数学建模20周年B题水资源短缺风险综合评价

1、2011河南科技大学第八届大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B题 题目：参赛队员： 姓名专业班

2、级所在学院电话（手机）是否报名全国竞赛 B 水资源短缺风险综合评价摘 要本文通过建立数学模型研究了水资源短缺风险综合评价问题。我们的设计思路是：本文选取区域水资源短缺风险程度的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期和风险度作为评价指标,研究了水资源短缺风险的模糊综合评价方法。最后对包括北京水资源短缺风险进行了评价。结果表明,如果没有南水北调工程,2010 年整个北京的水资源短缺风险将会处于高风险水平,水资源供需状况极度危险,对水资源采取有效的风险管理措施已刻不容缓。在建立、求解模型的过程中我们着重解决了四个难点：首先构造隶属函数以评价水资源系统的模糊性；其次利用Logistic回归模型模拟和预测水资

3、源短缺风险发生的概率；而后建立了基于模糊概率的水资源短缺风险评价模型；最后利用判别分析识别出水资源短缺风险敏感因子，同时给予调控的措施。本文对问题的解决原则：在合理简化的基础上，对题目每个要求，都做到“有数可依，有理可辩”。 关键字：模糊概率 Logistic 敏感因子 水资源短缺风险 北京 一、问题重述水资源，是指可供人类直接利用，能够不断更新的天然水体。主要包括陆地上的地表水和地下水。风险，是指某一特定危险情况发生的可能性和后果的组合。水资源短缺风险，泛指在特定的时空环境条件下，由于来水和用水两方面存在不确定性，使区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及由此产生的损失。近年来，我国、特别是北

4、方地区水资源短缺问题日趋严重，水资源成为焦点话题。以北京市为例，北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况。北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。政府采取了一系列措施, 如南水北调工程建设, 建立污水处理厂,产业结构调整等。但是，气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济

5、的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。北京2009统计年鉴及市政统计资料提供了北京市水资源的有关信息。利用这些资料和你自己可获得的其他资料，讨论以下问题：1 评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。2、建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价， 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？3、 对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。4 、以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。水资源短缺的预测模型因选用变量多少不同分为

6、单变量预测模型和多变量预测模型；多变量预测模型因使用计量方法不同分为线性判定模型、线性概率模型和Logistic回归模型。为了得到人流量的规律，进行单变量分析和二类线性判定分析，在单变量判定分析中，不难发现在农业用水、工业用水、第三产业用水的百分比的线性回归模型中，农业用水所占比例最大，而第三产业用水相对来说所占比例较小，但是农业用水量所占比例有下降的趋势，反而第三产业用水量所占比例有增长的趋势；故要求我们必须对多因素进行综合判定，则我们在多元线性判定分析中，发现由气候条件状况、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度、人口规模等6个指标构建的模型，从而更好地预测未来几年的水资源状况。但是由

7、于每年的总用水量以及农业用水量、工业用水量、第三产业用水量还有总水量均不相同，且并不是呈现简单的递增或递减的规律，故我们应对所刻画的模型做几点解释。说明：1、 我们采用农业用水占总用水量的百分比这一特性来对每年已知的水资源各方面的使用量进行模糊变化规律和对将来未知的水资源各方面的使用量进行模糊估测，同时给出北京市水资源短缺风险的主要风险因子。2、 我们采用Logistic回归模型模拟和预测水资源短缺风险发生的概率，从而给出北京市水资源短缺风险进行综合评价，和水资源短缺风险的发展趋势。利用概率论的知识分析各个水资源短缺风险敏感因子发生的几率，同时给予调控的措施。二、模型假设假设：1、 每年水资源

8、在各个方面的使用量不会发生突变（即政府对各方面水资源使用量的管理力度维持不变）；农业、工业、第三产业等数量保持不变。2、 气候状况不会出现超大灾害的现象，人口规模的变化呈现一定的规律，并维持该规律持续变化。3、 同一产业中，不同地方的权值相同，即没有优先级别之分。 三、符号约定1,、标准差: ;2、半标准差:- ;3、风险度: ;4、变差系数：C v.5、回归系数估计值：6、随机变量：7、回归系数:b 8、系数的置信区间：bint 9、残差：r 10、残差的置信区间 :rint 11、统计量：stats 四、问题分析与模型的建立本题是一个尤为复杂的水资源状况综合问题，由于原题中无明确的衡量标准

9、，即需要做相对多一些的合理假设。即通过对给定数据的统计和分析，表1和表2分别列出了每年已知的水资源各方面的使用量和水资源的短缺量及其所占的比例。每年水资源各方面的使用量及比率（表1）年份总用水量(亿立方米)农业用水 (亿立方米)农业用水占总用水量比率工业用水(亿立方米)工业用水占总用水量比率第三产业及生活等其它用水(亿立方米)第三产业及生活用水占总用水量比率197942.9224.180.563373714.370.3348094.370.101817335198050.5431.830.629798213.770.2724574.940.097744361198148.1131.60.656

10、828112.210.2537934.30.089378508198247.2228.810.610122813.890.2941554.520.095722152198347.5631.60.664423911.240.2363334.720.099243061198440.0521.840.545318414.380.3589514.0170.100299625198531.7110.120.319142217.20.5424164.390.138442132198636.5519.460.53242139.910.2711357.180.196443228198730.959.680.3

11、12762514.010.4526667.260.23457189198842.4321.990.518265414.040.3308986.40.150836672198944.6424.420.54704313.770.3084686.450.144489247199041.1221.740.528696512.340.3000977.040.171206226199142.0322.70.540090411.90.2831317.430.176778492199246.4319.940.429463715.510.33405110.980.236485031199345.2220.350

12、.450022115.280.3379049.590.212074303199445.8720.930.456289514.570.31763710.370.226073687199544.8819.330.430704113.780.30704111.770.262254902199640.0118.950.473631611.760.2939279.30.23244189199740.3218.120.449404811.10.27529811.10.275297619199840.4317.390.430126110.840.26811812.20.301756122199941.711

13、8.450.4423410.560.25317712.70.304483337200040.416.490.408168310.520.26039613.390.331435644200138.917.40.44730089.20.236504120.30848329200234.615.50.44797697.50.21676310.80.312138728200335.813.80.38547498.40.234637130.363128492200434.613.50.39017347.70.22254312.80.369942197200534.513.20.38260876.80.1

14、9710113.40.388405797200634.312.80.37317786.20.18075813.70.39941691200734.812.40.35632185.80.16666713.90.399425287200835.1120.34188035.20.14814814.70.418803419200935.5120.33802825.20.14647914.70.41408450719792009年北京水资源各方面使用量比例离散图(图1)【1】水资源的短缺量及比率(表2)年份总用水量(亿立方米)水资源总量（亿方）每年缺水量每年缺水量比总用水量每年缺水量比水资源总量1979

15、42.9238.234.690.1092730.12267852198050.542624.540.4855560.94384615198148.112424.110.5011431.00458333198247.2236.610.620.2249050.29016393198347.5634.712.860.2703950.37060519198440.0539.310.740.0184770.01882473198531.7138-6.29-0.19836-0.1655263198636.5527.039.520.2604650.35220126198730.9538.66-7.71-0.

16、24911-0.1994309198842.4339.183.250.0765970.08295048198944.6421.5523.090.5172491.07146172199041.1235.865.260.1279180.14668154199142.0342.29-0.26-0.00619-0.006148199246.4322.4423.990.5166921.06907308199345.2219.6725.550.5650151.29893238199445.8745.420.450.009810.00990753199544.8830.3414.540.3239750.47

17、923533199640.0145.87-5.86-0.14646-0.1277523199740.3222.2518.070.4481650.81213483199840.4337.72.730.0675240.07241379199941.7114.2227.490.6590751.93319269200040.416.8623.540.5826731.39620403200138.919.219.70.5064271.02604167200234.616.118.50.5346821.14906832200335.818.417.40.4860340.94565217200434.621

18、.413.20.3815030.61682243200534.523.211.30.3275360.48706897200634.324.59.80.2857140.4200734.823.8110.3160920.46218487200835.134.20.90.0256410.02631579200935.521.813.70.3859150.62844037每年缺水量离散图（图2）缺水量所占总用水量及总水资源总量比率(图3)(图2)每年缺水量曲线的MATLAB数据b = 0.0057bint =0.0038 0.0076r = -6.5338 13.3105 12.8748 -0.620

19、9 1.6135 -10.5122 -17.5479 -1.7435 -18.9792 -8.0249 11.8094 -6.0262 -11.5519 12.6924 14.2468 -10.8589 3.2254 -17.1803 6.7441 -8.6016 16.1527 12.1971 8.3514 7.1457 6.0400 1.8344 -0.0713 -1.5770 -0.3826 -10.4883 2.3060rint = -27.2946 14.2269 -6.9788 33.5997 -7.4545 33.2041 -21.5266 20.2849 -19.2843 22

20、.5112 -31.0349 10.0105 -37.3664 2.2707 -22.6388 19.1517 -38.6064 0.6480 -28.7072 12.6574 -8.6098 32.2287 -26.8052 14.7527 -31.9916 8.8878 -7.6494 33.0343 -5.9462 34.4397 -31.3521 9.6343 -17.6413 24.0921 -37.0410 2.6805 -14.0007 27.4888 -29.2470 12.0438 -3.8306 36.1360 -8.1855 32.5796 -12.3077 29.010

21、4 -13.5779 27.8694 -14.7338 26.8139 -19.0534 22.7222 -20.9703 20.8277 -22.4671 19.3131 -21.2805 20.5152 -31.0043 10.0276 -18.5733 23.1853stars = 0.0000 NaN NaN 104.6410首先，我们注意到“水资源短缺”本来就是一个模糊的概念，与之相关的的因素有些是定量的，有些是定性的，对“水资源短缺”影响的程度也不尽相同，而且,具有不同是实际含义。为此，我们可以用综合模糊的评定方法对北京水资源状况给出一种综合的评估方案。第二因素;（1）降水；（2）

22、沙尘暴；（3）雨季减短；（4）地下水位深埋；（5）入境水量；（6）污水排放量；（7）污水处理率；（8）农业用水量；（9）储水功能；（10）树木砍伐度；（11）工业用水量；（12）生活用水量；（13）经济发展。气候条件状况：A=（1），（2），（3）；水利工程设施：B=（4），（5）；工业污染：C=（6），（7）；农业用水：D=（8），（9）；管理制度：E=（10），（11）；人口规模等：F=（12），（13）.根据问题的实际情况，对六个一级因素集中的 个二级因素，又可以分成 个三级因素（如表3），对每个三级因素都可给出一个评判集，相应地可以构造出二级因素的模糊矩阵和各因素的权向量，确定出各主要

23、因素的隶属度，从而可求出北京水资源短缺度，对北京水资源的短缺度给出客观的评价。【2】各级因素所占比重(表3)主要因素二级因素权重模糊矩阵三级因素权重（A）气候条件状况a=0.21（A1）降水a 1=0.7RA1（A11）降雨量a 11=0.6（A12）降雪量a 12=0.4（A2）沙尘暴a 2=0.3RA2（A21）蒸发量a 21=0.7（A22）风速与湍流扩散a 22=0.3（B）水利工程设施b=0.19（B1）地下水位深埋b 1=0.8RB1（B11）水资源储量b 11=0.4（B12）水资源开发b 12=0.6（B2）入境水量b 2=0.2RB2（B21）水资源维护b 21=1.0（C）

24、工业污水c=0.07（C1）污水排放量c 1=0.6RC1（C11）COD排放总量c 11=0.7（C12）酸雨c 12=0.3（C2）污水处理率c 2=0.4RC2（C21）污水分类处理程度c 21=0.7（C22）污水同化率c 22=0.3（D）农业用水d=0.29（D1）农业用水量d 1=0.7RD1（D11）灌溉方案d 11=1.0（D2）储水功能d 2=0.3RD2（D21）小设施供水报废度d 21=0.6（D22）大设备增加量d 22=0.4（E）管理制度e=0.13（E1）树木砍伐度e 1=0.3RE1（E11）森林覆盖率e 11=1.0（E2）工业用水量e 2=0.7RE2（E

25、21）生产用水量e 21=1.0（F)人口规模f=0.11（F1）生活用水量f 1=0.3RF1（F11）地面沉淀f 11=0.7（F12）超采地下水量f 12=0.3（F2）经济发展f 2=0.7RF2（F21）高耗能娱乐设备f 21=0.5（F22）美化环境用水量f 22=0.5用概率分布的数学特征，如标准差或半标准差-，可以说明风险的大小。和-越大，则风险越大，反之越小。这是因为概率分布越分散，实际结果远离期望值的概率就越大 。 用、-比较风险大小虽简单，概念明确，但-为某一物理量的绝对量，当两个比较方案的期望值相差很大时，则可比性差，同时比较结果可能不准确。为了克服用-可比性差的不足，

26、可用其相对量作为比较参数，该相对量定义为风险度，即标准差与期望值的比值(也称变差系数)。这里值得说明的是：风险度不同于风险率，前者的值可大于 1，而后者只能小于或等于 1。在问题二中我们要对北京市水资源短缺风险进行综合分析评价，并作出风险等级划分。水资源的短缺取决于供水和需水两方面影响，而这两方面都具有随机性和不确定性。因此水资源短缺风险也具有随机性和不确定性。我们在进行风险评价时，充分考虑风险特点以及水资源的复杂性，把存在风险的概率、风险出现的时间、风险造成的损失多少、风险解除时间、缺水量的分布等一系列因素考虑在内。故我们从多方面的指标综合考虑评价北京市现水资源短缺风险等级。我们在评价指标选

27、择中坚持的原则：（1）能集中反映缺水的风险程度；（2）能集中反映水资源短缺风险发生后水资源系统的承受能力；（3）代表性好，针对性强，易于量化。依据上述原则，我们选取水资源的风险率、脆弱性、可恢复性、事故周期、风险度作为水资源系统水资源短缺风险的评价指标。风险评价是在风险识别和风险分析的基础上，把损失概率、损失程度以及其它因素综合起来考虑，分析该风险的影响，寻求风险对策并分析该对策的影响，为风险决策创造条件。本文采用上述定义的风险率、脆弱性、可恢复性、重现期、风险度作为水资源短缺风险的评价指标，采用模糊综合评判方法对水资源短缺风险进行评价。设给定 2 个有限论域 和其中，U 代表综合评判的因素所

28、组成的集合；V 代表评语所组成的集合。则模糊综合评判即表示下列的模糊变换 B=A×R，式中 A 为 U 上的模糊子集。而评判结果 B 是 V 上的模糊子集，并且可表示为 ，01；，01。其中表示单因素 在总评定因素中所起作用大小的变量，也在一定程度上代表根据单因素评定等级的能力；为等级对综合评定所得模糊子集 B 的隶属度，它表示综合评判的结果。关系矩阵 R 可表示为 式中：表示因素 的评价对等级的隶属度，因而矩阵R中第即为对第i个因素 的单因素评判结果。在评价计算中代表了各个因素对综合评判重要性的权系数，因此满；同时，模糊变换 A×R 也即退化为普通矩阵计算，即上述权系数的

29、确定可用层次分析法(AHP)得到。由上述分析可以看出，评价因素集对应评语集而评判矩阵中即为某因素对应等级的隶属度，其值可根据各评价因素的实际数值对照各因素的分级指标推求。我们将评语级分为 5 个级别，各评价因素分级指标见表 4。【3】各评价因素分级指标（表4）水资源短缺风险(风险率)(脆弱性) (可恢复性)(重现期)(风险度) (低) 0.200 0.200 0.800 9.000 0.200 (较低)0.2000.4000.2000.4000.6010.8006.0019.0000.2010.600(中)0.4010.6000.4010.6000.4010.6003.0016.0000.60

30、11.000(较高)0.6010.8000.6010.8000.2000.4001.0003.0001.0012.000(高) 0.800 0.800 0.200 1 2.000针对我们所建立的北京水资源风险模糊概率模型、多元线性回归模型以及灰色系统预测模型，为了有效地缓解北京市水资源严重短缺现象，进行单变量分析和二类线性判定分析，在单变量判定分析中，不难发现在农业用水、工业用水、第三产业用水的百分比的线性回归模型中，农业用水所占比例最大，而第三产业用水相对来说所占比例较小，但是农业用水量所占比例有下降的趋势，反而第三产业用水量所占比例有增长的趋势；故要求我们必须对多因素进行综合判定，则我们在

31、多元线性判定分析中，发现由气候条件状况、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度、人口规模等6个指标构建的模型，从而更好地预测未来几年的水资源状况。故我们对北京市水行政主管部门写了一下报告：关于有效缓解北京市水资源短缺风险的报告我们通过对北京市气候条件、水利工程设施、工业用水、农业用水、第三产业及其他用水、人口规模、生态用水量、降水量、园林绿化覆盖率、废水治理设施数、工业排放总量等影响因素的分析。通过模糊综合评判方法建立模型计算出缺水风险性的综合评分知道北京市处于高风险的水资源短缺状况，。在采取以往的水资源控制手段的条件下，经过对2000-2010年用水状况的数据分析，采用灰色系统理论模型和

32、多元线性回归模型用不同的方式对北京市未来水资源短缺风险的分析， 较清晰地预测到北京市未来几年的水资源短缺仍会处于一种高风险状态。可见，解决水资源短缺问题依然严峻。为了能更高效的对水资源短缺问题解决，分析造成水资源短缺的风险因子，对熵权的判断得到主要因素为人口的高速聚集和年降水量的日益减少。在解决水资源短缺问题上市水行政主管部门应该侧重以上两个问题着手。但仅仅从这两个方面入手是远远不够的，为此我们提出了如下有效缓解北京水资源短缺的有效措施：一、加强水资源的合理调度，完善了相关体制和机构建设：1加强地下水环境保护，建立完善的地下水动态监测系统。从区域上保护地下水，防止水质恶化，应从源头上即地下水补

33、给区进行保护。水资源是“从水源地供水排水治污中水回用”这样一个闭环的系统，需要统一管理，才能优化配置，达到最佳效益2继续开展污水资源化、雨洪利用的研究和应用。把城市污水排放规划管理、污水处理厂建设、再生污水利用三个环节综合起来，全面规划考虑，实现污水资源化。收集和利用城市雨洪，既可防治雨洪灾害，缓解城市雨洪压力；同时又增加了可用水资源，并可通过回灌补给蓄养地下水。3应建立外来水源、本地水源相互协调的供水网络，实现本地地表水源与外来水源的联合调蓄、地下水与地表水的联合调蓄，提高北京城市供水安全保证程度，支持城市可持续发展。4为保证城市供水安全，应科学地适度增加地下水开采量，合理开发利用。对已确定

34、的应急供水水源地应尽快投入勘探和开发工作，对其它地区继续开展调查工作，寻找新的后备应急水源。二、使有关单位及市民注意节约用水，提高用水效率：1通过宣传加强民众和单位的节水意识，另一方面有关部门需要采取一些有力的甚至是强制性的节水措施。例如，继续努力提高用水效率，缩小与世界平均用水水平的差距；鼓励清洁生产、节水生产，实行定额用水制度；还有，要根据各地的不同情况，适时、适度地提高水价，逐步改变水价格背离其价值的情况。2节约用水是当务之急也是长远发展战略方针，在优先保证城市生活和重点工业供水的前提下，在无法满足需水时，适度压缩农业用水。加强工业、农业节水力度，调整产业结构，大力发展节水型工业、农业。

35、把节约用水纳入城市发展规划，纳入产品结构调整计划和技术及企业改造计划，使在城市和工业部门中逐步做到计划用水、合理用水和科学用水。五、建模的评价与改进：1 模型的改进 1.在对水资源短缺模型建立数据处理的过程中，我们要考虑全面不能轻易的删减任何数据，提高对数据的获取能力，使得模型的可信度更高。2.注重因变量与自变量幂次数发展趋势能否投入实际，善于把模型结果用图形表示出来，使得模型接更加清晰明了。改进前农业、工业、第三产业及生活用水量及回归曲线改进前农业用水量及其回归曲线图像（a）改进前工业用水量及其回归曲线图像（b）改进前第三产业及生活用水量及其回归曲线图像（c）由于已知数据的不确定性，下列各图

36、是用不同次幂函数拟合，显然二次函数标准模型为：y=0+1x1+2x2 +3(x2) 2 +模型求解 直接利用MATLAB统计工具箱中的命令regress求解，使用格式为：b,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha)所做图像如下：改进前农业、工业、第三产业及生活用水量及回归曲线改进后农业用水量及其回归曲线图像（a）（1）农业用水量回归曲线MATLAB数据 b =2.3281e-004bint = 1.0e-003 * 0.2145 0.2511r = 0.1026 0.1688 0.1956 0.1487 0.2028 0.0834 -0.1430 0.0701

37、-0.1498 0.0554 0.0840 0.0654 0.0766 -0.0343 -0.0140 -0.0079 -0.0338 0.0089 -0.0155 -0.0350 -0.0231 -0.0575 -0.0186 -0.0181 -0.0809 -0.0764 -0.0842 -0.0938 -0.1109 -0.1256 -0.1297rint = -0.0971 0.3024 -0.0243 0.3620 0.0061 0.3851 -0.0468 0.3442 0.0144 0.3911 -0.1176 0.2844 -0.3391 0.0531 -0.1317 0.27

38、18 -0.3452 0.0455 -0.1469 0.2578 -0.1170 0.2849 -0.1365 0.2673 -0.1248 0.2779 -0.2373 0.1687 -0.2173 0.1894 -0.2114 0.1955 -0.2368 0.1693 -0.1945 0.2123 -0.2189 0.1878 -0.2380 0.1680 -0.2263 0.1802 -0.2597 0.1448 -0.2219 0.1847 -0.2214 0.1852 -0.2819 0.1202 -0.2777 0.1249 -0.2851 0.1167 -0.2941 0.10

39、64 -0.3099 0.0881 -0.3233 0.0721 -0.3270 0.0677stars =0.0005 NaN NaN 0.0099改进后工业用水量及其回归曲线图像（b）（2）工业用水量回归曲线MATLAB数据b = 1.3960e-004bint = 1.0e-003 * 0.1244 0.1548r = 0.0585 -0.0039 -0.0227 0.0175 -0.0405 0.0820 0.2653 -0.0061 0.1753 0.0534 0.0308 0.0223 0.0052 0.0560 0.0597 0.0393 0.0285 0.0153 -0.003

40、5 -0.0108 -0.0259 -0.0188 -0.0428 -0.0627 -0.0450 -0.0572 -0.0828 -0.0993 -0.1135 -0.1322 -0.1340rint = -0.1088 0.2259 -0.1727 0.1648 -0.1913 0.1458 -0.1512 0.1861 -0.2086 0.1276 -0.0839 0.2479 0.1298 0.4008 -0.1749 0.1627 0.0202 0.3304 -0.1142 0.2209 -0.1376 0.1992 -0.1463 0.1909 -0.1636 0.1739 -0.1114 0.2234 -0.1075 0.2269 -0.1288 0.2074 -0.1399 0.