大学高等数学各章节练习题

1、第一章极限与连续x、填空1、设 f(x)则ff(x)2、若数列3、若limxXoXn收敛,则数列xn一定f(x)A,而limXX0g(x)不存在，则lim(f(x)g(x)Xx4、当x5、设函数0时，Viax21与cosx1为等价无穷小，则af(x)在点XX0处连续，则f(X)在点XX0处是否连续。6、设f(x)sinx,f(x)1x2，则(x)的定义域为7、如果f(x)2axsin2xe1,x)内连续，则a8、曲线二、选择x2的渐近方程为9、如果f (x),g(x)都在x0点处间断，那么(B) f (x) (D f(x)(A) f(x)g(x)在X0点处间断(C)f(x)g(x)在X0点处连

2、续10、设数列Xn与yn满足limXnynn(A)若Xn发散，则yn必发散。(C)若有界，则yn必为无穷小()g(x)在Xo点处间断g(x)在Xo点处可能连续。0,则下列断言正确的是(_)(B)若Xn无界，则yn必有界1 、，一D)若一为无否小，则yn必为无穷小。xn11、已知(A)(Qf(x)lim0,且f(0)x0xf(X)在X0处不连续。f(x)不存在。(B)f(x)在x(D)limf(x)x00处连续。112、设f(x)2xx4x3xf(x)为()(A)2(B)(C)(D)不存在13、设f(x)(x1)sinx(x21)x'那么x0是函数的(A)无穷间断点。三、完成下列各题(B

3、)第二类间断点。(C)跳跃间断点。(D)可去间断点14、lim(n16、2n22a(a18、(.1x1)sinxlimx01cosxn)15、limn0)175n8n5arctanxlimxx19x2、limln(12)ln(1一)20、limx22、lim23、24、25、26、27、,1、.,1、xtan(-)xsin(-)xr"xe1、cosx0x(1f(x)2xlim2x2x2211limcosx赤x0cos、x)0,a11lnf(1)f(2)Lf(n)naxbf(x)limn设函数f(x)(1)试确定已知limx一、选择填空1、函数f(x)(A)2、设(A)3、设(A)4、

4、设(A)(C)5、设21x2n1X1b的值。f(x)在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。aebxa,b的正负号。xx(x21(B)2f(x)x(x20051)(x(B),19,3x(Q2)f(x)x0,k0时连续(B)k)内连续，且limf(x)x求limxf(x)的值28、已知limx2x.axbx10,求a,b。第二章导数与微分2)(x2)3有()个不可导点。3(x2004!(D42005),则f/(0)(C)2005!(D)2004!,在x0点处，下面叙述错误的是(x01时连续不可导(C)k1时可导(D)k2时导函数连续f(x)在x1点处可导，且f(1)0,下列等式不等于f/(

5、1)的是f(cosxtan2x)2xf(1sinx)f(13sinx)4(ex1)(B)(D)limolx”2f(cosx)2x2f(1x)2x/1一f/(Xo)一,则x0时，该函数在2Xo处的微分dy()(A)是X的高阶无穷小(C)是X的等价无穷小(B)(D)x的低阶无穷小x的同阶阶无穷小6、设f(x)在xXo处可导，g(x)者B在X(A)f(x)g(x)在xXo处不可导(B)(C)f(x)g(x)在xXo处不可导(D)Xo处不可导，则叙述错误的是(f(x)g(x)在xXo处不可导f(x)g(x)在XXo处不一定不可导7、下面叙述错误的是(A)f(x)在xx0处可导，则f(x)在xXo处有切

6、线。(B) f(x)在xX0处不可导，则f(x)在xX0处就没有切线。(C) f(x)在xx0处导数为无穷大，则f(x)在xx0处有切线。(D) f(x)在xxo处左右导数存在不相等，则f(x)在xxo处就没有切线。8、质点沿曲线运动，曲线在点M(x,y)处的切线斜率为1/3,在点M处质点的横坐标以5单位/秒的速率增加，则在M点处质点的纵坐标的变化速率是()单位/秒(A)5(B)3(C)(D)535153二、填空.x1t2.一.、一9、曲线.在t2处的切线方程为yt310、已知f(x)任意阶可导，且f/(x)f2(x),则f(n)(x)11、设曲线f(x)xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点

7、为(Un,0),则limf(Un)n12、设f(x)xex,则f(n)(0)13、设tanyxy,贝Udy14、已知yf3x2,f/(x)arctanx2,贝Udy3x2dxx015、设 x ，贝U d sin Vcosx 2三、完成下列各题：x22 工 /16、设 y ln ，求 y 173x218、设 y ln( x V?1)二 ,求,x2 120、设 y "x，求 y/。21xQQ ”22x 122、设 y x (x 1) arctan2,x x 123、设J H ，求吆。ye ey 2 dx t 02x ax b,24、确定 a,b使 f (x)21(x 1) sin x25

8、、设f (x) , g(x)的定义域为R, x, f(y)g(x), f (0) 0,g(0) 1, f/(0)26、设设函数f(x)有连续的d cosx,x 1,/、设 y arctan,求 yx 1/arcsin x /y 19、设 y 2 ,求 y,1 x、设 yf (ex)ef(x),求 y/士 dy求。dx x 1x 1处处可导。-,x 11y 恒有 f (x y) f (x)g(y)1,g/(0) 0,求 f/(x)。导函数，且在f (0) 0, f/(0)f(x)3sinxF(x)x,x0连续，求a。a,x027、已知yy(x)由yxey1所确定，求d2ydx228、讨论f(x)

9、x0,在x0点处的可导性。29、求曲线x3y3(x1)COSy9在x1处的切线与法线。30、已知ysin4xcos4x,求y.31、设yf(x2(y),其中f,可微，求dy一、填空:1、235x 33lim x 1 tan x3、tan x x limx 0 x sin x第三章中值定理与导数应用1; 2、lim 2 cos3x ln(1 x2) x 0 4、函数 yx3 3x2 在5、函数f(x)12x3x22x3的极/、值是、选择:236、设y(x1)(x2),则()(A)x=1是该函数的极小值点(B)x=2是该函数的极大值点(C) x 7是该函数的极小值点57、设函数 f (x)x3 a

10、x2(D)x=1是该函数所表示曲线的拐点横坐标bx在x=1处有极小值-2 ,则必(D)a=b=1a处()f (x)取得极大值f (x)不可导(C) (,0) (0,) (D)(,1 1x|4x|2 cosx 0 ()(B)有且仅有一个实根(D)有无限多个实根112、lim (2sin x cosx)xx 014、求 y(A)a=-4,b=1(B)a=4,b=-7(C)a=0,b=-38、设limf(xfya)1,则在点xxa(xa)(A)f(x)可导，且f/(x)0(B)(C)f(x)取得极大值(D)9、不等式ex1x成立的范围是()(A)(,0)(B)(0,)10、在区间(，)内，方程(A)

11、无实根(C)有且仅有两个实根三、完成下列各题：2.11、lim(1x)tanxx1213、求f(x)x3x在1,3上的最大值与最小值。232-x3x4x5的单调区间，凹凸区间与极值。315、若f(x),g(x)在a,b可导且g/(x)0,试证存在(a,b)使f(a)f()f/().g()g(b)g/()16、设f(x)可导，求证f(x)的两个零点之间一定有f(x)f/(x)的零点.求证：存在 (0,1)17、设f(x)在0,1连续，在(0,1)内可导，且f(1)0,又limf(x)2x0x使f/()0。a, b。18、已知当x0时，f(x)ex19、求证：当x1时，arctanx一、选择与填空

12、1、下列等式错误的是(A)f/(x)dxf(x)C(C)f(x)dxf(x)dx2、若f(x)连续，则d(f(x)dx)1ax一,是x的三阶无穷小，求常数1bx1 2x-arccos22 1x4第四章不定积分(B)df(x)f(x)(D)df(x)dxf(x)dx()(A)f(x)(B)f(x)C(C)f(x)dx(D)f(x)dx3、设f(x)是连续函数,(A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是奇函数F(x)是f(x)的原函数，则F(x)必是偶函数(B)当f(x)是偶函数时,(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数(D)单调增加函数时,F(x)必是单调增函4、r5、设f(sin2x

13、)，贝Uf(x)dxsinx.1x3sin xcos xdx21 cos x16、已知xf(x)dxarcsinxC,则二、完成下列各题_27、jdx82x229、sin2xsin3xdx10dx而37dx(x1)2(x2)2(tan7xtan5x)dxxxearctanedxxln(1x),、dx2x3x成正比，并通过点A(1,6)和B(2,-9)18、设f(x)的原函数F(x)>0,且F(0)=1.当x0时，有f(x)F(x)sin22x,试求f(x)22x一.,19、设f(x1)ln2,且fg(x)lnx,求g(x)dxx220、21cosxdx1cos2x第五章定积分选择填空b1

14、 已知 I1 xdx, I2ab x dx, 13a1 x(A) I 2 I 3 I 1( B) 11 I 3 I 22下列等式错误的是()(A)f/(x)dx f (x) C (B)bln(1 a(Q I3df(x)x)dx(b a 0),则(I 1 I 2( D)I 1 I 2f(x)d(C)f(x)dxf(x)(D)df(x)dxf(x)dxdx-Fdb3设f(x)为连续函数，那么f(xt)dt()dxa(A)f(xb)f(xa)(B)f(xb)f(xa)(C)f(xb)f(a)(D)f(b)f(xa)13114已知f(x)2-xf(x)dx,则f(x)dx()1x00(A)(B)(C)

15、(D)3x5设f(x)为连续函数，且x o f(x)dx,则f(7)(A)(B)1(。12312x6 已知 ° f(x)dx ln(1 x ),则f(x)(1x(A)-(B)-(C)1 x1 x二填空17、已知 f(x) x 2 f(x)dx,则f(x)0(D)2x1 x23( )13)(D)2x8I2(x2sin3x)sinxdx;29、设f(x)"(x0),贝1Jf(x)f()=；11tx3x10、lim;x0x°(1cost)dtx11、设x1,求(1t)dt；1 x112、已知f(-),x0,则f(x)dx；x1x0sinx13、已知当x0时，1cosx与

16、0ln(1at)dt为等价无穷小，则a完成下列各题14、15、16、17、18、已知limf(x)x2设f(x)连续且2X求F(x)0(t2,求lxm2tf(u)dudt2(x2)2x(xt)f(t)dtf(0)0,求limjx0xxf(xt)dt01)etdt的极值已知f()2,且f(x)f/(x)sinx5,求f(0)。0,1311右函数f(x)2J1xf(x)dx,求f(x)及f(x)dx1x0019、设f(x)当x0时可导，1/20、已知f(2),f/(2)25sinx21、2dx220sinxcosx24、2ln(1x)dx25、0(2x)2cr2.12,“27、min一,xdx28

17、2x.一1x且f(x)1-f(x)dx,求f(x).x1210及0f(x)dx1,求0xf(2x)dx,)1-1edx223arctan、xdx02,cosx.1sinxdx261/2(1x)arcsinxdx.14dx291x(1x)xexdx(1ex)230、limn2xdn1xdx01x第七章空间解析几何与向量代数、填空与选择1、已知点A(3,2,1)和点B(7,2,3),取点M使AM2MB,则向量OM=2已知点A(012)和点B(1,1,0),则AB0=。3、设向量a与三个坐标面的夹角分别为，则cos2cos2cos2=4、设向量a的方向角,为锐角，且H4,则2=。5、向量a(7,2,

18、5)在向量b(2,2,1)上的投影等于。6、过点P1,2,1且与直线xt2,y3t4,zt1,垂直的平面方程为.L2:z1 ,则过Li且平行x1y2z37、已知两直线方程是L1:V2二101L2的平面方程为8、设直线LixL2 :2y00，则L1与L2的夹角为()(A).-(B). -9、平面 Ax By Cz D(A) A D 0 (B) B10、平面 3x 5z 1 0(C) . 一 (。£.0过x轴，则()0,C 0(C) B 0,C)(D) B C 0(A)平彳r于zox平面(B)平行于y轴(C)垂直于y轴(D)垂直于x轴11、点M(1,2,1)到平面x2y2z100的距离为

19、(),1(A)1(B)1(C)-1(D)312、与xoy坐标平面垂直的平面的一般方程为。13、过点(1,2,1)与向量S；i2j3k,S；jk平行的平面方程为。14、平面19x4y8z210和19x4y8z420之间的距离等于？?？。15、过点(0,2,4)且与平面x2z1及y3z2都平行的直线方程为。、一x2y4z70一16、过点(2,0,3)并与垂直的平面的万程为？。3x5y2z10二、完成下列各题1、设OCa13b,OB2a8b,OC(ab)与b是不平行的非零向量，求的值，使三点在同一直线上。2、已知不平行的两向量a和b,求它们的夹角平分线上的单位向量。3、设点为矢量的起点，aB10,a

20、B与轴、轴的夹角分别为，试求：(1)与轴的夹角；(2)点的坐标。4、求与向量共线且满足的向量。5、若平面过轴，且与平面成的角，求它的方程。6、求过原点及点(6,3,2),且垂直于平面 4x y 2z 8的平面方程。7、过已知点作一直线,并同时满足(1)与矢量垂直；(2)与直线L1 :相交，求此直线方程。x 18、求直线L :1在平面xy 2z 1的投影直线L。的方程,并求L。绕y轴1旋转一周所成曲面的方程。第八章多元函数微分法及其应用一选择填空1、已知X=偏导数存在的函数类, Y=偏导数存在且连续的函数类,Z=可微函数类,则(A)X Y Z (B)Z (C) X Z Y (D) Z Y X2、

21、已知函数f(x)xy(A)(B)3、连续但偏导不存在(C)不连续偏导也不存在(B)(D)0,在(0,0)点下列叙述正确的是()0连续偏导也存在不连续但偏导存在4、曲线x(A) 1t, y(B) 2t2,zt3的切线与平面x 2y z 4平行的有()条.曲面z(C) 3(D) 4sin xsin ysin( xy)上点。3,)处的法线与 xoy面夹角的正弦值为()/八、2 263.26(A) (B)1326(O *13(D)5、函数f (x, y)在P(x, y)点沿向量(A) 0, -1(B) 1,0e (C) 1,0)的方向导数为(D) 0,1(A) B2 AC 0(B)(C) B2 AC

22、0(D)7、梯度的方向是方向导数取得(A)极大值(B)最小值fyx连续(D) fxy与fyx都连续9、设 z z(x, y)由方程 F(x az, ybz) 0所确定，其中F(u,v)可微,a,b为常数，则6、 zf(x,y)在(xo,y°)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又(x°,yo)是驻点，令fxx(Xo,yo)A、fxy(Xo,y°)B、fyy(Xo,yo)C,则f(x,y)在(Xo,yo)处取得极值的条件为()B2AC0A、B、C任何关系。)的方向，梯度的模是方向导数的最大值(C)最大值(D)极小值8、二元函数的二阶混合偏导数相等的充分条件是()

23、(A) fx0且fy0(B)fxy连续(C)(B)b a 1xy(D)ba1xy、2y) xy x ,贝U f (x, y)必有()(B) ab1xy(C) ab1xy二填空10、已知f(xy,x11、已知A(xay)iyj为某一二元函数的梯度,则a(xy)2一12、已知zlnvx2y2,则在点(2,1)处的全微分dz13、曲面zez2xy3在点(1,2,0)处的切平面方程为。214、设函数zz(x,y)由方程xzyarctany0所确定，则一z。xy15、由方程xyz&y2z20所确定的隐函数zz(x,y)在点M(1,0,1)处的全微分。16、若f(x)2x2xy2ax2y在点(1,

24、1)处取得极值，则a17、设F(u,v,w)是可微函数，且Fu(2,2,2,)Fw(2,2,2,)3,Fv(2,2,2,)6。曲面F(xy,yz,zx)0通过1,1,1点，则过这点的法线方程是4x29v272,(0, 2,3)处指向外侧的单18、由曲线y绕y轴旋转一周而得到的旋转面在点z0位法向量为完成下列各题2xy19、证明函数f(x)x2y4020、设 z sin(x2yeu), uxy22x y。当(x,y)22x y 0(0,0)时极限不存在。求二，二x y21 、设 zarctan-y ,求 dzx y22、设zf(axby),f可导，证明：b-zaxy22yz23、设zf(x2y,

25、2)xg(xy),f具有二阶连续偏导数，g二阶可导，求。xxy24、已知隐函数zz(x,y)由方程G(xy,yz,zx)0所确定，且G(u,v,w)具有一阶连续偏导，g2xg；3325、求曲面26、少？函数U22xyln(x222yz2yx22zx3在点(1,1,1)处的切平面万程。z2)在点M(1,2,2)处沿那个方向的方向导数最大？其值为多27、已知f(x,y)xye0t2yj_fxy2222exy28、29、30、求函数求球面求由xz2x22x2y10y2xy2z2zxy1的极值.25到平面3x4y5z60的最长与最短距离。6xy2yz180所确定Bt函数zz(x,y)的极值.第九、十章

26、多元函数积分学一选择填空1、Ii(xy)3dxdyfI2D:(x(A)Ii2)I(y1)2(B)Ii2、已知(xy)2dxdy,其中D2的大小关系为：(f(u)为连续函数，则(C)1dxIif(x2)I2(D)无法判断y2)dy=(A)4d0tansecrf(r)dr(B)tansectan2-2rf(r)dr80tansecsec2rf(r)dr(D)3、区域DiD2,D/(A),D2：rf(r)dr4，按Y型区域应为(2(B)(C)(D)4、已知D:x1,D1:x0,y0,xy1,(xy)dJ(xDi(A)IJy)d5、设椭圆L:(A)l(B)(B)2x43lI2y3(C)2J(C)I3J

27、(D)4J1的周长为4l(D)l,则；(、.3x12l2y)2ds6、设f(x,y)连续，且f(x,y)xyf(u,v)dudv,其中D由y0,y1所围成,则f(x,y)()一八一,_1(A)xy(B)2xy(C)xy1(D)xy87、设G为一单连通开区域，P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导，命题PQa:oPdxQdy0,其中L为G内任一条分段光滑闭曲线，命题b:在G内、处Lyy处成立，命题c:PdxQdy某一二元函数的全微分。则命题a,b,c满足()(A)a,b,c彼此等价(B)a与b等价与c不等价(C)a与c等价与b不等价(D)a,b,c彼此不等价二填空22xx28、1dx2

28、*f(x,y)dy在y型区域下的二次积分为23x229、将0dxxf(xy)dy转换为极坐标形式下的二次积分10、xyf(x2y2)d,其中D由yx3及x1,y1所围成，且f连续。D11x.o旌二11、0dxx2(xy)2dy12、olex2dy，其中L为3x25y230的逆时针方向。13、设L为x2y29,则F(2xy2y)i(x24x)j按L的逆时针方向运动一周所作的功为14、xdyydx，其中L:16x225y2100的顺时针方向。15、存在u(x,y)使du(5x43xy2三、完成下列各题y3)dx(3x2y3xy2y2)dy,则u(x,y)=16、18、19、20、2.2y2,6-6

29、cOSxdxeydy17、6dy6dx0x0yx求(xy1)2dxdy,其中D为x2y24D220x1计算二重积分emaxx,yd，其中D：d0y1求由r2sin与r4sin所围均匀薄片的形心2221、求lim2-exycos(xy)d,其中D为：xyr0rd22xx222、交换积分次序(1)1dx2xf(x,y)dy；(2)12y33y0dy°f(x,y)dy1dy0f(x,y)dy23、求L(exsinyb(xy)dx(excosyax)dy,其中a,b为正常数，L为曲线yV2axx2上从点(2a,0)到点(0,0)的一段弧。24、设曲线积分Ly2dxx2dy,其中L为曲线y11

30、x上从原点经过点(1,1)到点(2,0)的一段。0 ,求 f (x)25、设曲线积分力(i,i)2及 xy dx(0,0) Jlxy2dxyf(x)dy与路径无关，f(x)具有连续导数，且f(0)yf(x)dy26、计算积分Jx2y2ds,L:x2y22x第十一章无穷级数一、填充题1、几何级数的公比为q,当q满足时，该级数发散。2、当Un发散，不能肯定n1Un发散，但若能用n1审敛法或审敛法判定级数Un发散，则Un发散n1n13.如果limnan14、(xan2)2nanxn的收敛半径R=1的收敛区间为R,R2,则Ri与R2的关系为5、如果哥级数Cnxn和nCnxn1的收敛半径分别为n0n1二

31、、选择题6、an收敛是n1limann(A)充分条件，非必要条件;(C)充要条件；11117、 100102104106(B)必要条件，非充分条件;(D)既非充分也非必要。°°()(A)大于等于1/100(B)小于等于1/100(C)等于1/100(D)不确定8、级数an发散，bn收敛，则()n1n1(A)(anbn)发散(B)n1(anbn)可能发散，也可能收敛n122(anbn)发散n19、级数Cn(x2)n在xn14处是收敛的，则此级数在x1处(D)收敛性不能确定n的和函数是(nn 4(A) ln(4 x) (B)4ln(1 x) (C)x、xln(1 4)(C) (

32、D) ln(1 7)(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛2310、当x4时，哥级数-4242343(1 10,1 10) (D)(1 10,10)11、级数(lgx)n的收敛区间是()n0(A)(-1,1)(B)(-10,10)(C)12、哥级数nan0a(A)bb(B)nnxn(0ab),则所给级数的收敛半径R等于()13、哥级数1a(x1)2(C)(x1)(D)R的值与a,b无关3.2(A)全是发散的(C)全是收敛的323(B)33.4左端点收敛,在其收敛区间的两个端点处()右端点发散(D)右端点收敛,左端点发散n14、设(1)nUn(un0)条件收敛，那么(A)limnu2k11nu2

33、kk115、设(A)发散16、17、18、19、21、22、23、24、(B)-10,而级数n，(B条件收敛完成下列各题判别级数讨论级数求骞级数求骞级数(0(D)(1)an11)收敛,an(an1)n12nnx1n!(x将函数f(x)将函数f(x)2an收敛，那么(C)nTqq1)nn绝对收敛2n,(2)bn收敛，且an1(D)收敛性与n.2n!n，1n(3)bn(na有关n2的敛散性。1,2,3,)，证明Cn收敛。n10)条件收敛，且Snnap的敛散性。20np的收敛区间及和函数。1)nn(2n1)3n1nann1(S1Sn1)。3x3x1n的收敛域。的收敛区间及和函数,展开成关于x(x2)(x4)ln(1x125将函数y一arctanx2一、选择与填空1、已知yC(A)通解(B)x2为y特解/并求级数(1)n11n(2n1)3n的和。1的哥级数。2.2x)展成x的哥级数。11x-ln展成x的哥级数。41x第十二章微分方程P(x)y/Q(x)y0微分方程的解,那么该是(C)