数值计算方法复习题

1、fuxiti例1 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5104的根要迭代多少次？证明 令f(x)1xsinx， f(0)=10，f(1)=sin10(x0.1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根.给定误差限e0.5104，有 只要取n14.例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根.答案：f(a)f(b)0解答：因为f(x)在区间a,b上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)

2、=0表成x=j(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=j(x)的交点 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=j(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=j(x), 满足x=j(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=j(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A) (B) (C) (D) 答案：(A)解答：在(A)中 故迭代发散.在(B)中 ，故迭代收敛. 在(C)中， ，故迭代收敛.在(D)中，类似证明

3、，迭代收敛.例3 填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。解答 1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。一、解答下列问题：1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数 的近似值 ，它们的有效位数分别有 位， 位; 又取 （三位有效数字），则 .3）为减少乘除法运算次数，应将算式 改写成 4）为减少舍入误差的影响，应将算式 改写成 5）递推公式 如果取作计算，则计算到时，误差有 这个计算公式数值稳定不稳定

4、 ？ 1） 绝对误差 ， 相对误差 ， 有效数字 ， 截断误差 ， 舍入误差 。 2） 6 ， 7 ， 3） ; 3)4) 或 二、解答下列线性代数方程组问题：1) 解线性代数方程组（非奇异）的关键思想是首先把方程组 约化为 和 ，然后分别通过 过程 或 过程很容易求得方程组的解. 2）用“列主元Gauss消元法”将下列方程组： 化为上三角方程组的两个步骤 再用“回代过程”可计算解： 1） 上三角方程组， 下三角方程组， 回代， 前推2） ， 四、设一元方程，欲求其正根，试问： 1) 方程的正根有几个？ (个) 2) 方程的正根的有根区间是 3） 给出在有根区间收敛的不动点迭代公式： 4） 给

5、出求有根区间上的Newton迭代公式： 1) 1 2) 1, 2 3) , 4) , 五、，当满足条件 时，可作分解；当满足条件 时，必有分解式，其中为对角线元素为正的下三角阵。一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1近似值的误差限为（ ）。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.3. 若实方阵A满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵和上三角阵，使。 A. B. 某个 C. D. 例1. 近似值的误差限为（ ）。A 0.5 B 0.05 C 0.005 D 0.0005.解 因 ，它为具有3位有效数字的近似数，其误差限为 。或，其误差限为 所以 答案为B.例2. 已知，

6、求的误差限和相对误差限。解：（绝对）误差限： 所以（绝对）误差限为，也可以取。一般地，我们取误差限为某位数的半个单位，即取 。相对误差限： 所以，相对误差限例3.已知 求近似值的误差限，准确数字或有效数字。解 由 误差限为 因为，所以由定义知是具有4位有效数字的近似值，准确到位的近似数。注意：当只给出近似数时，则必为四舍五入得到的有效数，则可直接求出误差限和有效数字。例4. 已知近似数求的误差限和准确数位。解 因， 所以 准确到 位。准确到位。注意：函数运算的误差概念，特别是其中的符号。例1 证明计算的切线法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解 （1）因计算等于求正根，代入切线法迭代公式

7、得 (2) 设，因 所以 在上 由 ，选用上面导出的迭代公式计算得 例1 用列主元消元法的方程组 注意：每次消元时主元的选取是各列中系数最大的。解 第1列主元为3，交换第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元为交换第2、3方程位置后消元得 回代解得 例2将矩阵A进行三角分解（Doolittle分解,Crout分解,LDU分解） 其中说明：一般进行矩阵的三角分解采用紧凑格式。即应用矩阵乘法和矩阵相等原则进行矩阵的三角分解（或代入公式求得相应元素）。在分解时注意矩阵乘法、矩阵求逆等代数运算。 解： 则矩阵的Doolittle分解为 因为对角阵，则所以矩阵的LDU分解为 矩阵的Crout分解为例3

8、用紧凑格式求解方程组 注意：消元过程是解方程组，和回代过程是解方程组。解：（1）将矩阵进行三角分解，由上例得： 矩阵的三角分解为 （2）解方程组（3）解方程组 所以 一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1近似值的误差限为（ ）。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.3. 若实方阵A满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵和上三角阵，使。 A. B. 某个 C. D. 1B 3. C. 例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根.答案：f(a)f(b)0解答：因为f(x)在区间a,b上连续，在两端点函数值异

9、号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=j(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=j(x)的交点 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=j(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=j(x), 满足x=j(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=j(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A) (B)

10、(C) (D) 答案：(A)解答：在(A)中 故迭代发散.在(B)中 ，故迭代收敛. 在(C)中， ，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组： 例3 填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。解答 1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。1). 设是真值的近似值，则有 位有效数字。2). 倍。3). 求方程根的牛顿迭代格式是 。1）3； 2）；3）1、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 收敛 2、 迭代过程 （

11、k=1,2,）收敛的充要条件是 3、 已知数 e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有效数字是 1、局部平方收敛 2、 1 3、 4 8、 ,为使A可分解为A=LLT, 其中L为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围 8、 2、，则A的LU分解为 。1、近似值关于真值有( )位有效数字；2、的相对误差为的相对误差的( )倍；1、2； 2、倍5、计算方法主要研究( )误差和( )误差；6、用二分法求非线性方程f (x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为( )；5、截断，舍入；6、；10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为( )。1

12、0、A的各阶顺序主子式均不为零。1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。A. 对称阵 B. 正定矩阵 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零 2、舍入误差是( )产生的误差。A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 3、3.141580是的有( )位有效数字的近似值。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7 1、B 2、A 3、B 5、用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入 6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。A.控制舍入误差

13、 B. 减小方法误差C.防止计算时溢出 D. 简化计算5、C 6、A1、为了使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？解：设有n位有效数字，由，知 令 , 取 , 故 4利用矩阵的LU分解法解方程组 。解： 令得，得.2、分别作为p的近似值有 , , 位有效数字。2、 4 ,3 ,34、解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是( )；4、减少舍入误差1、用1+近似表示所产生的误差是( )误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 81D， 2C8、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中，A须满足的条件是( )。A. 对称阵 B. 各阶顺序主子式均大于零 C. 任意阵 D. 各阶顺序主子式均不为零8B1、 用1-近似表示cosx产生舍入误差。 ( )1、6、-23.1250有六位有效数字，误差限 。 ( ) 7、矩阵A=具有严格对角占优。 ( )6、，7、9、 LLT分解可用于求系数矩阵为实对称的线性方程组。 ( )9、1、 用牛顿(切线)法求的近似值。取x0=1.7, 计算三次，保留五位小数。解：是的正根，牛顿迭代公式为， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.7