单元归纳提升

1、单元归纳提升体系构建空间向量定义、加法、减法、数乘运算数量积坐标表示：夹角和距离公式求空间角证明平行与垂直专题整合一、用空间向量解决线面关系ABCDO1A1B1C1空间向量作为理科加试内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性，所以本单元的学习难点在于掌握应用空间向量的常用技巧与方法，特别是体会其中的转化的思想方法如把立体几何中的线面关系问题及求角问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角用向量怎样来表达是问题的关键例1.由正三棱柱与正四面体组成如图1的几何体,是正的中心.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成二面角

2、(锐角)的余弦值.解析：第(1)问可用“回路向量法”给予证明,第(2)问可用“空间向量法”加以解决.“回路向量法”与“空间向量法”是处理立几问题的两种常用向量,在难以建立空间直角坐标系时,可考虑前者,否则适宜运用后者.这两种向量表示方式,就象一个人的两条腿,只有两条腿都运用自如,人才能走得稳、走得远.证明：(1)依题意有,= =,同理,又,平面.答案：(2)由(1)知经过的中心O,连接AO,则,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,.,设平面的法向量为,由,得,令,得,同理,求得平面的法向量为,而平面与平面所成二面角为锐角,故它的余弦值为.二、用空间向量解决空间的角的计算用空间向量解决

3、立体几何问题的“三步曲”（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体图形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹我有等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归几何问题）例2.(2009湖北卷理改编)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且（1）求证：对任意的，都有（2）设二面角CAED的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值解析：求平面ACE的法向量，它与平面ADE的一个法向量的夹角为

4、，直线BE上向量与平面ABCD法向量夹角的余角为，利用的关系建立方程，得到的值，并要注意的取值范围.（1）证明：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，0，0），B（，0），C（0，0），E（0，0）， 即.（2）答案：由（1）得.设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得.易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为. ，0<，. 由于，解得，即为所求.三、空间向量与立体几何、函数、解析几何等知识的联系在打好基础下,将所学的知识与方法作纵横的联系,是学好数学的必经之路,就本单元知识而言,涉及最值问题时要将立几、函数、解几、空间向量等几大分支联在一起考虑,问题才能得以顺利解决，体现了转化思想.例3.ABCDA1B1C1D1P如图,已知正方体的棱长为1,点P在棱上运动(不含两点). (1)求的周长的最小值;(2)求的面积的最小值.解析：建立空间直角坐标系,运用空间向量求得C和S的表达式,再求它们的最小值即可.答案：(1)以为原点,为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,设,则,得的周长为.下面求的最小值:,在平面直角坐标系中,它表示轴上的动点到两定点与的距离之和,又点E关于轴的对称点为,当三点共线时,即时,有最小