华东师大版九年级数学上解直角三角形全章知识点精讲与练习

1、解直角三角形全章知识点精讲与练习【问题探索】ABB1B2CC1C2一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出无数个以A为一个锐角直角三形（如图），那么图中：成立吗？（1）当A变化时，上面等式仍然成立吗？（2）上面等式的值随A的变化而变化吗？【新课引入】由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。1、在直角三角形中，我们将A的对边与它的邻边的比称为A的正切，记作 tanA即：同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值_；它的邻边与

2、斜边的比值_。2、如图，在RtABC中，C90°，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的_，记作_，即：sinA_=_.3、如图，在RtABC中，C90°,我们把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的_，记作=_，即：cosA=_=_。（你能写出B的正弦、余弦的表达式吗？）试试看_.思考：你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表：三角函数值三角函数30°45°60°sincostan（根据一付三角板的三边关系进行计算）【总结归纳】1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函

3、数题的关键；2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。【精选例题】（一）锐角三角函数的概念例1、（1）在RtABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（ ） A不变 B扩大5倍 C缩小5倍 D不能确定（2）RtABC中，C=90°，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（ ） A8cm B C. D.（3）菱形ABCD的对角线AC=10cm，BC=6cm，那么tan为（ ）A B C D.解析：（1）角A的三角函数值都是两条边的比值，根据分式的基本性质分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变，而

4、RtABC各边都扩大5倍倍数一样，因此两边比值也不变。故选A；（2）画直角三角形草图，根据cosA=可知，可求AB=10，再用勾股定理求得BC=8。故选A；（3）画菱形ABCD，根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”，可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，根据正切函数的定义即可求出tan=。故选A。前思后想：解答锐角三角函数题时，要把握几点：解题必画图，概念记心中，定要找直角，没有就构造。牛刀小试：1.在RtABC中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A的各个三角函数值 ( )ABCDA都缩小 B都不变 C都扩大3倍 D无法确定2如图，在正方形网格中,直线ABCD相交

5、所成的锐角为，则sin的值是（ ）A. B. C. D. 3直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则的值是（ ）A B C D 68CEABD4. 在RtABC中，ACB=90°，sinB=则cosB= .5在ABC中，AB=AC=5，BC=8，则tanB= 答案：1B； 2. C； 3. C； 4. ； 5. （二）特殊角的三角函数值例2 计算下面各式：解析：前思后想：关于三角函数的计算题，要先代入（代入特殊角的三角函数值），再求值。记住三角函数值最关键。例3. 已知A是锐角，且sinA=，那么A等于（ ）A30° B45

6、° C60° D75°解析：根据对特殊角的三角函数值的记忆sin60°=，进行反推，可知A=60°，故选C。前思后想：对于特殊角的三角函数值，要相当熟练，做到“倒背如流”既能顺推，又能倒推。牛刀小试：1计算：（1） （2）2.已知为锐角，当无意义时，求tan(+15°)tan(-15°)的值。3.若，则= ,4在ABC中，若，则C的度数为 5. 在ABC中，若sinA+（cosB）2=0，则C=_度答案：1（1）=4+1=； （2）=+4=3+2无意义，tan1， tan(+15°)tan(-15°)=t

7、an60°tan30°=。3，tan2=，。4，A=45°，B=30°，C=105°。5sinA+（cosB）2=0，sinA=，cosB=。 A=30°，B=30°，C=120°。（三）锐角三角函数的大小比较1、当角度在0°90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）2、当角度在0°<<90°间变化时，0<sin<1， 1>cos>

8、;0.当角度在0°<<90°间变化时，tan>0.例4.（1）化简（ ）。A B. C. D. （2）当锐角>30°时，则cos的值是（ ）A大于 B小于 C大于 D小于解析：（1） 就要讨论tan30°1的正负性 tan30°=<1， tan30°1<0， 故选A（2）因为cos30°=，且当0°<<90°时，cos随着的增大而减小，所以锐角>30°时，cos<。故选D前思后想：可以根据特殊角的三角函数值，总结正弦、余弦和正切值随角度

9、的变化而变化情况，也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况，以及正切值与1的大小情况。牛刀小试：1.用不等号“”或“”连接：sin50°_cos50°。2.已知30°<<<90°，则 。3.若太阳光线与地面成角，30°45°，一棵树的影子长为10米，则树高的范围是（ ）（取）A、35 B、510 C、1015 D、154.若0°<<45°，则下列各式中正确的是（ ）A.sin>cos B.cos>sin C.tan>1 D.tan>tan-1答案： 1因为si

10、n45°=cos45°，角度增加，正弦增大，而余弦减小，所以，填“>”号；2因为“余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”且30°<<<90°， 所以coscos<0，coscos30°<0，1cos>0，coscos（cos）+1cos 13h=10tan，且30°45°，故选B。4因为“正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）”，且“sin45°=cos45°”，“0°<<45&

11、#176;”，故选B。（四）互余的两个角的三角函数sin(90°-)=cos， cos(90°-)=sin， 例5. 若sin28°=cos，则=_解析：因为“cos(90°-)=sin”，所以=90°28°=62°.前思后想：sin(90°-)=cos， cos(90°-)=sin这两个公式可记可不记，直接用公式计算比较方便，也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。牛刀小试：1sin60°=cos_=_；cos60°=sin_=_2.已知tan1（0°90

12、76;）则 。3.若=_.4在RtABC中，C=90°，A，B，C的对边分别为a，b，c，根据勾股定理有公式a2+b2=c2，根据三角函数的概念有sinA=，cosA=，sin2A+cos2A=1，=÷=tanA，其中sin2A+cos2A=1，=tanA可作为公式来用例如，ABC中，C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值 解法一：sin2A+cos2A=1； cos2A=1sin2A=1（）2= cosA=，tanA=÷= 解法二：C=90°，sinA= 可设BC=4k，AB=5k 由勾股定理，得AC=3k 根据三角函数概念，得co

13、sA=，tanA= 运用上述方法解答下列问题： （1）RtABC中，C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值； （2）RtABC中，C=90°，cosA=，求sinA，tanA的值； （3）RtABC中，C=90°，tanA=，求sinA，cosA的值； （4）A是锐角，已知cosA=，求sin（90°A）的值答案：1cos30°，；sin30°，；2tan1（0°90°），=。3，4（1）C=90°，sinA= 可设BC=3k，AB=5k由勾股定理，得AC=4k 根据三角函数概念，得cosA=，

14、tanA= （2）C=90°，cosA=可设AC=k，AB=5k 由勾股定理，得BC=k根据三角函数概念，得sinA=，tanA= （3）C=90°，tanA= 可设BC=k，AC=2k 由勾股定理，得AB=k根据三角函数概念，得sinA=，cosA= （4）sin（90°A）=cosA=.（五）三角函数在平面直角坐标系中的应用例6. 如图，角的顶点在直角坐标系的原点，一边在x轴上，另一边经过点P（2，2），求角的三个三角函数值解析：P（2，2），OP=4，sin=，cos=，tan=。前思后想：在平面直角坐标系中，求直线与x轴夹角的三角函数值，过直线上的点作x轴

15、的垂线段，与x轴和直线一起构成直角三角形，根据该点的横坐标和纵坐标可以求出该三角形的三边长度，从而求出三角函数值。牛刀小试：1.点关于y轴对称的点的坐标是 2.已知锐角的终边经过点P（x，2），点P到坐标原点的距离r,则sin= ，cos .3.（此题为补充题，用到一元二次方程的根与系数关系） 如图，点A（tan，0），B（tan，0）在x轴的正半轴上，点A在点B的左边，、是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的RtABC的两个锐角；（1）若二次函数y=x2kx+(2+2kk2)的图象经过A、B两点，求它的解析式。（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由。答案：1M（，），它关于y轴对称的点的坐标为（，）；2根据画图，由勾股定理可求x=3，所以sin=，cos；3（1）在直角三角形ABC中，由于+=90°，因此tanan=1，而A、B是抛物