八年级数学菱形定义

1、菱形的定义学习目标：1. 认识菱形的概念，熟悉菱形与平行四边形的关系.2. 掌握菱形的性质，会用这些性质进行有关的计算和证明.3. 了解菱形在生活中的应用实例，能根据菱形的性质解决简单的实际问题.4. 理解菱形的面积公式，会选择适当的方法计算菱形的面积.一、 知识回顾：1.两组对边分别平行的四边形称为 .2. 平行四边形性质：平行四边形对边 且 平行四边形两条对角线 。平行四边形的对角 。3. 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形能够 ，那么这个图形是轴对称图形 。二.探究新知：1.阅读教材P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：（1）菱形的定义：有一组 相等的

2、平行四边形叫菱形如图记作“菱形 ”（2）用定义证明菱形的推理步骤：四边形ABCD是 ，AB=BC四边形ABCD是 2.菱形的性质：阅读教材P55“思考”以上的内容，然后与小组伙伴交流，并尝试回答下列问题：（1）如图，在菱形ABCD中，说出它具有的平行四边形的性质 （2）如图，在菱形ABCD中，已知AB=BC，把下面说明 AB=BC=CD=DA,AC BD,BD、DB分别平分ABC和ADC的步骤补充完整.证明：菱形ABCD是平行四边形，AB= ,BC= , AB=BC=CD=DA菱形ABCD是平行四边形，OA=OC. AB=BCABD=CBD,AC BD(等腰三角形“三线合一”) BD 平分AB

3、C同理可证BD 平分ABC（3）菱形的性质：、菱形的四条边 菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角。菱形是轴对称图形，它有 对称轴。3.完成下列习题（1）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A对角线互相平分B邻角互补C对角相等D对角线互相垂直（2）（2011淮安）在菱形ABCD中，AB=7cm，则此菱形的周长为（）A7cm B21cm C28cm D35cm（3）如图，菱形ABCD周长为8cmBAD=60°，则AC= 22 cm考点：菱形的性质；解直角三角形（4）菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，则菱形较小的内角是 58度58°分析：

4、根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°即可求得菱形的内角的一半，根据菱形对角线垂直平分且为角平分线的性质，可以计算菱形较小的内角解答：解：根据菱形的一边与两条对角线所构成的两个角的差是32°，菱形对角线垂直平分且为角平分线设菱形内角度数为2x、2y，则x-y=32°，x+y=90°，x=61°，y=29°，所以菱形的相邻内角为122°和58°，故答案为 58°点评：本题考查了菱形对角线互相垂直平分且平分一组对角的性质，考查了菱形相邻内角的和为180°的性质，本题中求菱形相邻内角的值

5、是解题的关键5. 思考：如何求平行四边形的面积？如何求菱形的面积吗？有新方法吗？（1）总结菱形的面积等于 或 .（2）已知菱形的对角线长分别为2cm和3cm，则它的面积为 。（3）菱形是 图形，它有 对称轴，分别为对角线所在的直线。6.阅读教材P56例3，注意它的书写格式，完成P57课后练习.三、知识总结：1、有一组 的平行四边形是菱形； 2、菱形的四条边 菱形具有 条对称轴，它们分别是 3、菱形的对角线互相 并且每一条对角线平分 。4、菱形四条边上的高 ，菱形的面积公式是 。四.当堂检测1. 如图，在菱形ABCD中，BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接

6、DF，则CDF等于（）A50°B60°C70°D80°分析：连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出BAC，BCF=DCF，四条边都相等可得BC=CD，再根据菱形的邻角互补求出ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出ABF=BAC，从而求出CBF，再利用“边角边”证明BCF和DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得CDF=CBF解答：解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，BAC=BAD=×80°=40°，BCF=DCF，BC=CD，BAD=80°，ABC=180

7、°-BAD=180°-80°=100°，EF是线段AB的垂直平分线，AF=BF，ABF=BAC=40°，CBF=ABC-ABF=100°-40°=60°，在BCF和DCF中，BCCD BCFDCF,CF=CF，BCFDCF（SAS），CDF=CBF=60°故选B点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键2. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A两组对边分别平行 B对角线相等 C对角线互相平分 D两组对角分别

8、相等3.若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 334. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DHAB于H，连接OH，求证：DHO=DCO5.（2012舟山）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE=AB，连接CE（1）求证：BD=EC；（2）若E=50°，求BAO的大小考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质专题：证明题分析：（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB=CD，ABCD，然后证明得到BE=CD，BECD，从而证明四边形BECD是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；（2）根据两直线平行，同位角相等求出ABO的

9、度数，再根据菱形的对角线互相垂直可得ACBD，然后根据直角三角形两锐角互余计算即可得解解答：（1）证明：菱形ABCD，AB=CD，ABCD，又BE=AB，BE=CD，BECD，四边形BECD是平行四边形，BD=EC；（2）解：平行四边形BECD，BDCE，ABO=E=50°，又菱形ABCD，AC丄BD，BAO=90°-ABO=40°点评：本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的对边平行且相等，菱形的对角线互相垂直是解本题的关键6. （2013淄博）如图，菱形纸片ABCD中，A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB

10、中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE则DEC的大小为（）A78°B75°C60°D45°考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质专题：计算题分析：连接BD，由菱形的性质及A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到ADP=30°，ADC=120°，C=60°，进而求出PDC=90°，由折叠的性质得到CDE=PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数解答：解：连接BD，四边形ABCD为菱形A=60°，ABD为等边三角形

11、，ADC=120°，C=60°，P为AB的中点，DP为ADB的平分线，即ADP=BDP=30°，PDC=90°，由折叠的性质得到CDE=PDE=45°，在DEC中，DEC=180°-（CDE+C）=75°故选B点评：此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键7. （2012本溪）在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则BDE的面积为（）A22 B24 C48 D44考点：菱形的性质；勾股定

12、理分析：先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出BDE是直角三角形，计算出面积即可解答：解：ADBE，ACDE，四边形ACED是平行四边形，AC=DE=6，在RTBCO中，BO= AB2AO= =4，即可得BD=8，又BE=BC+CE=BC+AD=10，BDE是直角三角形，SBDE=DEBD=24故选B点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积，属于基础题，求出BD的长度，判断BDE是直8. （2013临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，B=60°，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接EF

13、，则AEF的面积是 33 考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质分析：首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AMEF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积解答：解：四边形ABCD是菱形，BC=CD，B=D=60°，AEBC，AFCD，ABAE=ADAF，BAE=DAF=30°，AE=AF，B=60°，BAD=120°，EAF=120°-30°-30°=60°，AEF是等边三角形，AE=EF，AEF=60°，AB=

14、4，AE=2，EF=AE=2，过A作AMEF，AM=AEsin60°=3，AEF的面积是：EFAM=×2×3=3故答案为：3点评：此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及三角函数的运用关键是掌握菱形的性质，证明AEF是等边三角形9. （2010嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则BEO= 6565度分析：因为AB=AD，BAD=80°，可求ABD=50°；又BE=BO，所以BEO=BOE，根据三角形内角和定理求解解答：解：ABCD是菱形，AB=ADABD=ADBB

15、AD=80°，ABD=×（180°-80°）=50°又BE=BO，BEO=BOE=×（180°-50°）=65°故答案为：65点评：此题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质以及三角形内角和定理10. （2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F（1）求证：AOECOF；（2）若EOD=30°，求CE的长考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定

16、理分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得ADBC，再利用两直线平行，内错角相等可得OAE=OCF，然后利用“角边角”证明AOE和COF全等；（2）根据菱形的对角线平分一组对角求出DAO=30°，然后求出AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在RtCEF中，利用勾股定理列式计算即可得解解答：（1）证明：四边形ABCD是菱形，AO=CO，ADBC，OAE=OCF，在AOE和COF中，可证AOECOF（ASA）；（2）解：BAD=60°，DAO=BAD=×60°=30°，EOD=30°，A

17、OE=90°-30°=60°，AEF=180°-DAO-AOE=180°-30°-60°=90°，菱形的边长为2，DAO=30°，OD=AD=×2=1，AO=AE=CF=×=，菱形的边长为2，BAD=60°，高EF=2×=在RtCEF中，CE=点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，（2）求出CEF是直角三角形是解题的关键，也是难点11. （2012南通）菱形ABCD中，B=6

18、0°，点E在边BC上，点F在边CD上（1）如图1，若E是BC的中点，AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若EAF=60°，求证：AEF是等边三角形考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定专题：证明题；压轴题分析：（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，B=60°，根据菱形的性质，易得ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AEBC，继而求得FEC=CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；（2）首先由ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得ACF=B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得AEB=A

19、FC，证得AEBAFC，即可得AE=AF，证得：AEF是等边三角形解答：证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，B=60°，AB=BC=CD，C=180°-B=120°，ABC是等边三角形，E是BC的中点，AEBC，AEF=60°，FEC=90°-AEF=30°，CFE=180°-FEC-ECF=180°-30°-120°=30°，FEC=CFE，EC=CF，BE=DF；（2）ABC是等边三角形，AB=AC，ACB=60°，B=ACF=60°，ADBC，AEB=EAD=EAF+FAD=60°+FAD，AFC=D+FAD=60°+FAD，AEB=AFC，在ABE和ACF中，可证ABEACF（AAS），AE=AF，EAF=60°，AEF是等边三角形点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用12. （2012海南）如图（1），在矩形ABCD中，把B、D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，（1）求证：ADNCBM；（2）请连接MF、NE，证明四