平面几何四心讲义

1、三角形四心竞赛讲义一、“四心”分类讨论11、外心12、内心23、垂心34、重心55、外心与内心66、重心与内心67、外心与垂心78、外心与重心89、垂心与内心810、垂心、重心、外心8旁心9二、“四心”的联想91、由内心、重心性质产生的联想92、重心的巧用113、三角形“四心”与一组面积公式12三角形各心间的联系15与三角形的心有关的几何命题的证明16三角形的内心、外心、垂心及重心(以下简称“四心”)是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容。由于与四心有关的几何问题涉及知识面广、难度大、应用的技巧性强、方法灵活，是考查学生逻辑思维能力和创造思维能力的较佳题型，因此，它是近几年来升学、竞赛的热点

2、。92、93、94、95连续四年的全国初中数学联赛均重点考察了这一内容。本讲拟分别列举四心在解几何竞赛中的应用，以期帮助同学们掌握这类问题的思考方法，提高灵活运用有关知识的能力。一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。ABC的外心一般用字母O表示，它具有如下性质：(1)外心到三顶点等距，即OA=OB=OC。(2)A=。如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就可以大显神通了。下面我们举例说明。例2证明三角形三边的垂直平分线相交于一点，此点称为三角形的外心已知：ABC中，XX，YY，ZZ分别是BC，A

3、C，AB边的垂直平分线，求证：XX，YY，ZZ相交于一点(图3111)例1、如图9-1所示，在ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆。例2、如图9-2所示，在ABC的大边AB上取AN=AC，BM=BC，点P为ABC 的内心，求证：MPN=A+B。 例3、AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQAB。2、内心三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。(2)A的平

4、分线和ABC的外接圆相交于点D，则D与顶点B、C、内心I等距(即D为BCI的外心)。(3)BIC=90º+A，CIA=90+B，AIB=90º+C。例1证明：三角形三内角平分线交于一点，此点称为三角形的内心已知：ABC中，AX，BY，CZ分别是A，B，C的平分线，求证：AX，BY，CZ交于一点(图3110)说明若证明几条直线共点，可先证其中两条直线相交，再证这个交点分别在其余各条直线上，则这几条直线必共点于此交点由于三角形三内角平分线的交点与三边距离相等，所以以此交点为圆心，以此点到各边的距离为半径作圆，此圆必与三角形三边内切，所以称此交点为三角形内切圆圆心，简称内心例1、

5、如图9-4所示，在ABC中，AB=AC，有一个圆内切于ABC的外接圆，且与AB、AC分别相切于P、Q，求证：线段PQ的中点O是ABC的内心。说明：本题还可证明O到ABC的三边距离相等，得到O为ABC的内心。例2、如图9-5所示，I为ABC的内心，求证：BIC的外心O与A、B、C四点共圆。例3、 在圆内接四边形ABCD中，顺次取ABD，ABC，CDB、CDA的内心。求证：四边形是一个矩形。3ABC中，I是内心，过I作DE直线交AB于D，交AC于E求证：DE=DB+EC3、垂心三角形三条高线所在的直线的交点叫做三角形的垂心。ABC的垂心一般用字母H 表示，它具有如下的性质：(1)顶点与垂心连线必垂

6、直对边，即AHBC，BHAC，CHAB。(2)若H在ABC内，且AH、BH、CH分别与对边相交于D、E、F，则A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、D；A、B、D、E共六组四点共圆。(3)ABH的垂心为C，BHC的垂心为A，ACH的垂心为B。(4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的2倍。例4证明：三角形三条高线交于一点，这点称为三角形的垂心已知：如图3114，ABC中，三边上的高线分别是AX，BY，CZ，X，Y，Z为垂足，求证：AX，BY，CZ交于一点分析要证AX，BY，CZ相交于一点，可以利用前面的证明方法去证，也可以转化成前面几例的条件利

7、用已证的结论来证明为此，可以考虑利用三角形三边垂直平分线交于一点的现有命题来证，只须构造出一个新三角形ABC，使AX，BY，CZ恰好是ABC的三边上的垂直平分线，则AX，BY，CZ必然相交于一点例1、设H是等腰三角形ABC的垂心。在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小，问这时乘积的值变大？变小？还是不变？证明你的结论。例2、设H为锐角ABC的三条高AD、BE、CF的交点，若BC=a，AC=b，AB=c，则AH·AD+BH·BE+CH·CF等于( )(A)(ab+bc+ca)； (B)；(C)(ab+bc+ca)； (D)。例3、求证：锐角三角形的

8、垂心H必为其垂足三角形的内心。分析、由性质不难得到证明。由本例结论，可得到下述命题的简捷证明：已知ABC中，H为垂心，AD、BE、CF是高，EF交AD于G，求证：。例4、如图9-8所示，已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圆分别为O和O1，求证：O与O1的半径相等。4设G为ABC的垂心，D，E分别为AB，AC边的中点，如果SABC=1，那么SGDE=？4、重心三角形三条中线的交点叫三角形的重心。ABC的重心一般用字母G表示，它有如下的性质：(1)顶点与重心G的连线必平分对边。(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。(3)。例3证明：三角形的三条中线相

9、交于一点，此点称为三角形的重心重心到顶点与到对边中点的距离之比为21已知：ABC中，AX，BY，CZ分别是BC，AC，AB边上的中线，求证：AX，BY，CZ相交于一点G，并且AGGX=21(图3112)明为什么称G点为ABC的重心呢？这可以从力学得到解释设ABC为一个质量均匀的三角形薄片，并设其重量均匀集中于A，B，C三点，如果把B，C两点的重量集中于BC边中点X时，那么ABC的三顶点A，B，C的集中重量作了重新分配若A点为1，则X点为2，因此在AX上的重心支撑点必在AGGX=21处的G点这样一来，如果在G点支起三角形，那么ABC必保持平衡，所以G点为三角形的重心(图3113)例1、已知G是A

10、BC的中心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：。分析、构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积。延长GP至F，使PF=PG，边FB、FC、AD(图9-9)。例2、设G是等腰ABC底边上的高、AD与腰AC上的中线BE的交点。若AD=18，BE=15，则这个等腰三角形的面积为多少？例3、平行四边形ABCD的面积是60，E、F分别是AB、BC的中点，AF分别与ED、BD交于G、H，则四边形BHGE的面积是_。例7如图3118设G为ABC的重心，从各顶点及G向形外一直线l引垂线AA，BB，CC，GG(其中A，B，C，G为垂足)求证：AA+BB+C

11、C=3GG分析由于图中有许多可以利用的梯形，故可考虑利用梯形中位线定理来证明 说明当本题中AA，BB，CC，GG不垂直于l，但仍保持互相平行时，本题结论是否还成立？试作出你的猜想，并加以证明5、外心与内心例1、已知ABC中，O为外心，I为内心，且AB+AC=2BC。求证：OIAI(图9-10)。2如图3119在ABC中，O为外心，I为内心，且ABBCCA求证：(1)OAIOBI；(2)OAIOCI6、重心与内心例1、如图9-11所示，已知ABC的重心G与内心I的连线GIBC。求证：AB、BC、CA成等差数列。7、外心与垂心例1、如图9-12所示，在ABC中，H为垂心，O为外心，BAC=60&#

12、186;，求证：AH=AO。例2、证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍。把条件改写一下：已知AD、BE为ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O。须证：AH=2OM，BH=2ON。例6如图3116已知H是ABC的垂心，O是外心，OLBC于L求证：AH=2OL8、外心与重心例1、如图9-14所示，已知RtABC中，AH为斜边BC上的高，M为BC 中点，O为ABC外心，OB交AH于D。求证：AD=2DH。 5 在ABC中，A=60°，O是外心，H是垂心求证：AOAH9、垂心与内心例1、如图9-15所示，已知O为正三角形ABC 的高A

13、D、BE、CF的交点，P是ABC所在平面上的任一点，作PLAD于L，PMBE于M，PNCF于N。试证：PL、PM、PN中较大的一条线段等于其它两条线段的和。10、垂心、重心、外心例题、证明：ABC的垂心H、重心G和外心O在同一条直线上。旁心例5证明：三角形两外角平分线和另一内角平分线交于一点，此点称为三角形的旁心已知：BX，CY分别是ABC的外角DBC和ECB的平分线，AZ为BAC的平分线(图3115)，求证：AZ，BX，CY相交于一点二、“四心”的联想1、由内心、重心性质产生的联想内心性质：在ABC中，AD是角平分线，I是内心，则。重心性质：在ABC中，AD是一条中线，G是重心，则。联想：若

14、P是ABC内的任意一点，是否有通用的类似性质？性质：设P为ABC内任意一点(称P为ABC 的内点)，AP交BC于D，令BPC，CPA，APB的面积分别为，则。()证明：如图9-19所示，作BC于，BC于，并设ABC面积为S。则，从而，即。()式中，当P为内心时，(r为内切圆半径)，于是；当P为重心时，于是。故()式是三角形内心。重心性质的推广，我们不妨称之为三角形内点性质。利用它，许多数学竞赛题都可求解。例1、已知R为锐角ABC外接圆半径，O是外心，AO、BO、CO分别交对边于 (图9-20)。求证：。例2、设OABC内任意一点，AO，BO，CO分别交对边于A1，B1，C1，令。求证：W12。

15、2、重心的巧用重心，在物理学中指质点的重心，所谓“他山之石可以攻玉”，这一概念在解决数学问题，尤其是比值问题上，也大有“用武之地”。关于质点重心，我们结合图形给出几个真命题(证明过程略去)。命题1：设质点的质量分别为，它们的重心为G，则G在的连线上，且满足(这里指质点G的质量)。命题2：在如图9-21所示的ABC中，若E为质点B、A的重心，F为质点B、C的重心，EC与AF相交于G，则G必为三个质点A、B、C的重心。连接BG，延长交AC于H，则H必为质点A、C的重心。命题3：如果平面上有n个质点，它们的质量为，则这些质点的重心G的坐标为。这几个命题看似简单，但它却为解平面几何问题提供了一种崭新的

16、思路。例1、三只苍蝇沿ABC的三边爬行，使由这三只苍蝇构成的三角形的与ABC的重心保持不变，求证：如果某只苍蝇爬过了三角形的三条边，那么三只苍蝇构成的三角形的重心与原三角形的重心重合。例2、如图9-23所示，已知P1P2P3和其内任一点P，直线P1P、P2P和P3P分别与对边交于Q1，Q2，Q3。证明：在比值中至少有一个不大于2。例3、从三角形的一个顶点到对三等分点作线段，过第二顶点的中线被这些线段分成边比xyz，设xyz，求xyz (图9-24)。例4、如图9-25所示，在ABC中D、E分别为BC、CA上一点，且BDDC= m1，CEEA=n1，AD与BE相交于F，求的几倍？。3、三角形“四

17、心”与一组面积公式有这样一道竞赛题：ABC为锐角三角形，过A、B、C分别作此三角形外接圆三条直径，求证：。该题中，三直径之交点即为ABC的外心，若就外心这一条件进行一些联想和变化，经探索可得一系列与面积有关的结果。我们归纳如下(证明略去)。定理：设P为ABC平面内的点，AP、BP、CP所在直线分别交ABC的外接圆于，那么(1)若P为ABC的外心，则对锐角三角形，有。对非锐角三角形(不妨设A90º，下同)，有。(2)若P为ABC的垂心，则对锐角三角形，有式成立，对非锐角三角形，有式成立。(3)若P为ABC的重心，则有。当且仅当ABC为正三角形的时等号成立。(4)若P为ABC的内心，则有

18、式成立，当且仅当ABC为正三角形时等号成立。据以上定理，可得以下若干推论：推论1、已知O的内接锐角三角形ABC，是O的三角条直径，且BC=a，CA=b，AB=c，=，则有。若，则又可得，它等于三角恒等tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC。推论2、设ABC的重心为G，AG、BG、CG的延长线分别交三边BC、CA、AB于D、E、F，交ABC的外接圆于，则。(若将“重心”改为“内心”，其他条件不变，可知该结论仍成立)。例1、已知锐角ABC内接于圆O，作ABC的BC边上的高，CA边上的中线，C的平分线并延长，分别交圆O于A1、B2、C2。求证：。例2、如图9-27所示，锐角ABC中，A的平分线与

19、三角形的外接圆交于另一点A1，点B1，C1与此类似，直线AA1与B、C两角的外角平分线相交于A0，点B0、C0与此类似。求证：A0B0C0的面积是六边形AC1BA1CB1面积的2倍；A0B0C0的面积至少是ABC面积的4倍。练习题1、在ABC中，A=20º，AB=AC，在AB、AC上各取一点D、E，满足BD=BC，AE=BE，求BED的度数。2、如图9-28所示，已知ACE=CDE=90º，点B在CE上，CA=BC=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：F为CDE的内心。3、在ABC中，C=90º，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于E点。若BC=2，AC

20、=3，则AE·BE=_。4、ABC中，G 为重心，l是过G的一条动直线，且分别交AB、AC于点E、F，设，问l在何处时，所截得的AEF面积取到最大值或最小值。5、锐角三角形ABC的三边长满足不等式AB<AC<BC，如果I为ABC的内心，O为外心，求证：直线IO与线段AB及BC相交。6、已知ABC中，A=60º，H为垂心，O为外心，I是内心，直线AI交O于F，交BH于G。求证：(1)AO=AH；(2)OAG=HAG；(3)B、O、I、H、C五点共圆。7、(同图9-11)已知重心G，内心I，且AB+AC=2BC，求证：GIBC。8、已知ABC中，H为垂心，AD、BE

21、、CF是高，EF交ADG，求证：。9、ABC的A、B、C的内角平分线分别与外接圆交于A1，B1，C1，证明：。10、已知BDEF，B、D分别在AE、AF上，DE、BF交于点C，AC交EF于点M，求证：EM=MF。11、设H是ABC的垂心，求证：。12、设O是ABC的外心，AB=AC，D为AB的中点，E是ACD的重心。证明：OECD。三角形各心间的联系四心定理的证明具有统一性利用塞瓦定理可以简便地证明重心定理、内心定理和垂心定理：如果AD，BE，CF是ABC的中线，则BD=DC，CE=AE，AF=FB。，因此AD，BE，CF三条中线交于一点。如果AD，BE，CF是ABC的内角平分线，则。，因此AD，