微分中值定理

1、微分中值定理班级： 姓名： 学号： 摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.罗尔定理定理1 若函数f满足下列条件：(1)在闭区间连续；(2)在开区间可导； (3)，则在开区间内至少存在一点，使得.几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线

2、上至少存在一条水平曲线。（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）例1 若在上连续，在内可导，证明：在内方程至少存在一个根. 证明：令显然在上连续，在内可导，而且根据罗尔定理，至少存在一个，使至少存在一个根.例2 求极限： 解：用有 拉格朗日中值定理定理2：若函数满足如下条件：(1)在闭区间连续；(2)在开区间可导， 则在开区间内至少存在一点，使得 显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线 此外，拉格朗

3、日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：；，；，值得注意的是：拉格朗日公式无论对于，还是都成立，而则是介于与之间的某一定数而后两式的特点，在于把中值点表示成了，使得不论为何值，总可为小于1的某一正数例3 求证.证明：当时，显然设对在以1与为端点的闭区间上用拉格朗日中值定理，存在介于1与之间的，使,即当时，但此时注意与均为负值，所以仍有，即对不等式恒成立.当时，所以有.例4 证明当时，。证明：要证，只要证设，由在上连续，在内可导,且于是，即 故原式成立.推论1 若函数在区间上可导，且，则为上的一个常量函数。推论2 若函数和在区间上可导，且，则在区间上和只相差某一常数，即： （为某一

4、常数）推论3 （导函数极限定理）设函数在点的某邻域上连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且.柯西中值定理定理3（柯西中值定理）设函数和满足 (1)在闭区间上都连续；(2)在开区间内都可导；(3)和不同时为0；(4)，则在开区间内至少存在一点，使得例5 证明证明：令则就是求对在（0,1）上用柯西中值定理有： 当即.所以原式成立。例6 函数在上连续，在内可导，试证：存在，使得.证明：令，易知，在上满足柯西中值定理的条件，于是可得存在，使 ，即 ，亦即.求不定式极限:1.型不定式极限定理4 若函数和满足： （1）； （2）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（3）（可为实数，也可为或）， 则例7

5、求解：这是 型不定式， 故例8 求解 容易检验与在点的条件下满足洛必达法则的条件，又因所以.2、型不定式极限 定理5 若函数和满足（1）（2）在点的某右邻域内两者都可导，且；（3）（可为实数，也可为或）， 则.例9 求解：这是型不定式，故 微分中中值定理在级数方面的应用例 10 设g(x)在点x=0的某领域内有二阶连续导数，并且有下面的极限： .例11 证正项级数收敛.证明：作辅助函数则.当时，在上用中值定理，有于是 由收敛，即得所证.讨论方程根的问题:例12 为多项式的二重根的充要条件是同为与的根.证明：必要性 设为的二重根，则是多项式，于是故充分性 若是、的根，则有多项式，使两边求导有故即是的根，则从而即是的二重根.一些不等式的证明:例13 设都是正数，有不等式其中等号成立证明：取函数，它的定义域是区间故不妨设令 或有 将函数在展开泰勒公式（到二阶导数）有其中于与之间，显然 0于是， 有当时，分别有 将上述n个不等式两端分别相加，有： 即： 亦即：因为所以，不等式中等号成立亦即：因为所以，不等式中等号成立。参考文献1杨鸿忠.微分中值定理的应用(一)J.2011，27(08)144-145.2华东师范大学数学系.数学分析(上册)M.北京:高等教育出版社,2010:122-137.3 党艳霞，浅谈微分中值定理及其应用. 廊坊师范学院学报J.(自然科学报)