几何体的外接球与内切球

1、几何体的外接球与内切球几何体的外接球与内切球1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、体积分割是求内切球半径的通用做法。、体积分割是求内切球半径的通用做法。一、外接球（一）多面体几何性质法1、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.3

2、2小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.2、 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2， 3，则此球的表面积为。（二）补形法1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.2、 设, , ,P A B C是球O面上的四点,且,PA PB PC两两互相垂直,若PAPBPCa,则球心O到截面ABC的距离是.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、 、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2222R

3、abc.3、三棱锥OABC中，,OA OB OC两两垂直，且22OAOBOCa，则三棱锥OABC外接球的表面积为（）A26 aB29 aC212 aD224 a4、三棱锥ABCP的四个顶点均在同一球面上，其中ABC是正三角形PA平面62,ABPAABC则该球的体积为（）A.316B.332C.48D.364答案及解析：答案及解析：10.B点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键5、如图的几何体是长方体1111ABCDABC D的一部分，其中113,2AB ADDDBBcm则该几何体的外接球的表面积为(A211 cm(B)

4、222 cm(C)211 223cm( D)211 22 cm答案及解析：答案及解析：12.【知识点】几何体的结构.G1B解析：该几何体的外接球即长方体1111ABCDABC D的外接球，而若长方体1111ABCDABC D的外接球半径为 R ，则长方体1111ABCDABC D的体对角线为 2R，所以2222211(2 )332222RR，所以该几何体的外接球的表面积222 cm，故选 B.【思路点拨】分析该几何体的外接球与长方体1111ABCDABC D的外接球的关系，进而得结论.6、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球

5、的表面积是（）A 12B4C3D 12答案及解析：答案及解析：14.考点：由三视图求面积、体积分析：三视图复原几何体是四棱锥，扩展为正方体，它的体对角线，就是球的直径，求出半径，解出球的表面积解答：解：由三视图知该几何体为四棱锥，记作 SABCD，其中 SA面 ABCD面 ABCD 为正方形，将此四棱锥还原为正方体，易知正方体的体对角线即为外接球直径，所以 2r=S球=4r2=4 =3答案：C点评：本题考查三视图求表面积，几何体的外接球问题，是基础题（三）寻求轴截面圆半径法1、正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，SABCD、 、 、 、都在同一球面上，则此球的体积为.?C?D?A?B

6、?S?O?1?图3小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.2、求棱长为 a 的正四面体 P ABC 的外接球的表面积3、三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1=2 且 AA1平面 ABC，ABC 是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（）A 8BCD 8答案及解析：答案及解析：7.C考点：球的体积和表面积专题

7、：计算题；空间位置关系与距离分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为ABC 是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为 AA1=2 且 AA1平面 ABC，所以外接球的半径为：r=所以外接球的体积为：V= r3= （）3=故选：C点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题8.4、已知三棱锥ABCD中，2ABACBDCD，2BCAD，直线AD与底面BCD所成角为

8、3，则此时三棱锥外接球的体积为A.8B.23C.4 23D.8 23答案及解析：答案及解析：11.D（四）球心定位法1、在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为A.12512B.1259C.1256D.12532、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为A. 8B. 16C. 32D. 643、三棱锥PABC中，底面ABC是边长为 2 的正三角形，PA底面ABC，且2PA，则此三棱锥外接球的半径为（）?C?A?O?D?B?图4A2B5C2D3214、如图，在三棱锥 ABCD 中，ACD 与BCD 是全等的

9、等腰三角形，且平面 ACD平面BCD，AB=2CD=4，则该三棱锥的外接球的表面积为BC答案及解析：答案及解析：D27.EF考点：球的体积和表面积；球内接多面体G专题：空间位置关系与距离H分析：取 AB，CD 中点分别为 E，F，连接 EF，AF，BF，求出 EF，判断三棱锥的外接球球心 O 在线段 EF 上，连接 OA，OC，求出半径，然后求解表面积I解答：解：取 AB，CD 中点分别为 E，F，连接 EF，AF，BF，由题意知 AFBF，AF=BF，EF=2，易知三棱锥的外接球球心 O 在线段 EF 上，连接 OA，OC，有 R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，求得，所以其表面积为

10、J故答案为：KL点评：本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题，属于较难题M28.N29.5、在三棱锥BCDA中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为BCD的中心， 若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为O2 2，则三棱锥BCDA外接球的表面积为_P答案及解析：答案及解析：Q29.6R二、内切球问题1、 一气球 （近似看成球体） 在不变形的前提下放在由长为 2 的 12 根木条搭成的正方体中，该气球球表面积最大是_2、正三棱锥的高为 1，底面边长为2 6。求棱锥的内切球的表面积。3、三棱锥ABCD的两条棱6ABCD,其余各棱长均为5， 求三棱锥的内切球半径.4、如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O 的截面面积为()ABCD答案及解析：答案及解析：4.C考点：截面及其作法专题：空间位置关系与距离分析：根据正方体和球的结构特征，判断出平面 ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积解答：解：根据题意知，平面 ACD1是边长为的正三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形