济南大学高等数学中值定理及导数的应用疑难解答

1、第四章中值定理及导数的应用习题选解习题4-1 中值定理1验证下列各题，确定的值:（1）对函数在区间上验证罗尔定理；（3）对函数及在区间上验证柯西中值定理.解 （1）显然在上满足罗尔定理的条件,由罗尔定理知至少有一点使得.解得,取n=0,显然,故确有使. （3）因为及在上连续，内可导,且在内不为0.由柯西中值定理知,至少使,即1=. 故满足柯西中值定理.2.证明下列不等式:(3);(4)当时，.证（3）当时，显然成立.当时，令时同理可得,由在上连续,内可导,得,即，所以.(4)令，由于函数在上连续,内可导,所以即因为,故,所以,即.5.不用求出函数的导数,试判别方程的根的个数. 解 由于在上连续

2、,内可导,且,所以由罗尔定理可知:，使.同理,使,使.显然都是方程的根.注意到方程为三次方程，它只能有三个根（包括实根、复根）,故也就是方程的三个实根.又在上满足罗尔定理的条件,故存在,使,存在,使.而是一个二次多项式，至少有两个实根.因此,方程有且仅有两个实根.6.若函数在内满足关系式且，证明：.证 作函数,故（常数）.又,得所以即.习题4-2 洛必达法则1. 用洛必达法则求下列各极限:（8）； （9）;（10）; （11）;（12）; （13）;（14）.解（8） (9)=(10)(11)=(12)(13)设，则，所以（16）设，则，所以2. 验证极限存在,但不能用洛必达法则求出.解 ,

3、但.用洛必达法则计算所得到的式子极限不存在（不包括）,故洛必达法则失效.习题4-3 导数的应用1. 确定下列函数的单调区间:（2）; (8)解(2）,对任意内至少有有限个零点,故在内单调增加,又由M的任意性知,在（-，+）内单调增加.(8)当，即时,因为所给函数是定义域为，以周期向延拓且导函数也是周期为的函数,所以可从函数内的单调性推知函数在全定义区间的单调性. 在内为驻点,由cos2x为减函数,得0+-所以当时，函数单调性增加；当时,函数单调减少；当,即时,.与前面类似的讨论可知当时,函数单调增加;当时,函数单调减少.综合两种情形可得函数在上单调增加，在上单调减少.2. 证明下列不等式:（3

4、）当时,（4）当时，（5）时，证（3）设得所以在上是增函数,当时,，因为,所以在上是增函数,因而当时,即（4）设当时，所以上单调增加,得所以在上单调增加,从而所以在上单调增加,得得证.(5)原不等式即为设 因为所以，从而，这时即（注：此题推广至一般为：若）3. 讨论下列方程的根的情况:（2）解 设驻点为03+-显然为的最大值点.因为故在上有且仅有一实根,在上有且仅有一实根,即有两个实根.4. 求下列函数的极值:（7）（8）（10）解 （7）令得驻点:当时,为极小值点,极小值为当时,为极大值点,极大值为（8）由对数求导法得解得驻点为当时，当时，所以为极大值点,极大值为（10）是导数不存在的点,当

5、时,当时,所以是极大值点,极大值为5.求下列曲线的凹凸区间和拐点:（4） （6）解 （4）令,得当时,当时,所以点为拐点,曲线在上是凸的,在上是凹的.（6）令得-11-+-凸凹凸所以曲线在和上是凸的,在是凹的,拐点为.6.利用函数图形的凹凸性证明下列不等式:（3）证 （3）设所以曲线在上是凹的.故对任意的有 即即7.解下列各题:（2）试确定曲线中的a,b,c,d,使得处曲线的切线为水平,点为拐点,且点在曲线上；（3）试确定中k的值,使曲线在拐点处的法线通过原点.解(2)依题意，有 即解之得（3）令得因为在两侧变号,所以为曲线的拐点.,过点的法线方程为 若要法线过原点,则点应满足法线方程,即 时

6、，同理可得，所以,该曲线的拐点处的法线方程通过原点.8.描绘下列函数的图形:（2） （4）解 （2）定义域（-，+），奇函数,关于原点对称,无周期性（以下讨论仅在上进行）,无铅直渐近线,有水平渐近线（因为）,列表01+-+拐点极大拐点（4）定义域无奇偶性,无周期性,铅直渐近线无斜（水平）渐近线（因为）， 列表-10-不存在-+-+拐点极小习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用2.讨论下列函数的最大值、最小值；（2） （3） （4）解 （2）令得所以为极大值点.又,时,在上单调增加;时,在上单调减少,所以函数无最小值，最大值为（3）令得当时,在上单调减少；当时,在上单调增加.又所以函

7、数无最大值,最小值为（4） 令得（舍去）.当时,在上单调增加;当时,在上单调减少.又所以最大值为最小值为3.求下列经济应用问题中的最大值或最小值:（2）设价格函数，求最大收益的产量、价格和收益；（3）某工厂生产某种商品，其年销售量为100万件，分为N批生产，每批生产需要增加生产准备费1000元，而每件商品的一年库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批售完后立即生产出下批（此时商品的库存量的平均值为商品批量的一半）.问N为何值时，才能使生产准备费与库存费两项之和最小？（4）设某企业在生产一种商品件时的总收益为总成本函数为，问政府对每件商品征收货物税为多少，在企业获得最大利润的情况下，最税

8、额最大？（5）设生产某种商品的总成本为问产量为多少时，每件产品的平均成本最低？解 （2）令得当当时,所以为极大值点.依题意，此唯一的极大值点即为最大值点，即时有最大收益，此时最大收益为.(3)设每年的生产准备费与库存费之和为C，批量为，则由得驻点由知驻点为极小值点,因此，万件时,C值最小,此时（4）设每件商品征收的货物税为,令得此时取最大值,税收为令得所以时,T取最大值,故征收货物税应为25.(5)令得所以时取得最小值，即产量为100时，平均成本最低.习题4-5 泰勒公式2.应用麦克劳林公式，按的乘幂展开函数:解 因为是的6次多项式，所以又 故 4求函数的阶麦克劳林公式.解 所以5.应用3阶泰

9、勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差：（1） （2）解 （1）设则 因为30=27+3，所以误差（2）因为很靠近0，所以可用麦克劳林公式作近似计算.令 则故误差总复习题四1.求下列极限（2） （3）解（2）设则所以 （3）设 所以2.证明下列不等式：（1）当时，证（1）设 有 令当时, 所以单调减少,故单调减少,所以当时,即,也就是3.讨论方程的根：（1）在内解 （1）令则令得舍去），当时，当，所以为极小值点,极小值点为负值所以在内无根，在内有且仅有一个根4.用中值定理证明下列各题:（1）设在上连续,在内可导,且,证明存在一点使得（2）设函数在上连续,在内可导,证明存在一点使得（3）设都是可导函数，且，证明当时，证 （1）设显然在上满足罗尔定理,所以使得即即（2）显然和在上满足柯西中值定理,所以使得即（3）由题设所以单调增加,当时,又均为可导函数,所以在上,和满足柯西中值定理,所以,使即 即 又 所以 5.求下列函数的极值与最值:（1） 求的极值（2）求数列的最大项.解 （1）所以在处不连续,所以不存在.令即得因为当时,当时,所以函数极小值为又因为时，时,所以不可导点为极大值点，极大值为（2）令有对数求导法可得令得驻点当时,时,所以为唯一的极大值点,由于驻点唯一,极大值点也是最大值点,且最大值为由于及在内单