浙江省宁波市三校高二上学期期末联考数学文试题

1、2012学年第一学期高二期末三校联考数学试卷选择题部分(共50分)一. 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.命题“如果x>0,那么x+2”的逆否命题是( )A. 如果x0,那么x+<2， B. 如果x+2, 那么x>0，C. 如果x+<2,那么x0， D. 如果x>0,那么x+<2.2. 抛物线E：y=2x2的准线方程是( )A. x=, B. y=, C. x=, D. y=,第4题3.对于连续可导的函数y=f(x)，下列说法正确的个数是( ) A.0, B.1, C.2, D.3在区间a,

2、b上, 函数y=f (x)的极大值一定不小于极小值.y=f (x)在区间a, b上的最大值一定是y=f (x)在区间a, b上的极大值.如果=0，那么x=x0是函数y=f(x)极值点.4. 如图是函数y=f (x)的部分图像,下列数值排序正确的是( )A. f (3)<+f (2), B. f (3)>+f (2),C. f (2)>+f (1), D. f (2)>+f (1), 5.已知a、bR,直线l1：ax+2y+3=0和直线l2：x+by+2=0, 则“ab=2”是“l1 / l2”的( )A.充分不必要条件. B. 必要不充分条件C.充要条件 D. 既不充分

3、也不必要条件.6.若双曲线右支上一点P到直线x=的距离为，则该点P到点F(5, 0)的距离为 ( )A. B. C. D. 7. 已知函数(aR)在2, +)上单调递增，则a的取值范围是( ) A. (0, 4), B. (-, 4, C. (0, 2), D. (-, 28.已知双曲线C的中心在原点，F是C的一个焦点，以F为圆心且与C的线渐近线相切的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则C的方程为 ( )A., B. , C. D. 9.下列不等式中一定成立的个数是( )A. 0, B. 1, C. 2, D.3sinx<x(x>0). ln x> x-1(x>1),

4、 ex1+x (xR). 10. 设F1, F2是椭圆(a>b>0)的左右焦点，若此椭圆上一点P满足|PF2|=|F1F2|,且原点O到直线PF1的距离不超过b，则离心率e的取值范围是( ) A. B. C. D. 非选择题部分(共100分)二. 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11. 已知命题p：任意三角形的三个内角中至少有一个不大于60o，则命题p的否定是: 12. 已知函数(x>0), 则= 13. 曲线在点M(, 0)处的切线方程为 14.已知双曲线C的对称轴是坐标轴，M(1, -2)是C上的一点，且直线x-2y-5=0和C的渐近线之一平行，则双曲线C的

5、方程为 .15.已知P是椭圆上一点，且(F1、F2分别是左、右焦点)，则F1PF2的面积为 16. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F, 点K是C的准线l和x轴的交点, P在C上运动，则满足条件的动点M的轨迹方程是 17.设函数f (x)=x+ln x，且当x>0时, 有(xk)>x+4恒成立，则满足题设条件的k的最大整数为 三.解答题(本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(本题满分14分). 已知mR, 设命题p：x0R ， x02-x0+m=0. 命题q：x1, 2， mx1设集合P=m|命题p为真命题,集合Q=m|命题q为真命题.(1)求集合

6、P、Q；(2)如果“pq”为真而且“pq”为假，求实数m的取值范围.19(本题满分14分). 已知函数f (x)=x3+ax+b，当x= -2时，f (x)有极大值18.(1)求a, b的值； (2)求函数y=f (x)在-1, 3上的最大值和最小值.20(本题满分14分).已知过点M (2, 1)的直线l和椭圆x2+4y2=36相交于点A、B，且线段AB恰好以M为中点，求直线l的方程和线段AB的长.21(本题满分15分). 已知函数f (x)=ax3+3x2-4x ( 其中实数a <0 )(1)若y=f (x)在(-, 1上为减函数，在1, 2上为增函数，求a的值.(2)设g (x)=

7、f (x)-ax2, 当a= -3时，判断函数y=g (x)在R上的单调性，并说明理由. (3)若对任意x1, x2-1, 且x1<x2，都有不等式f (x2) f (x1)< a () 成立，求实数a的取值范围.22(15分). 已知抛物线E: x2=2py (p>0)上一点T(t, 4) ( t>0)到其焦点F的距离为5，经过点Q(1, 1)作斜率为k (kR)的直线交抛物线E于A、B两点，抛物线E分别在点A、B处的切线相交于点P.(1)求p, t的值和抛物线E的准线l方程(2)当k=0时，问点P是否在E的准线l上？为什么？(3)当k (kR)变化时，求点P的轨迹方

8、程.2012学年第一学期高二期末三校联考数学参考答案一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号12345678910答案CDADBBBACD二. 填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11. 存在某个三角形，其三个内角都大于60o , 12. 1 , 13. x+ y-=0 , 14. 15. 1 16. y2=4 (x+2) , 17. -2 三.解答题(本大题共5小题，共72分.18(14分). 已知mR, 设命题p：x0R ， x02-x0+m=0. 命题q：x1, 2， mx1设集合P=m|命题p为真命题,集合Q=m|命题q为真命题.(1)求集合P、Q；(2)如果

9、“pq”为真而且“pq”为假，求实数m的取值范围.解：(1)p真等价于0, 即m取值范围是P=(-, q真等价于m()min=,即 m取值范围是Q=(-, .6分 (2) 由条件知道，p、q中一真一假。9分P真q假，m取值范围是A=(-, (, +)=P假q真，m取值范围是B= (, +)(-, =(, 所以，满足题设条件的m取值范围是 AB=(, 14分19(14分). 已知函数f(x)=x3+ax+b，当x= -2时，f(x)有极大值18.(1)求a, b的值； (2)求函数y=f(x)在-1, 3上的最大值和最小值.解：(1)f(x)=3x2+a. 由f(-2)=0和f(-2)=18.解

10、得 a=-12, b=2 所以 f(x)= x3-12x+2 4分(2) 由(1)计算f(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2), f(2)=-14, f(-1)=13, f(3)= -7，.8分 列表: x-1(-1, 2)2(2, 3)3f(x)-0+f(x)13减-14增-7.12分由表可见，函数y=f(x)在-1, 3上的最大值和最小值分别是13和-1414分20(14分).已知过点M(2, 1)的直线l和椭圆x2+4y2=36相交于点A、B，且线段AB恰好以M为中点，求直线l的方程和线段AB的长.解：方法1: 显然，直线l不垂直于x轴，设l的斜率为k. 则l的方程为y=k(x-2

11、)+ 1 将它和椭圆方程联立，消去y得到(1+4k2)x2+(8k-16k2)x+16k2-16k-32=0.4分设点A(x1, y1), B(x2, y2), 则x1+x2=.因为M(2, 1)是AB的中点，所以x1+x2=4, 故=4 . 8分解得 k=, 所以，直线l的方程为x+2y-4=0. 10分由方程组消去y. 解得 ,所以直线和椭圆的交点坐标为A( 2-, 1+)、B(2+ , 1-)，故|AB|=.14分方法2. 将点A(x1, y1), B(x2, y2)代入椭圆方程得到x12+4y12=36x22+4y22=36两式相减，得 (x1+x2)+4 ( y1+y2) =0.因M

12、(2, 1)是AB的中点，即x1+x2=4, y1+y2=2， 且 k=代入式，解得k= 所以，直线l的方程为x+2y-4=0. 由知，x1+x2=4， x1x2=-10, |AB|=21(15分). 已知函数f(x)=ax3+3x2-4x ( 其中实数a<0 )(1)若y=f(x)在(-, 1上为减函数，在1, 2上为增函数，求a的值.(2)设g(x)=f(x)-ax2, 当a=-3时，判断函数y=g(x)在R上的单调性，并说明理由. (3)若对任意x1, x2-1, 且x1<x2，都有不等式f(x2)-f(x1)<a()成立，求实数a的取值范围.解：(1) 显然，f(x)

13、=3ax2+6x-4, 因f(1)=0, 即3a+6-4=0, 解得4分(2) 由题设可知，当a=-3时，g(x)=-3x3+6x2-4x, 则g(x)=-(3x-2)20对任意xR恒成立，所以函数y=g(x)在R上的单调递减.8分(3) 利用(2)中记号: g(x)=f(x)-ax2 =ax3+(3-a)x2-4x, 显然，题设条件：对任意x1, x2-1, 且x1<x2，有f(x2)-f(x1)<a(x22-x21)恒成立对任意x1, x2-1, 且x1<x2，有恒成立在-1, 上y=g(x)单调递减 g(x)=3ax2+2(3-a)x-40在-1, 上恒成立. .10分

14、因a<0，且的图像是开口向下的抛物线.而-()=故，分类讨论如下：当a<-3时，有>. 此时由y=g(x)图像可知，当时，有g(x) 0在-1, 上恒成立解得 -4a<-3.当a=-3时，由(2)可知，有g(x) 0在-1, 上恒成立.当-3<a<0时，有<<.显然有g(x)0在-1, 上恒成立. 13分综上所述，所求的实数a的取值范围是-4, 0)15分22(15分). 已知抛物线E: x2=2py (p>0)上一点T(t, 4) ( t>0)到其焦点F的距离为5，经过点Q(1, 1)作斜率为k(kR)的直线交抛物线E于A、B两点，

15、抛物线E分别在点A、B处的切线相交于点P.(1)求p, t的值和抛物线E的准线l方程(2)当k=0时，问点P是否在E的准线l上？为什么？(3)当k (kR)变化时，求点P的轨迹方程.解. (1)由题设条件可知，点T到抛物线E的准线l：y=的距离为5，即4+=5，得到 p=2, 从而 E: x2=4y, t=4 ( t>0) E的准线l方程为 y=-1.4分(2) k=0时，直线AB: y=1, 此时解得A(2, 1)， B(-2, 1). 因E在点A处切线斜率为故抛物线E在点A处切线PA方程为: x-y-1=0.同理， 切线PB方程为: x+y+1=06分解得点P坐标为 (0, -1 ), 因点P坐标满足准线l的方程y=-1, 故点P在E的准线l上8分.(2)因直线AB的斜率为k, 故AB: y-1=k(x-1)， 将它与抛物线方程联立，消去y整理，得x2-4kx+4k-4=0设A(x1, ) , B