数学分析第三章36泰勒公式

1、1几个初等函数的麦克劳林公式几个初等函数的麦克劳林公式小结小结 思考题思考题 作业作业 泰勒泰勒(Taylor)（英）（英）1685-1731近似计算与误差估计近似计算与误差估计其它应用其它应用第六节第六节 泰勒泰勒( (Taylor) )公式公式 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用泰勒公式的建立泰勒公式的建立 2简单简单的的,多项式函数多项式函数特点特点(1)易计算易计算函数值函数值;(2)导数与积分仍为导数与积分仍为多项式多项式;(3)多项式由它的系数完全确定多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及又由它在一点的函数值及导数值导数值确定确定.而其系数而其

2、系数用怎样的多项式去逼近给定的函数用怎样的多项式去逼近给定的函数误差又如何呢误差又如何呢一、一、泰勒公式的建立泰勒公式的建立熟悉熟悉的函数来近似代替复杂函数的函数来近似代替复杂函数. 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算泰勒公式泰勒公式3 )(xf,)(0存在存在若若xf xxx 0记记xxfxfxxf )()()(000回想微分回想微分附近有附近有在在0 x)()()(000 xxxfxfxf ,0时时当当xx .)(0高阶的无穷小高阶的无穷小其误差是比其误差是比xx 一次多项式一次多项式)()(000 xxxfxf )(0 xxo 泰勒公式泰勒公

3、式4xy 1xey xy )1ln(xy （如下图）（如下图）如如,|很小时很小时当当 x,1xex .)1ln(xx 以直代曲以直代曲xyOxyO泰勒公式泰勒公式5需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ? ?如何估计误差如何估计误差 ? ?不足不足1. 精确度不高；精确度不高；2. 误差不能定量的估计误差不能定量的估计.)()(000 xxxfxf )(xf 希望希望一次多项式一次多项式附近附近在在0 x用适当的用适当的高次多项式高次多项式泰勒公式泰勒公式2010200( )()()()nnnP xaa xxaxxaxx( )f x误差是误差是 的高阶无穷小的高阶无穷小 0n

4、xx问题问题(1) 系数怎么定系数怎么定?(2) 误差误差(如何估计如何估计)表达式是什么表达式是什么?60 x)(xfy oxy猜想猜想)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越近似程度越来越好好1.若在若在 点相交点相交0 x1.1.n次多项式系数的确定次多项式系数的确定泰勒公式泰勒公式7)()(0)(0)(xfxPkkn 假设nk, 2 , 1 , 0 2010200( )()()()nnnP xaa xxaxxaxx00(),nP xa(1)由00()()nP xf x及0

5、0()af x得到01(),nPxa(2)由00()()nPxfx及10()afx得到泰勒公式泰勒公式802()2!,nPxa(3)由00()()nPxfx及201()2!afx得到同理可得同理可得(3)( )30011(),()3!nnafxafxn( )01(),0,1,2,!kkafxknk即即泰勒公式泰勒公式9从而从而200000( )001( )()()()()()2!1()()!nnnP xf xfxxxfxxxfxxxn( )0001()()!nkkkfxxxk泰勒公式泰勒公式10说明说明:0( )f xx当在 处有直到有直到n阶导数时阶导数时,多项式多项式泰勒公式泰勒公式( )

6、0001( )()()!nkknkP xfxxxk0( )xf x在 处与有相同的函数值及有相同的函数值及直到直到n阶导数值阶导数值. 从而从而( )0001( )()()!nkknkP xfxxxk称为称为0( )f xx在 处的n阶泰勒多项式阶泰勒多项式.( )01(),0,1,2,!kkafxknk称为称为泰勒系数泰勒系数.11200000( )00001( )()()()()()2!1()()()!( )()nnnnnf xf xfxxxfxxxfxxxRxxnP xRxx公式公式称为称为0( )f xx在 处的n阶泰勒公式阶泰勒公式.0()nR xx称为称为n阶余项阶余项.注意注意:

7、)()(0)(0)(xfxPkkn 泰勒公式泰勒公式12下面给出带皮亚诺下面给出带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式余项的泰勒公式.定理定理1 (带皮亚诺带皮亚诺(Peano)余项的泰勒公式余项的泰勒公式)设设 001( )f xxx函数在 点的某个邻域O内有定义; 2( )1;f xn在此邻域内有直到阶导数 03().nfx 存在则则200000( )0001( )()()()()()2!1()()().!nnnf xf xfxxxfxxxfxxxoxxn的幂展开的的幂展开的按按称为称为)()(0 xxxf 带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项余项n n阶泰勒公式阶泰勒公式泰勒公式泰勒公式1300(

8、 )( )lim()nnxxf xP xxx证明证明: 对于对于连续地用连续地用n-1次落必达法则次落必达法则,最后一次用定最后一次用定义即可证明义即可证明.泰勒公式泰勒公式14下面的定理将指明下面的定理将指明:可以用它的泰勒多项式逼近可以用它的泰勒多项式逼近0( )1,f xxn 当在 的某邻域内有阶导数时函数函数),(xf并估计它的误差并估计它的误差.),()(xfxPn 0()( )( ).nnR xxf xP x泰勒公式泰勒公式15定理定理2 (带拉格朗日带拉格朗日(Largrange)余项的泰勒公式余项的泰勒公式)设设 1( ),f xa b函数在上有定义; 2,( );a bf x

9、n在上有直到 阶的连续导数 3,( )1.a bf xn在内有直到阶导数则则200000(1)( )100001( )()()()()()2!1( )()()(),!(1)!,nnnnf xf xfxxxfxxxffxxxxxnnxx其中介于 与之间.0,x xa b有泰勒泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理泰勒公式泰勒公式16分析分析).()()(xPxfxRnn 即证即证10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ).(0之间之间与与在在xx 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn 也即证也即证)!1()()1( nfn 10)()()( nnxxxPxf10)

10、1()()!1()()( nnnxxnfxR 其中其中).(0之间之间与与在在xx 200000()( )()()()()2!fxf xf xfxxxxx( )00()()( )!nnnfxxxR xn泰勒公式泰勒公式17证证.1)(阶阶导导在在区区间间内内有有由由于于 nxf)()()(xPxfxRnn ),()()(xPxfxRnn 10)()( nxxx ),()()(xPxfxRnn nxxnx)(1()(0 10)()1()( nxxnnx ),()()()()()(xPxfxRnnnnn )(2)1()(0)(xxnnxn ),()()1()1(xfxRnnn )!1()()1(

11、nxn 令令 10)()(nnxxxR 10)()()(nnxxxPxf)!1()()1( nfn 10)( nxx)(x nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( 由要求由要求0000000000000000000000000000泰勒公式泰勒公式18,0 xx 设设. 0)(,),(0 xxx 且且内可导内可导在在 柯西定理柯西定理)()(11 nR )()(xxRn ,)(),(0上连续上连续在在xxxxRn )(01之间之间与与在在xx )()(xxRn 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn ,)()(10上连续上连续在在及及 xxxRn )()(11

12、 nR)()(22 nR)(102之间之间与与在在 x内内在在),(10 x 柯西定理柯西定理用用1次次用用2次次. 0)(, x 且且可导可导10)( nxx)(x 0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn)(0 xRn)(0 x 0)()()()(0)(000 xxxxn )()(11 nR)(0 xRn )(0 x 泰勒公式泰勒公式19)(00之间之间与与之间也在之间也在与与在在xxxn 如此下去如此下去,得得 10)()(nnxxxR)!1()()1( nfn )()()()(nnnnnR )()()1()1( nnnR )()()()(0)()(0)()(xxRRn

13、nnnnnnn 用用n+1次柯西定理次柯西定理, )()(xxRn 注意到注意到)!1()(),()()1()1()1(nxxfxRnnnn即即 10)()(nnxxxR)!1()()1( nRnn 可得可得10)1()()!1()()( nnnxxnfxR )(0之间之间与与在在xx 泰勒公式泰勒公式20nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 的幂展开的的幂展开的按按称为称为)()(0 xxxf knkkxxkxf)(!)(000)( )()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk 的幂展开的的幂展开的按按称为称为)()(0

14、 xxxf 拉格朗日型余项拉格朗日型余项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项.阶泰勒公式阶泰勒公式n.次近似多项式n泰勒公式泰勒公式21注意注意:(1)0,n 时Taylor公式为公式为000( )()( ),.f xf xfxxxx介于 与 之间即为即为Lagrange中值公式中值公式.(2)( ) :nRx研究误差( , ),xa b若时(1)|( )|nfxM则则泰勒公式泰勒公式2210)1()(! )1()()( nnnxxnfxR M泰勒公式泰勒公式10|)!1( nxxn00( )lim0()nnxxR xx

15、x从而特别特别,若若0,x xa b则则1( )()0,(1)!nnMR xbann 说明说明:1( ),nfxa b若在上有界( )( ),nP xf x用逼近时( )nR x误差随随n的增大可任意小的增大可任意小,因此可选取适当的因此可选取适当的n,使近似代替达到使近似代替达到要求的任意精度要求的任意精度.23皮亚诺皮亚诺型型余项余项1858-1932) )皮亚诺皮亚诺( (Peano,G.( (意意) )00(3),( )() .nnxxR xo xx当时当对余项要求不高时当对余项要求不高时, 可用可用皮亚诺皮亚诺型型余项余项)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf

16、的幂展开的的幂展开的按按称为称为)()(0 xxxf 带有皮亚诺带有皮亚诺型型余项余项.阶泰勒公式阶泰勒公式的的n(4) 展开式是唯一的展开式是唯一的泰勒公式泰勒公式24(5)在泰勒公式中在泰勒公式中,故故之间之间介于介于则则, 0 x ),10( x可表为可表为这时的泰勒公式这时的泰勒公式,即即按按x的幂的幂(在零点在零点)展开的泰勒公式称为展开的泰勒公式称为:200000)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf ).(0之间之间与与在在xx 10)1(00)()()!1()()(!)( nnnnxxnfxxnxf n阶泰勒公式阶泰勒公式麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin,C

17、.(英英)1698-1746)公式公式00000000),10(0 xx, 00 x若若泰勒公式泰勒公式25)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式近似公式近似公式nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 误差估计式为误差估计式为1|)!1(| nnxnMR1)1()!1()( nnxnxf )10( 带有拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项 )(xf带有带有皮亚诺皮亚诺型型余项余项nnxnfxfxff!)0(! 2)0()0()0()(2 泰勒公式泰勒公式26解解,)()()()

18、(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffff.)()1(xnexf 代入上公式代入上公式,得得二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式例例1阶阶的的求求nexfx )(麦克劳林公式麦克劳林公式. .nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2 1)1()!1()( nnxnxf )10( 麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式xe 211,(01).2!(1)!nxnxxexxnn于是有于是有xe的近似表达公式的近似表达公式212!nxxxexn 泰勒公式泰勒公式27有误差估计式有误差估计式,0时时当当 x1)!1(

19、 nxnxneR 1)1()!1()()( nnnxnxfxR )10( ;)!1(1 nxnxe,0时时当当 x; 0 nR,0时时当当 xnR,1时时当当 x,!1! 2111ne 得到得到.)!1(3 n其误差其误差nR)!1( ne, 8n若取,718279. 2 e可算出可算出其误差其误差8R! 93 .|)!1(1 nxn1泰勒公式泰勒公式28阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式的的求求nxxfsin)( 解解例例2因为因为), 2 , 1 , 0(2sin)()(nnxxfn泰勒公式泰勒公式所以所以, 0)0( f, 1)0( f, 0)0( f, 1)0( fmnx2sin的麦克劳林公

20、式为从而sin x 352112( 1).3!5!(21)!mmmxxxxRm 的的多多项项式式近近似似表表达达式式为为所所以以xsinsin x 35211( 1)3!5!(21)!mmxxxxm 29误差为误差为 mR2).10( ,)!12(12 mxm,1时时当当 m,001. 0要使误差小于要使误差小于,2时时当当 m,001. 0要使误差小于要使误差小于mmmRmxxxxx212153)!12()1(! 5! 3sin ,sinxx 有有12)!12(2)12(sin mxmm ), 2 , 1 , 0(2sin)()( nnxxfn x .1817. 0 x必必须须2R误差误差,

21、! 3sin3xxx 有有4R误差误差.6544. 0 x必必须须,63x ,1205x 泰勒公式泰勒公式30 xyO泰勒公式泰勒公式泰勒多项式逼近泰勒多项式逼近xsinxy ! 33xxy ! 5! 353xxxy ! 7! 5! 3753xxxxy ! 9!7! 5! 39753xxxxxy xysin31类似地类似地,有有泰勒公式泰勒公式21nm)!2()1(! 4! 21cos242mxxxxmm ,)!22(2)22(cos22 mxmmx ).10( 32处的处的在在求函数求函数1423)(023 xxxxxf解解5)1( f8)1( f263)(2 xxxf66)( xxf6)(

22、 xf0)1( f6)1( f)(xf)()1(58)(1xRxxf 泰勒公式泰勒公式一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一阶泰勒公式是的一阶泰勒公式是)()(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk ! 2)1)()(21 xfxR 2)1(! 2)1(6 x 其中其中. )1(之间之间与与介于介于x 三阶泰勒公式是三阶泰勒公式是. 0)(3 xR其其中中)()1()1(58)(33xRxxxf )0)()4( xf因因33 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式泰勒公式泰勒公式212!nxxxexn 1,011 !xnexn21

23、sin212, 0121 !nxnxn3521sin( 1)3!5!(21)!nnxxxxxn 要熟记要熟记!342462cos1( 1)2!4!6!(2 )!nnxxxxxn 231ln(1)( 1)23nnxxxxxn 22cos1, 01(22)!nxnxn111, 011 1nnnxnx泰勒公式泰勒公式35泰勒公式泰勒公式2(1)(1)(1)(1)12!nnxxxxn 11(1)(1)1, 011 !nnnnxxn 2111nxxxx 1211nnxx36例例3 3 ).()(皮亚诺余项皮亚诺余项带带阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式展开为展开为把把nxexfx 解解用间接展开的方法较简便用

24、间接展开的方法较简便. xe两端同乘两端同乘x,得得)()!1()1(! 2132nnnxxonxxxxxe 带拉格朗日型余项的公式展开问题带拉格朗日型余项的公式展开问题注注)(! 212nnxxonxxxe 一般不能用这种方法一般不能用这种方法.)()!1()1(! 211112 nnnxonxxxxx取代取代用用 泰勒公式泰勒公式37须解决问题的类型须解决问题的类型: :(1) 已知已知x 和误差界和误差界, ,要求确定项数要求确定项数n;(2) 已知项数已知项数n和和x, ,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;(3) 已知项数已知项数 n 和误差界和误差界, ,确定公式中确定公式中

25、 x 的的三、近似计算与误差估计适用范围适用范围. .泰勒公式泰勒公式38例例4 4 ,10,1 . 1ln4 要求误差不超过要求误差不超过的近似值的近似值计算计算.可可达达到到要要求求解解 )1ln(x)10()1(111)1(11 nnnxxn1 . 0 x)1 . 0(nR 1 . 1ln nxxxxnn 132)1(32? n问问 nnn)1 . 0()1(3)1 . 0(2)1 . 0(1 . 0132)1 . 01ln( 1 . 01 . 01 . 01 . 0已知已知x 和误差界和误差界, ,要求确定项数要求确定项数n泰勒公式泰勒公式39 )1 . 0(nR110111 nn41

26、01 , 2 n4310141 R满足要求满足要求.)10()1(111)1()(11 nnnnxxnxR1 . 0 x11)1 . 0()1 . 01(111)1( nnnn 3210131 R, 3 nxxx4101 泰勒公式泰勒公式,10,1 . 1ln4 要求误差不超过要求误差不超过的近似值的近似值计算计算.可可达达到到要要求求? n问问 1 . 1ln3)1 . 0(2)1 . 0(1 . 032 09533. 000033. 0005. 01 . 0 40四、其它应用常用函数的泰勒展开求常用函数的泰勒展开求例例5 5 403cos2lim2xxexx 00型未定式型未定式00 泰勒

27、公式泰勒公式 解解 因为分母是因为分母是4阶无穷小阶无穷小,所以所以只要将函数展开到只要将函数展开到4阶无穷小的项阶无穷小的项就足以定出所给的极限了就足以定出所给的极限了.)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 原式原式4440)(127limxxoxx 127 41求极限求极限26402sinlimcos12xxxxxe42 利用泰勒公式可以证明不等式利用泰勒公式可以证明不等式 (多个点的函数值的关系多个点的函数值的关系).例例6( ),f xa b设在内二阶可导 且( )0,fx12,x xa b则对证明证明:1212()()()22xxf xf xf提示提示:12120(),().2xxf xf xxTaylor分别