复试研试自控13奈氏判据

1、1自动控制理论自动控制理论Automatic Control Theory2 上节课要点复习上节课要点复习n系统开环对数频率特性的绘制要点系统开环对数频率特性的绘制要点n系统开环极坐标图的绘制要点系统开环极坐标图的绘制要点n系统开环对数频率特性系统开环对数频率特性 系统开环极坐标图系统开环极坐标图n最小相位系统最小相位系统与与非最小相位系统非最小相位系统5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性5.3 系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制3 第第5章章 线性系统的频率法分析线性系统的频率法分析 5.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系

2、统稳定性! n工程设计中，总希望稳定判据不仅能判断系统工程设计中，总希望稳定判据不仅能判断系统的的绝对稳定性绝对稳定性（即判断系统是否稳定），还希（即判断系统是否稳定），还希望能确定出系统的望能确定出系统的稳定程度稳定程度。对于不稳定系统，。对于不稳定系统，希望能指出如何改进使其稳定。还能用来研究希望能指出如何改进使其稳定。还能用来研究延迟系统延迟系统的稳定性。的稳定性。n奈魁斯特奈魁斯特(Nyquist)稳定判据可以根据系统的稳定判据可以根据系统的开开环环频率特性判断频率特性判断闭环闭环系统的稳定性。系统的稳定性。n奈魁斯特稳定判据的数学基础是复变函数理论奈魁斯特稳定判据的数学基础是复变函数

3、理论中的中的映射定理映射定理（或幅角定理）。（或幅角定理）。 设单值复变函数设单值复变函数F(s)除有限点除有限点s=-pi外处处解析，外处处解析，复变函数如同特殊的映射镜，将复变函数如同特殊的映射镜，将S平面上的平面上的z、p或轨迹或轨迹s=+j投射到投射到F平面上的点或轨迹；平面上的点或轨迹； F(s)在在F平面上除平面上除s= pi 外处处解外处处解析。析。 niimjjpszssF11S平面平面F平面平面 niimjjpszssF11点点s=zj，F(s)=0， S平面上的平面上的点映射为点映射为F平面上的原点；平面上的原点；s=pi，F(s)=，S平面上的平面上的点映射为点映射为F平

4、面上的平面上的处，处，；m个个点将映射至原点点将映射至原点m次；次；n个个点将映射成点将映射成CSCF niimjjpszssF11 sFjsFsFsFsFjsImRe，则复变函数，则复变函数复数复数)(1Zs)()(2iPsZs2)(1Zs0)()(2iPsZs、 niimjjpszssF11 若若CS包围一个包围一个点点s=z1，nijmjjPsZssF11)()()(2)(1Zs其中其中其余其余、点转过的矢量角皆为点转过的矢量角皆为零。零。202)()()(11nijmjjPsZssF 则则CF将将包围原点一圈。包围原点一圈。 niimjjpszssF11j1P2P3P1Z2Z1Zs s

5、平面snijmjjPsZssF11)()()(2)(2Ps其其中中其余其余、点转过的矢量角皆为零，即点转过的矢量角皆为零，即j1P2P3P1Z2Z1Zs s平面s niimjjpszssF112)(sF若若CS包围一个包围一个点点s=P1，则，则CSCFCF将将包围包围一次，一次， )2()2()2()2()(NPZPZsF niimjjpszssF11)2()(1ZZsmjj)2()(1PPsniiCSCF设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为闭环特征方程为闭环特征方程为F(s)的零点就是闭环系统的特征的零点就是闭环系统的特征根，也就是闭环极点。根，也就是闭环极点。)()()(0sHs

6、GsG0)()(1)(sHsGsF125.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系统稳定性5.4.2奈氏判据奈氏判据理解奈氏判据的几个问题：理解奈氏判据的几个问题：1 开环与闭环的关系；开环与闭环的关系；2 s平面平面, F平面平面,GH平面的关系；平面的关系；3 与与极坐标图极坐标图的关系；的关系；4 特征点特征点 与与GH平面的关系；平面的关系；5 开环右极点数与开环右极点数与GH平面曲线平面曲线 包围点包围点 的次数的关系。的次数的关系。 ( 1, 0)j()()G jH j( 1, 0)jF(s)的零点闭环特征方程的根或闭环的零点闭环特征方程的根或闭环极点极点;F(s)的极点系统的开环

7、极点的极点系统的开环极点;若若Z= F(s)的右零点数的右零点数(闭环系统的右极闭环系统的右极点数点数)；P= F(s)的右极点数的右极点数(开环系统的右极点开环系统的右极点数数) 11()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP)()(1)(sHsGsF111()()()nmijijniisPKsZsP则则CF在在F平面上平面上顺时针顺时针包围原点的次数包围原点的次数N=ZP。右极点右极点开环开环右极点右极点闭环闭环PZ)()(1)()()(1)(:jHjGjFsHsGsFCF111()()()nmijijniisPKsZsP则则CF在在F平面上平面上顺时针顺时针包围原点的次数包

8、围原点的次数N=ZP。右极点右极点开环开环右极点右极点闭环闭环PZ)()(1)(sHsGsFReIm平面平面GH0 0 0平平面面FIm01曲线曲线即即NyquistjHjGCGH)()(:)()(1)(:jHjGjFCF Z=0，N=P )()(1)(:jHjGjFCF11()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP)()(1)(sHsGsF111()()()nmijijniisPKsZsP右极点右极点开环开环右极点右极点闭环闭环PZ)()(1)(sHsGsFReIm平面平面GH0 0 0平平面面FIm0111()( )( )()mjjniiKsZG s H ssP111()()

9、()nmijijniisPKsZsP右极点右极点开环开环右极点右极点闭环闭环PZN=ZP，Z= N+P 2700000jHjGKjHjG 11101321321sTsTsTKsHsGTTT，：设设例例开环稳定开环稳定P=0，按关于实轴对称原则补，按关于实轴对称原则补（，）全图，则有以下三种情况）全图，则有以下三种情况；K=K1：不包围：不包围(-1,j0)点，点，N=0=P闭环系统稳定；闭环系统稳定；K=K2：穿越：穿越(-1,j0)点，闭环系统临界稳定；点，闭环系统临界稳定；K=K3：顺时针包围：顺时针包围(-1,j0)点两周，点两周， N=2P，闭环闭环系统不稳定。系统不稳定。 11101

10、1 . 0102ssssHsG：例例开环不稳定开环不稳定P=1，逆时针包围，逆时针包围N=1=P（ N=1=P ），闭闭环稳定。环稳定。 13TssKsHsG：例例 实轴对称实轴对称关于关于，-018009000-jHjGjHjG 处图形。处图形。全全补补处无界，需要从处无界，需要从在在，所以图形，所以图形对应对应0000-sHsGs215.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系统稳定性5.4.2奈氏判据奈氏判据n必须指出，映射定理只适用于封闭曲线不通必须指出，映射定理只适用于封闭曲线不通过的零、极点的情况，所以奈魁斯特轨迹过的零、极点的情况，所以奈魁斯特轨迹(奈奈氏轨迹氏轨迹) )应不通过

11、的零点或极点。应不通过的零点或极点。n如果系统在虚轴上（例如在原点处）有开环如果系统在虚轴上（例如在原点处）有开环极点（为极点（为 型以上系统）时，则在虚轴上也就型以上系统）时，则在虚轴上也就有极点，由于奈魁斯特轨迹不能通过的奇点，有极点，由于奈魁斯特轨迹不能通过的奇点，因此须将它的形状略加修改，使奈魁斯特轨因此须将它的形状略加修改，使奈魁斯特轨迹绕过虚轴上的开环极点。迹绕过虚轴上的开环极点。修改后的奈氏轨修改后的奈氏轨迹迹 。奈魁斯特轨迹奈魁斯特轨迹(奈氏轨迹奈氏轨迹/ /围线围线),),极坐标图极坐标图( (奈氏图奈氏图) )225.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系统稳定性5.4.

12、2奈氏判据奈氏判据n修改后的奈氏轨迹修改后的奈氏轨迹jj1C2C3Cj0平面s4C235.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系统稳定性5.4.2奈氏判据奈氏判据n修改后的奈氏轨迹修改后的奈氏轨迹)(1)()(1sGssHsGv0j1)0()0(jHjG)0()0(jHjG)0()0(jHjG)()(jHjG245.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系统稳定性5.4.2奈氏判据奈氏判据n修改后的奈氏轨迹修改后的奈氏轨迹jj1C2C3Cj0平面s4C0j1)0()0(jHjG)0()0(jHjG)0()0(jHjG)()(jHjG)(1)()(1sGssHsGv( )( )G s H s

13、轨迹由开环极坐标图和辅助圆构成映射一一对应映射一一对应255.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系统稳定性5.4.2奈氏判据奈氏判据n修改后的奈氏轨迹修改后的奈氏轨迹( )( )G s H s 轨迹由开环极坐标图和辅助圆构成265.4 用频率法分析系统稳定性用频率法分析系统稳定性5.4.2奈氏判据奈氏判据n闭合曲线包围特征点圈数闭合曲线包围特征点圈数(次数次数)R的计算的计算 设N为穿越点 左侧负实轴的次数，N表示正穿越（从上向下穿越）的次数和，N表示负穿越（从下向上穿越）的次数和，则NNR( 1, 0)jImReAC0B)(a)()(1 0,11:42TTsssKsHsG例例 000jH

14、jGjHjG的的大大小小。与与取取决决于于之之间间走走向向T,0负相角为主；负相角为主；,11TtgtgT000 正相角为主；正相角为主；,11TtgtgT0 穿越穿越(-1,j0)点，闭环系统点，闭环系统临界稳定；临界稳定； P=0N=2，闭环系统不，闭环系统不稳定；稳定； P=0=N=0，闭环系统稳，闭环系统稳定；定；222 11113027018309tgtgtgtg 非最小相位系统。非最小相位系统。例例13:5sssKsHsG 11113027018309tgtgtgtg 900,27000jHjGjHjG求与负实轴的交点：求与负实轴的交点： 0,133333018jKKjjKjHjG

15、交点：交点：代入代入 113027tgtg 13sssKsHsGK1，P=1，(N=1=P)，逆，逆时针包围时针包围一圈，一圈，Z=N+P=1+1=0闭环稳定。闭环稳定。K=1临界临界稳定。稳定。K6dB445.5 对数判据对数判据5.5.2 稳定裕量稳定裕量 n对于最小相位系统，若其相角随着对于最小相位系统，若其相角随着 增大而单增大而单调减小时，增益裕量和相位裕量为正的系统，调减小时，增益裕量和相位裕量为正的系统，是稳定的，反之是不稳定的。是稳定的，反之是不稳定的。n仅用相角裕量或增益裕量，往往不足以说明曲仅用相角裕量或增益裕量，往往不足以说明曲线线 与特征点的靠近程度，因而不足以与特征点

16、的靠近程度，因而不足以说明系统相对稳定程度，所以一般应同时求出说明系统相对稳定程度，所以一般应同时求出相位裕量和增益裕量。但对于相频特性在增益相位裕量和增益裕量。但对于相频特性在增益交界频率附近变化平缓的系统，可仅用交界频率附近变化平缓的系统，可仅用 估算估算系统的相对稳定性。系统的相对稳定性。 )()(jHjG加例：加例：例例5-9已知单位反已知单位反馈系统馈系统3) 1()(sKsG设设K分别为分别为4和和10时，时，试确定系统的稳定试确定系统的稳定裕量。裕量。)(1800 gggjHjGK1解解1：系统开环频率特性：系统开环频率特性图5-36 例5-8 k=4和k=10时系统开环幅相曲线

17、3) 1()(sKsG1 .271809 .152arctan3116111215 .03013180arctan340000310423200322则则则则即即则则或或jGKjGjGKjGjGjKKggcgggggggKg ggggjHjGK118032222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG图5-36 例5-8 k=4和k=10时系统开环幅相曲线32222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG3) 1()(sKsG1 .271809 .152arctan311611215 . 03013180arctan34000310423200322则则

18、则则则则或或KggcgggggggKjGjGKjGjGjK1,0)(180100A1,0)(0图 5-36 例 5-8 k=4和 k=10时 系 统 开 环 幅 相 曲 线0 . 71800 .187arctan3908. 11100118 . 0152 . 13100003101023200则则则则不变不变KggcgcgKjGjGKjGjGK 11801801000ggggjHjGKjHjG稳稳定定裕裕量量：32222)1 ()3()31(3)1 ()(23jKarctgKjG1,0KgK10时，时，闭环系统闭环系统不稳定，不稳定，Kg1,0g0)(0618036 . 160lg1lg120

19、110101arctg3) 1()(sKsG解解2：绘系统：绘系统Bode图，图，可利用三角形关系求可利用三角形关系求解。解。 K4时时01g108 . 1lglg121lg1lg12lglg17 . 131803618036 . 160lg1lg1201011010110101dBGMGMarctgarctggggggcc0)(180)(0lg2000PMA|)()(|lg20log20180ggggjHjGKdBGM07 . 6lglg20lg1lg20lglg7 . 1318037 .1618032 . 260lg1lg200202102021110220202dBGMGMarctgarctggggggK10时时3) 1()(sKsG02g1 07 . 6lglg202lg1lg20lglg27 . 1318037 .1618032 . 260lg1lg2002021020202