概率论与数理统计在电子专业的应用

1、概率论在通信系统中的应用 学 院： 班 级： 学 号： 班内序号： 姓 名： 概率论在通信系统中的应用中文摘要概率论与数理统计在电子电路的随机信号处理及实验中有着广泛的应用，通信工程中信号的接收和发射，都需要概率论与数理统计学的理论作为基础。因为，信号是信息的载体。信号源的输出都是随机的，怎样在随机信号中找出我们所需要的信息，就需要使用统计方法来描述。同时，对于接收者来说怎样从一个不缺定或不可预测的信号中获取我们所需要的信息，仍然需要再次利用统计学中的知识。关键词 ：概率论，数理统计，电子电路，随机信号AbstractProbability and mathematical statistic

2、s in random signal processing and electronic circuit has been widely used in the experiments, the signal receiving and launch in communication engineering, all need theory as the basis of probability theory and mathematical statistics. Because the signal is the carrier of information. The output of

3、the signal source is random, how to find what we need in the random signal information, you need to use statistical methods to describe. At the same time, for the receiver how to from a not short or unpredictable signal to obtain the information we need, still need the knowledge of statistics again.

4、 Key words: probability theory, mathematical statistics, electronic circuit, random signal 一：概率论与数理统计的起源与发展1、概率论 概率论的研究始于意大利文艺复兴时期，当时赌博盛行，而且赌法复杂，赌注量大，一些职业赌徒，为求增加获胜机会，迫切需要计算取胜的思路，研究不输的方法，十七世纪中叶，帕斯卡和当时一流的数学家费尔马一起，研究了德·美黑提出的关于骰子赌博的问题，这就是概率论的萌芽。1657年荷兰物理学家惠更斯发表了“论赌博中的计算”的重要论文，提出了数学期望的概念，伯努利把概率论的发展向

5、前推进了一步，于1713年出版了猜测的艺术，指出概率是频率的稳定值，他第一次阐明了大数定律的意义。1718年法国数学家棣莫弗发表了重要著作机遇原理，书中叙述了概率乘法公式和复合事件概率的计算方法，并在1733年发现了正态分布密度函数，但他没有把这一结果应用到实际数据上，直到1924年菜被英国统计学家K·皮尔森在一家图书馆中发现。德国数学家高斯从测量同一物体所引起的误差这一随机现象独立的发现正态分布密度函数方程，并发展了误差理论，提出了最小二乘法。法国数学家拉普拉斯也独立的导出了该方程，对概率的意义如何抽象化做出了杰出的贡献，提出了概率的古典定义。到19世纪末，概率论的主要研究内容已基

6、本形成。1933年苏联数学家柯尔莫科洛夫总结前人之大成，提出了概率论公理体系，即概率的公理化定义。概率论里所说的极限定理，主要研究独立随机变量序列的各种收敛性问题，其中包括两种类型定理：一类是大数定律，一类是中心极限定理。当代概率论的研究方向大致可分为极限理论，马尔可夫过程，平稳过程，随机微分方程等。2、数理统计 数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的收集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题做出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议。数理统计起源于人口统计、社会调查等各种描述性统计活动，其发展大致课分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段。古

7、典时期 这是描述性的统计学形成和发展的阶段，是数理统计的萌芽时期。在这一时期里，瑞士数学家贝努里较早地系统论证了大数定律。1763年，英国数学家贝叶斯提出了一种归纳推理的理论，后背发展为一种统计论断方法贝叶斯方法，棣莫弗发现了正态分布的密度函数，高斯提出最小二乘法。近代时期 是数理统计的形成时期，英国数学家皮尔逊提出了矩估计法和频率曲线的理论，2检验；统计学家戈赛特创立了小样本检验，即t分布和t检验法，并由费歇推广，这样，数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设计等有了决定其面貌的内容和理论。现代时期 美籍罗马尼亚数理统计学家瓦你德发展了决策理论，提出了一般的判别问题，创立

8、了序贯分析理论，提出著名的序贯概率比检法。二、概率论与数理统计在电子电路的随机信号处理根据概率论与数理统计中的知识所描述，事件的概率就是对于一次随机试验E，S是它的样本空间，那么对于随机试验E中的每一个事件A都赋予一个实数，记为P（A），这时，这个实数就是事件A的概率。我们知道一个事件的不确定性可以用事件出现的频率来描述，可能性越小，概率越小；反过来说，可能性越大，则概率就越大。由此就可以看出，信息中包含的信息量与事件发生的概率密切相关。在此，我们可以判断出，当一个事件的不确定性越小时，它所携带的信息量就越大，因为我们可以从中获得更多的信息。这个时候，我们设有一个函数，它满足对于一个事件的概率

9、P(x)，有对应的信息量I满足I=fP(x),由以上总结得出：P（x）越小，则I就越大；同样则有当P（x）越大时，I就越小。用数学式表达：P（x）1时，I0;P（x）0时，I.因为信息所包含的信息量可以用概率来表述，所以概率的基本性质例如相加性对于信息也是满足的。就是对于概率论来说，设是两两互不相容的事件，即对于=Ø，ij,i,j=1,2,.,则通过类比可得出若干个相互独立事件所提供的信息量就等于个独立事件所提供的信息量之和，也就是所谓的信息的相加性，即由以上两点可以得出，信息量I与事件出现的概率P（x）的关系应满足一种数学关系，根据1）、2）可以知道信息量I与事件出现的概率P（x）

10、的倒数成对数关系。此时，我们可以得出I与P（x）的对应关系，即I=-P（x）其中，a的取值可以用来判断信息量的单位。通过这个公式，我们对信息量做出了较为直观的描述，从而对信息做出度量，为信息的传输和处理奠定了基础。 在信号的传输之前，我们需要对信号进行处理，这是因为对于信号源来说，它所发出的信号是一定的，但有时会具有较低的频谱分量，这种信号在很多信道中并不适合传输。因此，我们在信号传输之前需要对信号进行调幅。而需要调幅的信号就称为调幅（AM）信号。我们假设，一个调制信号m(t),叠加上直流后与可形成调幅（AM）信号。调幅信号的时域表示为(t)=+m(t)cost=cost+m(t)cost式中

11、：m(t)为调制信号，它的均值为0；是常数，表示的是叠加的直流分量。AM信号在1电阻上的平均功率应该等于（t）的均方值即为其平方的时间平均，即=利用均方值可以很简单的计算出信号的总功率，通过改变高频载波的电流来改变低频谱分量，从而使原始的低频信号变换成为适合在信道中传输的已调信号，同时，也可以实现提高信号传输系统的抗干扰能力。由上文我们可以得出，信息具有不确定性，载有信息的信号是不可预测的，并且带有某种随机性，在信息的传输过程中，并非所有的信息都是有用的，而无用的那一部分，则被我们称为噪声。噪声更具有不确定性，并且也是不可预测的。在移动通信时，电磁波的传播路径在不断变化，同时，接收信号也是随机

12、变化的。这时，通信中的信号源、噪声，以及信号传输特性都需要使用随机过程来描述。 通过这些就可以对随机过程进行描述。通过对随机信号的描述我们可以正确的对信号做出判断和处理。但是，在对随机信号进行处理的过程中，我们难以避免的会遇到噪声和干扰，噪声和干扰会使我们在接收信号时，无法确定我们所收到的信号是否正确，更加的在增加了接收信号的不确定性，从而使信号的传输和接收产生误差。为了解决这个问题，在有限的条件下判断出信号的正确性，就需要通过统计推断中的假设检验理论来解决这个问题。 在统计学中，经过人们的长期实践，使得假设检验的一般过程比较明确。由于要检验的假设涉及总体均值，所以我们首先可以想到的是是否可以

13、借助样本的均值这一统计量来进行判断。我们知道是的无偏估计，的观察值的大小在一定程度上，反映了的大小，所以，如果假设为真，则一次实验的观察值，满足不等式几乎是不会发生的。现在，在一次实验中出现了满足的，则我们可以怀疑原来假设的的正确性而拒绝，若出现的观测值满足，此时没有理由拒绝假设，因此，只能接受.在信号的统计检测与估计中，对于假设检验的定义是认为一个被观测的物理系统可能出于个状态之一。我们就称“系统处于状态(=1,2,.,M)为假设”。由于 对系统一般只能进行有限的检测，假定观测数据矢量为，并令，为为真时的观测数据为的条件概率密度；为系统出于时的先检概率，显然有 及 =1 及又称为转移概率，它

14、一般只决定于干扰与噪声。因为我们只能根据数据观测量来判断系统处于何种状态，但因为是随机矢量，N有限，所以要检测结果完全正确也是不可能的。要判别在实际过程中，随机信号和有用信号存在的检测问题归结为:判别为在等M个假设中的哪一个假设为真的问题。经过进行统计判决的经验积累，在假设检验对信号进行统计判决时，一般遵循以下步骤：首先要对信号做出原假设；其次，选择出判决所要遵循的最佳准则；然后，进行试验，来获得进行信号统计所需要的资料；最后，根据数据和给定的最佳观测来进行统计判决。这样，我们就可以根据判决结果来判断出信号的有无，从而使信号的接收和传输简便，避免了在接收信号时遇到的噪声和干扰，不易出现误差。三

15、、正态分布在自动控制中的应用饮料厂生产一种容量为300mI的罐饮料，自动包装线上大量数据表明，每容量是服从标准差为30ml的正态分布。了使每罐饮料少于300mI的产品不多10，应把自动包装线控制的均值调到什么位置上?一台新的包装机价格是万元，但罐装的饮料的容量服从标准为7 5ml的正态分布，同样为了使每罐料少于300ml的产品不多于10，应自动包装线控制的均值调节到什么位上?设X表示原自动包装线上一罐饮料的量，则XN(，302)，若把自动包装的均值控制在300ml的位置上，则少300ml的饮料要占全部饮料的50，这不合要求的。为此应把均值控制在比300ml大的位置上，其中必须满足概率程PX&l

16、t;300=0.1。，从而=3384。即把自包装机的均值调节到338 4的位置上才能保证少于300ml的饮料不多于10，即平均每罐要多装384ml。如果投资10万元新买一台包装机，新包装线上每罐饮料的容量为Y，则Y(，7.51)，为了使少于300ml的饮料所占的比例不多于10，其中必须满足方程PY<300=0.1从而=3096。采用新包装机平均每罐可节约饮料3384309.6=288ml。若以每日生产20000罐饮料计算，则每日可节约20000 X 288=576000ml饮料，如果每100ml饮料的成本为1元，则工厂每日可增加利润5760元。18天就能赚回成本，第19天就可获净利润，因

17、此该饮料厂应该购买新的包装机。由于自动线包装的饮料的容量服从正分布，正态分布的方差反映了包装机的度，它不仅影晌到产品的质量，而且影到工厂的效益。所以在一些产品的质量制作者：微软用户过程中。更重要的是控制方差。正态布在自动控制、优化设计、包装或加工件的精度以及质量管理和控制等方面有广泛的应用。正态分布的均值就是自动制的设定值，方差就是自动控制的精度差越小，精度越高，系统的性能越好。四、概率论在通信领域的应用通信领域的信号处理在随机过程方面有极大的依赖性；由于频带带宽限制，如何通过概率论中的方法合理分配频段也是今后将要考虑的重点。不难发现，概率论这门课程在通信领域有的极大的影响力与很强的重要性，因

18、此也有人这样总结：概率论功底达不到本科的通信就没法学，随机过程的功底达不到那通信方面的科研工作也没法做。概率论在通信中主要应用在信号学，即研究系统在干扰输入信号系统的时候系统稳定性抵抗以及利用干扰进行信号传播。实际系统的干扰信号很多时候都可以研究出来其分布，系统在这些干扰的作用下如何保证稳定性，控制超调量，通过编码的改进控制错误的扩散性等问题是很关键性的问题。另外有些通信方式要借助一些特定的人为干扰，例如高斯白噪声（热噪声）。随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。目前，高斯随机过程被广泛的应用于构建通信仿真系统中信号、噪声和干扰的模型，在很多物理问题中的随机现象都可

19、以用高斯随机过程进行满意的近似，如利用中心极限定理，散弹噪声过程就是用高斯过程近似的。高斯过程最重要的用途就是模拟和分析通信系统中热噪声的影响，当热噪声强度足够大时，就可以掩盖弱信号，并使系统对这些弱信号的识别变得极其困难。正态随机过程，也称高斯随机过程，是通信领域中最重要也是最常见的一种过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯型的，例如，通信系统中的主要噪声，即热噪声，就是一种高斯随机过程。如果过程的任意n维（n=1,2,3）分布均服从正态分布，刚称它为正态过程或高斯过程。其n维正态概率刻度函数表示如下 式中：，；为归一化协方差矩阵的行列式，即 为行列式中元素bjk的代数余因子；bjk归一化

20、的协方差函数，即 通常情况下，通信信道中的噪声均值a=0。因此，在噪声均值为零时， 噪声的平均功率等于噪声的方差。即有Pn=R(0)=Dn(t)=2。这个结论是非常有用的，在通信系统的性能分析中，常常会通过求自相关函数或方差的方法来计算噪声的功率。重要性质：（1）由式可以看出，高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了。（2）广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，帮它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义

21、平稳的，则也严平稳。（3）如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有，有，这时式1简化为 这表明，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。（4） 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。也可以说，若线性系统的输入为高斯过程，则系统输出也是高斯过程。以上几个性质在对高斯过程进行数学处理与计算时下分有用。比如，在分析一个过程通过线性系统的情况时，若是非高斯过程，输入过程的统计特性并不能简单地推出输出过程的统计特性。而对于高斯过程，根据输入过程的统计特性并不能简单地推出输出过程的统计特性。而对于高斯过程，根据性质（4）可知线性时不变系统的输出过程也是高斯过程，又由

22、性质（1）可知，高斯过程的完全统计描述只需要它的数字特征，即均值与相关函数，所以剩下的工作就是简单地求出输出过程的均值和相关函数。如果高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量，其一维概率密度函数为 其中，和都分别为高斯随机变量的均值和方差。在通信系统的性能分析中，常需要计算高斯随机变量小于或等于某一取值的概率，它等于概率密度的积分。我们把正态分布的概率密度的积分定义为正态分布函数，它可表示为： 这个积分无法用闭合形式计算，我们一般把这个积分式与可以在数学手册上查出函数值的一些特殊函数联系起来计算其值。例如，对上式进行变量代换，令新积分变量，则有 式中表示误差函数，其定义为，它是自变量递增的函数，且有，。也可以用互补误差函数表示，