数学分析西北师范大学9

1、 S F 01（数） Ch 9 不定积分计划课时： 16 时 P 85100 20011125. Ch 9 不定积分 （ 16时 ） § 1 概念 基本公式 初等化简求积分（ 2时 ）引入： 微分问题的反问题，运算的反运算.一. 不定积分的定义:1 原函数： 例1 填空: ; ( ; ; ;. 定义. 注意是的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数:Th 若是在区间上的一个原函数, 则对 Const，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数， 则必有. ( 证 ) 可见，若有原函数，则的全体原函数所成集合为. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数.

2、 ( 下章给出证明 ).可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若在区间上有原函数, 则在区间上有介值性.例2 已知为的一个原函数, =5 . 求.2. 不定积分 原函数族：: 定义, 不定积分的记法, 几何意义. 例3 ; . 3. 不定积分的基本性质: 以下设和有原函数. . (先积后导, 形式不变). . (先导后积, 多个常数) 时， 由、可见, 不定积分是线性运算, 即对, 有 ( 当时,上式右端应理解为任意常数. ) 例4 . 求 . (=2 ).二. 不定积分基本公式: 基本积分表. 1P240242 公式114. 例5 . 三利用初等化简计算不定积分: 参阅4P181.例6 .

3、 求.例7 .例8 .例9 .例10 ; 例11 .例12 . Ex 1P244 2，3，4 ； 4P247254 13，5，6，72 . § 2 换元积分法与分部积分法 （1 0 时 ） 一. 第一类换元法 凑微法： 由 引出凑微公式.Th 若 连续可导, 则 该定理即为： 若函数能分解为 就有 .例1 .例2 .例3 常见微分凑法：4P183190.凑法1 例4 例5 例6 例7 由例47可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1. 例8 . . 凑法2 . 特别地, 有 . 和 . 例9 .例10 例11 .例12 =.凑法3 例13 例14 1P247 E6 例15

4、. 例16 凑法4 .例17 凑法5 例18 凑法6 .例19 .其他凑法举例:例20 .例21 例22 .例23 . 4P191 E28例24 . 4P191 E28例25 例26 . Ex 1P253254 1(24)； 4 254256 7481.二. 第二类换元法 拆微法：2P192 从积分 出发，从两个方向用凑微法计算，即 = = =引出拆微原理.Th2 设是单调的可微函数,并且又 具有原函数. 则有换元公式 (证)参2P192.常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换: 4P194.

5、正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 令, 则 例27 解法一 直接积分; 解法二 用弦换.例28 . （ 参阅例11 ）例29 . 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式即 令 . 此时有 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法.例30 . 解 令 有. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有 = = 例31 1P249250 E11 正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 令 有 变量还愿时, 常用辅助三角

6、形法. 例32 解 .例33 .解法一 （ 用割换 ） 解法二 （ 凑微 ） 参阅1P250 E12. 2. 无理代换: 4P192. 若被积函数是的有理式时, 设为的最小公倍数,作代换, 有. 可化被积函数为 的有理函数. 例34 .例35 .若被积函数中只有一种根式或可试作代换或. 从中解出来. 例36 . 例37 例38 (给出两种解法)例39 .本题还可用割换计算, 但较繁.3. 双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如: :参阅复旦大学 (陈传璋等)编, 数学分析, 上册P24.例40 .本题可用切换计算,但归结为积

7、分, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例3.例41 ( 例30曾用切换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 .例42 . ( 例32曾用割换计算过该题. 现用曲换计算 ).解 4. 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用倒代换例43 .5. 万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参1P261). 令， 就有 ， ， 例44 .解法一 ( 用万能代换 ) .解法二 ( 用初等化简 ) .解法三 ( 用初等化简, 并凑微 ) 例45 2P198E35解 = .代换法是一种很灵活的方法, 参阅4P204 例49. Ex 1P245 1(25)(27)(28)(

8、32); 4P256 8284. 三. 分部积分法: 导出分部积分公式. 介绍使用分部积分公式的一般原则. 1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“”求导以使其成为代数函数. 例46 (幂对搭配) 例47 (幂三搭配) 例48 (幂指搭配) 例49 (幂指搭配) 例50 例51 (幂反搭配) 例52 2 建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一

9、个目标是: 对被积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例53 例54 求 和 解 解得 例55 解 = = （参阅例41）解得 例56 = ，解得 . 例57 = =,解得 . Ex 1P254 2; 4P256257 8588. § 3 有理函数和可化为有理函数的积分简介( 2时 )一. 有理函数的积分: 1. 代数知识: 1P256例1 1P256 E1 2. 部分分式的积分: 1P258例2 1P259 E2.例3 1P260 E3.二. 三角函数有理式的积分: 1P261 万能代换.例45 1P261262 E45.三. 某些无理函数的积分: 留为阅读.四. 一些不能用初等函数有限表达的积分: 1P267.以及 等.Ex 1p268 1 ， 2 . 习 题 课 ( 2