即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时，=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数，则a0.（2）解 由=3x

11、2-a0在(-1,1)上恒成立，得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1<x<1,3x2<3,只需a3.当a=3时，=3(x2-1),在x(-1,1)上，<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，a3.故存在实数a3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 f(-1)=a-2<a,f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.例2. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值；（2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.解 （1）由f(x)=x3+

12、ax2+bx+c,得=3x2+2ax+b,当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 当x=时，y=f(x)有极值，则=0,可得4a+3b+4=0 由解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,f(1)=4.1+a+b+c=4.c=5.（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,=3x2+4x-4,令=0,得x=-2,x=.当x变化时，y,y的取值及变化如下表：x-3(-3,-2)-21 y+0-0+y8单调递增13单调递减单调递增4 y=f（x）在-3，1上的最大值为13，最小值为变式训练2. 函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.解 先求导数,得y=4x

13、3-4x,令y=0,即4x3-4x=0.解得x1=-1,x2=0,x3=1.导数y的正负以及f(-2),f(2)如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y-0+0-0+y1345413从上表知,当x=±2时,函数有最大值13,当x=±1时,函数有最小值4.例3. 已知函数f(x)=x2e-ax (a0),求函数在1，2上的最大值. 解 f（x）=x2e-ax（a0）,=2xe-ax+x2·（-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x). 令>0,即e-ax(-ax2+2x)>0,得0<x<.f(x)在（-,0),

14、上是减函数，在上是增函数.当0<<1,即a>2时,f(x）在（1，2）上是减函数,f（x）max=f（1）=e-a. 当12,即1a2时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)max=f=4a-2e-2. 当>2时，即0<a<1时，f(x)在（1，2）上是增函数，f（x）max=f（2）=4e-2a.综上所述，当0<a<1时，f(x)的最大值为4e-2a,当1a2时，f(x)的最大值为4a-2e-2,当a>2时，f(x)的最大值为e-a. 变式训练3. 设函数f(x)=-x(x-a)2(xR),其中aR.（1）当a=1时，求曲线y=f

15、(x)在点（2，f(2)处的切线方程；（2）当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值.解：（1）当a=1时，f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,=-3x2+4x-1,-12+8-1=-5,当a=1时，曲线y=f(x)在点（2,f(2)处的切线方程为5x+y-8=0.（2）f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令=0,解得x=或x=a.由于a0，以下分两种情况讨论.若a>0，当x变化时，的正负如下表：x(-,)(,a)a(a,+)-0+0-f(x)0因此，函数f(x)在x=处取得极小值f（），且

16、f（）=-函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.若a<0，当x变化时，的正负如下表：x(-,a)a(a,)(,+)-0+0-f(x)0-因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0；函数f(x)在x=处取得极大值f（）,且f（）=-.例4. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9x11）时，一年的销售量为(12-x)2万件.（1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q

17、（a）.解 （1）分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2) =(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令=0得x=6+a或x=12（不合题意，舍去）.3a5,86+a.在x=6+a两侧L的值由正变负.所以当86+a9即3a时，Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当96+a，即a5时，Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)12-(6+a)2=4(3-a)3.所以答 若3a，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（万元）；若a5，

18、则当每件售价为(6+a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)= (万元).变式训练4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3（单位：万元），成本函数为C(x)=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).（1）求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解：（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(xN*，且1x20);MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275 (xN*,且1x19).（2）=-30x2+90x+3 240