分式方程与无理方程非常规

1、分式方程与无理方程（非常规）例1、求方程x+4的实数解例2、解方程+=（a b）例3、解方程=x例4、解方程+2+3=（x+y+z）例5、解方程+=+例6、求方程的整数解2+= 例7、已知实数x1，x2，xn满足=，x1+x2+xn+= 。 求x1例8、已知实数a，b，c，d互不相等，且a+=b+=c+=d+=x，试求x的值例9、已知关于x的方程（a2-1）()2-(2a+7)( )+1=0有实数根（1）求a的取值范围（2）若原方程的两个实数根为x1,x2,且+=，求a的值练习：1、方程 -=的实数根的个数为 个2、如果a+b-2-4=3-c-5，则a+b+c的值为 3、若方程=x有两个不相等

2、的实数根，则实数p的取值范围是 4、若实数x，y，z满足x+=4，y+=1，z+=，则xyz的值为 5、满足x+y-+=2003的正整数对的个数是 6、已知-=1，那么代数式+的值为 7、对于x的哪些实数值，等式+=成立？8、解方程+=分式方程与无理方程解分式方程与无理方程时，主要用到的技巧有观察法、配方法、换元法、数形结合法、韦达定理法、方程的不等式解法等。解题时，要注意从方法技巧的角度去提高分析问题、解决问题的能力。例1、求方程x+4的实数解解：显然x2，观察方程两边，取 得x=4令y=，则原方程变形为y2y(2)=0，此方程有两个异号的实根，从而有唯一的非负根。经检验知，x=4是原方程的

3、实数解.例2、解方程+=（a b）解：显然有bxa，观察知，x1=a，x2=b是原方程的解.当bxa时，有0，0以、为直角边作直角三角形，则斜边为由三角形任意两边之和大于第三边得，+ 所以除x1=a，x2=b外，原方程再无实数解经检验知，x1=a，x2=b是原方程的解说明：观察法解方程的缺点是有时会减根，因此在用观察法初步得出方程的解之后，还要全面考虑，找到方程的全部解。例3、解方程=x解：显然x1.方程两边乘以2后，移项配方，有0=2x22 = =（-1）2+（-）2 由非负数的性质，得 ，平方得，x2-x-1=0，取不小于1的根，得x=经检验知，x=是原方程的解.例4、解方程+2+3=（x

4、+y+z）解：配方得，（-1）2+（-2）2+（-3）2=0由非负数的性质得， ，得经检验知， 是原方程的解.例5、解方程+=+解：平方得，=、是二次方程t2-(+)t+=0的两个根， 或x=0 或x=3 经检验知，它们是原方程的解例6、求方程的整数解2+= 解：由2，得0x8 又由有=-2 ，平方后移项，得8=16+2x-y16+2x-y为整数，为整数，设x=2b2（b为整数），代入得，02b28，b2只能取0，1，4当b2=0时，x1=0,代入，得y1=16当b2=1时，x2=2,代入，得y2=4当b2=4时，x3=8,代入，得y3=0经检验知，它们是原方程的解例7、已知实数x1，x2，x

5、n满足=，x1+x2+xn+= 求x1解：=，= x1+=x2+=xn+又x1+x2+xn+= n(x1+)= nx12-x1+n=0 x1为实数，=（-）2-4n20， 解得n，又n1 取n=1 x1+= 解得x1=3或经检验知，它们是原方程的解例8、已知实数a，b，c，d互不相等，且a+=b+=c+=d+=x，试求x的值解：=x-a， b=x- (x-a)( x-)=1同理得(x-c)( x-)=1 (x-a)( x-)=(x-c)( x-)整理得，x+acx=a+c 又(x-a)( x-)=1 x2-ax+=1 把代入得，cx2=2c c0, x2=2， x=例9、已知关于x的方程（a2

6、-1）()2-(2a+7)( )+1=0有实数根（1）求a的取值范围（2）若原方程的两个实数根为x1,x2,且+=，求a的值解：（1）若x1，则原方程可转化为（a2-1）x2-(2a+7)x(x-1)+ (x-1)2=0整理得，（a2-2a-7）x2+(2a+5)x+1=0若a2-2a-7=0，即a=12时，有x=-显然2a+5=740，同时x1，当a=12时，原方程有实数解 若a2-2a-70，当=（2a+5）2-4(a2-2a-7）0，即a-且a12时，原方程有实数解由、知，当a-时，原方程有实数解（2）由题设知，是方程（a2-1）t2-(2a+7)t+ 1=0的两个根，由韦达定理，得= 3a2-22a-80=0解得a1=10 a2=- 又由（1）知a-，而-a2=-应舍去，只取a=10 巩固练习：1、方程 -=的实数根的个数为 个答：12、如果a+b-2-4=3-c-5，则a+b+c的值为 答：203、若方程=x有两个不相等的实数根，则实数p的取值范围是 答：0p4、若实数x，y，z满足x+=4