苏州市2015届高三数学必过关题3函数(3)

1、高三必过关题3 函数（3）一、填空题例1 一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为 米/秒答：5 提示：，当时，物体在时的瞬时速度为5米/秒例2 水波的半径以的速度向外扩张，当半径为时，圆面积的膨胀率是 答：提示：设时间对应的水波圆的半径为，面积为，则，且当时，故有例3 已知函数的导函数为，且满足，则 答：提示：，令得，例4 曲线在点处的切线的斜率为 .答：提示：，当时，曲线在点处的切线斜率为例5 已知函数，过点作曲线的切线，则切线方程是 答：或提示：，设切点为，则斜率，切线方程为，即切线过点，或所求切线方程是或例6 若曲线在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的

2、面积为18，则 答：提示：，切线方程是，令，令，三角形的面积是，解得例7 函数的单调减区间为 答：提示：，令，得函数的单调减区间为例8 函数在上的单调增区间是 答：提示 由及得例9 若函数在内单调递减，则实数a的取值范围为_答： 提示：函数在内单调递减，在内恒成立即在内恒成立在上的最大值为，例10 函数在 处取得极小值.答：2提示：，令，得或当时，；当时，；当时，函数在处取得极小值例11 已知函数在处有极值，则 答：提示：由已知得 即解得经检验：当时，不是极值点，舍去； 当时，符合题意例12 若，且函数在处有极值，则的最大值等于 答：9提示：，在处有极值，即，化简得，当且仅当时，有最大值，最大

3、值为9例13 函数(为常数)在上有最大值3，则此函数在上的最小值是 答：提示，在上为增函数，在上为减函数，当时，最大，从而，的最小值为例14 函数的值域是 答：提示：，令，得，当时，；当时，；当时，函数在处取极大值，在处取极小值又，函数的值域是例15 若函数有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 答：提示：，令得当时，；当时，；当时，函数在处取得极大值，在处取得极小值要使函数有3个不同的零点，只需两个极值异号即可，即，例16 若，则函数在区间上恰好有 个零点答：1提示：，由于，故当时，即函数在区间上单调递减，又当时，故据二分法及单调性可知函数在区间上有且只有一个零点例17 已知函数的图像在点处

4、的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 答：提示：由题意知，点在函数的图像上，故 ，又，则，故 ，由解得，即令，解得则，故，所以例18 函数的定义域为，对任意，则的解集为 答：提示：设，则是R上的增函数又，例19 设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为 答：提示：由题设得设，则，令，解得当时，；当时，当时，取得极小值，且是最小值例20 已知函数若存在，使得成立，则实数的取值范围是 答：提示：，.恒成立，只要存在，使成立令，对于u = x +2 - 2lnx，在恒成立，所以在上为增函数，.所以二、解答题例21 设的导数满足，其中常数（1）求曲线在点处的切线方程；

5、（2）设，求函数的极值解：（1） ，则，又，解得，从而故曲线在点处的切线方程为，即（2）由（1）知，令，得当时，；当时，；当时，函数在处取得极小值，在处取得极大值例22 设函数，（1）求的单调区间；（2）求所有的实数，使对恒成立解：（1），由于，所以的增区间为，减区间为（2）由题意得，由（1）知内单调递增，要使恒成立，只要，解得例23 设.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.解：（1）当时，的最大值为令，得所以当时，在上存在单调递增区间. 即在上存在单调递增区间时，的取值范围是（2）令，得两根，所以在，上单调递减，在上单调递增当时，有，

6、所以在上的最大值为又，即所以在上的最小值为，得，从而在上的最大值为.例24 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为设该容器的建造费用为千元（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的解：（1）由题意可知，即，则容器的建造费用为，即，定义域为（2），令，得令，得，当时，当时，函数单调递减，当时有最小值；当时，当时，；当时，当时有最小值综上所述，当时，建造费用最小时；当时，建造费用最小时例25 设函数（1）当时，求函数在上的最大值；（2）记函数，若函数有零点，求实数的取值范围.解：（1）当时，当时，.当时，函数在上单调递增 .由得，又，当时，；当时，. （2）函数有零点即方程有解，即有解令，当时, 函数在上是增函数，. 当时，, 函数在上是减函数，.方程有解时即函数有零点时实数的取值范围.例26 对于定义在区间上的函数和，如果对于任意，都有成立，那么称函数在区间上可被函数替代（1）若，试判断在区间上能否被替代？（2）记，证明：在上不能被替代；（3） 设，若在区间上能被替代，求实数的取值范围解：令，在上单调递增，即在区