全等三角形经典题型50题含答案

1、全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADADBC延长AD到E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD是整数,则AD=5 2. 已知：D是AB中点，ACB=90°，求证：DABC3. 已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点，求证：1=2ABCDEF21证明：连接BF和EF。 因为 BC=ED,CF=DF,BCF=EDF。 所以 三角形BCF全等于三角形EDF(

2、边角边)。 所以 BF=EF,CBF=DEF。 连接BE。 在三角形BEF中,BF=EF。 所以 EBF=BEF。 又因为 ABC=AED。 所以 ABE=AEB。 所以 AB=AE。 在三角形ABF和三角形AEF中， AB=AE,BF=EF, ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF。 所以 三角形ABF和三角形AEF全等。 所以 BAF=EAF (1=2)。 BACDF21E4. 已知：1=2，CD=DE，EF/AB，求证：EF=AC证明： 过E点，作EG/AC，交AD延长线于G 则DEG=DCA，DGE=2 又CD=DE ADCGDE（AAS） EG=AC EF/AB DFE=1

3、1=2 DFE=DGE EF=EG EF=AC5. 已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2CACDB证明： 在AC上截取AE=AB，连接ED AD平分BAC EAD=BAD 又AE=AB，AD=AD AEDABD（SAS） AED=B，DE=DB AC=AB+BD AC=AE+CE CE=DE C=EDC AED=C+EDC=2C B=2C6. 已知：AC平分BAD，CEAB，B+D=180°，求证：AE=AD+BE证明： 在AE上取F，使EFEB，连接CF 因为CEAB 所以CEBCEF90° 因为EBEF，CECE， 所以CEBCEF 所以BCFE 因为B

4、D180°，CFECFA180° 所以DCFA 因为AC平分BAD 所以DACFAC 又因为ACAC 所以ADCAFC（SAS） 所以ADAF 所以AEAFFEADBE12. 如图，四边形ABCD中，ABDC，BE、CE分别平分ABC、BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF. ABE=FBE,BE=BE,则ABEFBE(SAS),EFB=A; AB平行于CD,则:A+D=180° 又EFB+EFC=180°,则EFC=D; 又FCE=DCE,CE=CE,故FCEDCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=B

5、F+FC=AB+CD.DCBAFE13.已知：AB/ED，EAB=BDE，AF=CD，EF=BC，求证：F=CAB/ED,AE/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF 全等于三角形DCB，所以:C=F14. 已知：AB=CD，A=D，求证：B=CABCD证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，（当AD<BC时，E点是射线BA,CD的交点，当AD>BC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： AED是等腰三角形。 所以：AE=DE 而AB=CD 所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量） 所以：BEC是等腰三角形 所以：角B=角C.15. P是BAC平分线A

6、D上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB作B关于AD的对称点B，因为AD是角BAC的平分线，B'在线段AC上（在AC中间，因为AB较短） 因为PC<PB+BC,PC-PB<BC,而B'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABPDACB16. 已知ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BEBAC=180-（ABC+C=180-4C1=BAC/2=90-2CABE=90-1=2C延长BE交AC于F因为，1 =2，BEAE所以，ABF是等腰三角形 AB=AF,BF=2BE FBC=ABC-ABE=3C-2C

7、=C BF=CF AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17. 已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求FAEDCBDC作AGBD交DE延长线于GAGE全等BDE AG=BD=5 AGFCDFAF=AG=5所以DC=CF=218（5分）如图，在ABC中，BD=DC，1=2，求证：ADBC延长AD至H交BC于H; BD=DC;所以: DBC=角DCB; 1=2;DBC+1=角DCB+2; ABC=ACB;所以: AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;BAD=CAD; AD是等腰三角形的顶角平分线 所以: AD垂直BC19（5分）如图，OM平分POQ，MAOP,MBOQ，A

8、、B为垂足，AB交OM于点N求证：OAB=OBA因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且MOA=MOB所以MA=MB 所以MAB=MBA因为OAM=OBM=90度所以OAB=90-MAB OBA=90-MBA 所以OAB=OBA20（5分）如图，已知ADBC，PAB的平分线与CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D求证：AD+BC=AB证明： 做BE的延长线，与AP相交于F点， PA/BC PAB+CBA=180°，又，AE，BE均为PAB和CBA的角平分线 EAB+EBA=90°AEB=90°，EAB为直角三角形 在三角形ABF中，AEBF，且AE为F

9、AB的角平分线三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中， EBC=DFE,且BE=EF，DEF=CEB， 三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC21（6分）如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B证明：在AB上找点E，使AE=AC AE=AC，EAD=CAD，AD=AD ADEADC。DE=CD，AED=C AB=AC+CD，DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE B=EDB C=B+EDB=2B22（6分）如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于

10、F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 分析：通过证明两个直角三角形全等，即RtDECRtBFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形再根据平行四边形的性质得出结论解答：解：（1）连接BE，DF DEAC于E，BFAC于F， DEC=BFA=90°，DEBF， 在RtDEC和RtBFA中， AF=CE，AB=CD， RtDECRtBFA， DE=BF 四边形BEDF是平行四边形 MB=MD，ME=MF；（2）连接BE，DF DEAC

11、于E，BFAC于F， DEC=BFA=90°，DEBF， 在RtDEC和RtBFA中， AF=CE，AB=CD， RtDECRtBFA， DE=BF 四边形BEDF是平行四边形 MB=MD，ME=MF23（7分）已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：(1)DCAE，且DC=AE，所以四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC，且EAD=BEC。由AE=BE，所以AEDEBC。（2）AEC、ACD、ECD都面积相等。24（7分）如

12、图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE证明：延长BA、CE，两线相交于点F BECE BEF=BEC=90° 在BEF和BEC中 FBE=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(ASA) EF=EC CF=2CE ABD+ADB=90°,ACF+CDE=90° 又ADB=CDE ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90° ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE25、（10分）如图

13、：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：AEDBFC。26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是ABC的中线。证明： BECF E=CFM，EBM=FCM BE=CFBEMCFMBM=CM AM是ABC的中线. 27、（10分）如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角ADB和角CDB相等，它们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC 28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在ABD与ACD中AB=AC BD=DC A

14、D=ADABDACD ADB=ADC BDF=FDC 在BDF与FDC中 BD=DC BDF=FDC DF=DF FBDFCD BF=FC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。因为AB=DC AE=DF, CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形ABE=三角形CDF 因为 角DCB=角ABF AB=DC BF=CE 三角形ABF=三角形CDE 所以AF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证： A

15、B平行CD（已知） B=C（两直线平行，内错角相等） M在BC的中点（已知） EM=FM（中点定义） 在BME和CMF中 BE=CF（已知） B=C（已证） EM=FM（已证） BME全等与CMF（SAS） EMB=FMC（全等三角形的对应角相等）EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180°（等式的性质）E，M，F在同一直线上31已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDF证明： AF=CE AF+EF=CE+EF AE=CF BE/DF BEA=DFC 又BE=DF ABECDF（SAS）DBCcAFE32.已知：如图所示，AB

16、AD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。 连结BD，得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC，由等腰两底角相等得：角ABC=角ADC 在结合已知条件证得：ADEABF得AE=AF33如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 因为角1=角23=4所以角ADC=角ABC. 又因为AC是公共边，所以AAS=>三角形ADC全等于三角形ABC. 所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC 三角形DEC全等于三角形BEC 所以5=634已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF因为D,C在AF上且AD=CF 所以AC

17、=DF 又因为AB平行DE，BC平行EF 所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等） 然后SSA（角角边）三角形全等ACBDEF35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD证明：因为 AB=AC， 所以 EBC=DCB 因为 BDAC，CEAB 所以 BEC=CDB BC=CB (公共边) 则有 三角形EBC全等于三角形DCB 所以 BECD36、 如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。AEBDCF求证：DE=DFAAS证ADFDCBAE37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E

18、 , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？角C=角E=90度角B=角EAD=90度-角BACBC=AEABCDAEAD=AB=538如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明AB=ACABC是等腰三角形 B=C又ME=MF，BEM和CEM是直角三角形BEM全等于CEM MB=MC39.如图，给出五个等量关系： 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明ABC已知：求证：证明：已知1,2 求证4 因为AD=BC AC=BD，在四边形ADBC中，连AB 所以ADB全等于BCA

19、 所以角D=角C以4,5为条件，1为结论。 即：在四边形ABCD中，D=C，A=B，求证：AD=BC 因为 A+B+C+D=360 D=C，A=B， 所以 2(A+D)=360°， A+D=180°， 所以 AB/DC 40在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1） 证明：ACB=90°， ACD+BCE=90°， 而ADMN于D，BEMN于E， ADC=CEB=90°，BCE+CBE=90°

20、， ACD=CBE 在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB， RtADCRtCEB（AAS）， AD=CE，DC=BE， DE=DC+CE=BE+AD；（2）不成立，证明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90°ACD=CBE AC=CB， ADCCEB（AAS）， AD=CE，DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE；41如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1） 证明;因为AE垂直AB 所以角EAB=角EAC+角CAB=90度 因为AF垂直AC 所以角CAF=角CAB+角BA

21、F=90度 所以角EAC=角BAF 因为AE=AB AF=AC 所以三角形EAC和三角形FAB全等 所以EC=BF 角ECA=角F（2） (2)延长FB与EC的延长线交于点G 因为角ECA=角F(已证） 所以角G=角CAF 因为角CAF=90度 所以EC垂直BF42如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明： （1） BEAC，CFAB ABM+BAC=90°，ACN+BAC=90° ABM=ACN BM=AC，CN=AB ABMNAC AM=AN（2） ABMNAC BAM=N N+BAN=90° BAM+BA

22、N=90° 即MAN=90° AMAN43如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF连接BF、CE，证明ABF全等于DEC（SAS），然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF从而求得BC平行于EF44如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN所以ANE=ACE 又AC平行BD所以ACE+BDE=180 而ANE+ENB=180所以ENB=BDE NBE=EBN BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN 所以AB=AN+BN=AC+BD45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明： AD是中线 BD=CD DF=DE，BDE=CDF BDECDF BED=CFD BECFADECBF46、(10分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：证明：DEAC，BFAC， DEC=AFB=90°， 在RtDEC和RtBFA中，DE=BF，AB=CD，