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文档简介

1、北 京 交 通 大 学2006-2007学年第二学期复变函数和积分变换期末试卷（B）学院_ 专业_ 班级_学号_ 姓名_ 任课教师 题号一二三四五六七八总分得分阅卷人一（本题30分，其每小题各3分）（1） 方程（t为实参数）给出的曲线是 ；（2） 复数的指数形式是 ；（3） 函数，z=0为 级极点，为 级极点；（4） 计算 ；（5） 若，则其收敛半径 ；（6） 计算留数： ；（7） 函数在可微的充要条件为 ；（8） 曲线在映射下的像是 ；（9） C为以a为圆心，r为半径的圆周，计算（n为正整数） ；（10） 判断的敛散性 .二、计算题（25分，每小题各5分）(1)、计算积分其中积分路径C为：连

2、接由原点到1+i的直线段；连接由原点到点1的直线段及连接由点1到点1+i的直线段所组成的折线. (2)、已知：求： (3)、计算（4）、计算，其中。（5）计算.三、求积分（7分）四、求解析函数，已知 ，且. （7分）五、验证在右半z平面内满足Laplace方程，即；其中， 并求以此为虚部的解析函数.（8分）六、（8分）求函数分别在如下区域展成洛朗展式（1） （2）0<<1.七、求实轴在映射下的象曲线（8分）八、求函数的傅立叶变换（7分） 一、(1)直线y=x(2)(3)一;二(4)(5)2(6)(7)函数u(x,y),v(x,y)在(x,y)可微 u(x,y),v(x,y)在(x,

3、y)满足C.-R.条件.即.(8)x=-y(9)(10发散 二、(1) 连接原点到点1+i的直线段的参数方程为： z=(1+i)t 故 = = = 连接由原点到点1的直线段的参数方程为: z=t , 连接由点1到点1+i的直线段参数方程为: z=(1-t)+(1+i)t , 即 z=1+it ,故 = = =(2)由题可知被积函数只有z=0一个奇点。 将被积函数展为罗朗级数 ，后面那个分式在z=0为解析，故可展为z的幂级数： （其中及以下各项不需关心）于是在z=0的去心邻域内有 由此即得 故由留数定理，原积分等于i.(3)因为在积分区域内解析，在边界连续， 故由柯西积分定理 原积分等于0。(4

4、)因为z=-i在积分区域内， 所以 原积分= =(5)在单位圆周内，函数只有一个本性奇点z=0.在该点的去心邻域内有罗朗展式于是 故由留数定理 原积分等于.三、函数在内有两个奇点：z=0,1.由复合闭路定理有= 四、由C.-R.条件中的一个得再由C.-R.条件中的另一个得故 因此 故 要满足 f(i)=0,必C=1，故f(z)=.五、解： (x>0)于是 故在右半z平面内，v(x,y)是调和函数。 =两端对y求导 所以 故 六、由题可知被积函数在z平面内只有两个奇点z=1及z=2.则 (1) 在去心邻域 内 = =(2) 在去心邻域0<<1内 =.七、在实轴上取三点，则对应的三个象点

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