2020届四川省攀枝花市高三上学期第一次统考数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2020 届四川省攀枝花市高三上学期第一次统考数学(理)试一、单选题1 1 已知集合M =x x(x2) bb cc【答案】A AB B.a c b【答案】B B第 6 6 页共 2121 页【点睛】本题考查对数与指数的大小比较,般利用指数函数和对数函数的单调性,结合中间值第7 7页共 2121 页法得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题9 9 .下列说法中正确的是()A.若命题“p q”为假命题，则命题“P q”是真命题*32B B .命题VX N，X王x的否定是X。匕N,Xo1.所以cos；a,b：=1，则:ab；=0或 180180，即a,b共线. .故

2、D D 正确. .故选：D.D.【点睛】本题考查常用逻辑用语，涉及逻辑联结词、全称命题的否定、充要条件、否命题，综合考查了不等式的性质、平面向量的性质. .与其他知识综合命题，是考查常用逻辑用语的般方式. .TX,x 01010 .已知函数f x二1，若m：n,f n f m，则n - m的取值范x 1,x乞02围是()faqA A.1,2】B B.1,2C C.- ,2D D .【答案】B B第 6 6 页共 2121 页【解析】设fn二fm=t，则m、n为直线y = t与函数y = f x图象的两个交点，作出函数y = f x的图象，可得出0：t乞1，然后将m、n用t表示，将n-m转 化为

3、关于t的二次函数在区间0,1 上的值域来求解 【详解】n为直线y=t与函数y = f x图象的两个交点，如下2 2n- m=t - 2t 2 = t -11，；0tE1，n m=(tl2+1E0,2 )，因此，nm的取值范围是Il,2 )故选：B.B.【点睛】本题考查代数式范围的求解，解题的关键就是将所求代数式的取值范围转化为以某变量为自变量的函数值域来处理，考查化归与转化思想以及函数思想的应用，属于中等题 1111.关于函数f(x)=cosx +sinx有下述四个结论:f x是偶函数；f x的最大值为2;f x在IF,二 1 1 有3个零点；f x在区间 0,0,单调递增. .I 4丿其中所

4、有正确结论的编号是()A A .B B.C C .D D .【答案】D D【解析】 利用偶函数的定义可判断出命题的正误；分2kx2k二和22k二：:x辽2k二 一Z两种情况，去绝对值，利用辅助角公式以及正弦函数的最2值可判断命题 的正误；分-二-x乞0和0：x岂-：两种情况讨论，求出函数y二f x的零点，可判断命题 的正误；去绝对值，将函数y二f x的解析式化简，结合正弦设f n j = f m = t，则m、图所第9 9页共 2121 页型函数的单调性可判断出命题的正误. .【详解】对于命题，函数y二f x的定义域为R，关于原点对称，且偶函数，命题正确;对于命题 ，当函数y=f(x)取最大值

5、时，cosx兰0，贝UITIT2kx _2kk Z. .22当2k兀一;兰x 2k兀(k Z)时，f (x )=cosxsin x = J2cos x十才l,tJJIJT*JI此时，2kx 2kk Z，当x永二k Z，函数y = f x4444取得最大值、2. .当2k兀x E2k兀壬Z)时f (x )= cosx +sin x = J2sin ! x + 2l -3此时，2kx_2kkZ，当x 2kkZ，函数y二fx4442取得最大值、2. .所以，函数y二f x的最大值为，2，命题错误；对于命题 ，当一加弐x空0时，令f x = cosx -sin x = 0，贝U tanx =1，此时3

6、二x二4当0：x _时，令f x二cosx sin x = 0，则tan x = -1，此时x=. .4所以，函数y = f x在区间丨-二二1上有且只有两个零点，命题 错误；JI,厂f兀)对于命题，当0cx 时f(x)= cosx + sin x =(2si n . x + I，则4I 4丿Tt31 31一：X442(n所以，函数y=f X在区间0,上单调递增，命题 错误 I 4丿因此，正确的命题序号为 . .cos x + sin f x =cos,X +| sinx = cosx + sin in x = f x，该函数的为第1010页共 2121 页故选：D.D.第1111页共 212

7、1 页【点睛】本题考查三角函数基本性质，解题的关键在于对自变量的取值范围进行分类讨论，并去绝对值，结合辅助角公式以及三角函数的基本性质来进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题 1212.已知函数f (x (aexex)(exex)与g(x)二e2x的图象恰有三个不同的公共点(其中 e e 为自然对数的底数)，则实数a的取值范围是()A- ,1IB B - -C ,1D D(1J2).I 2丿.i 22,. i 2.(疑2丿【答案】A A【解析】由两图象有三个公共点可得f(x)二g(x)有三个实根，变形得( ex exexa xi1x1，设t = h(x)二=，则关于t的方程(a t

8、)(1 t) = 1有两个不同e.ee的实数根t1,t2且h(x)“1,h(x)“2共有三个实数根，结合二次方程根的分布和h(x)的图象性质可得答案 【详解】 令f(x)二g(x)，可得(aexex)(exex)=e2x设t二h(x) ，则(a t)(1 t) =1，即t2(a 1)t a-1 =0. .ee(1 -x)h (x)-e当x 1时，h(x)单调递增且h(x) (-：,1)；当x 1时，h(x)单调递减且h(x) (0,1). .2 2(a+1) -4(a-1) = (a-1)40,可得 十兰丫1+弐1=1V e A e丿第1212页共 2121 页设该方程有两个不同的实根b,t2

9、，由题意得h（x）二ti,h（x）二t2共有三个实数根1若t =1是方程的根，贝U 1 a+1 a-仁0,即卩a =23则方程的另一个根为t，不合题意. .2若t =0是方程的根，则00a-1=：0，即 a=1a=1,则方程的另一个根为t二-2，不合题意. .所以关于t的方程的两根t1,t2（不妨令t1: t2）满足右：0讥:1. .故选：A.A.【点睛】本题考查函数与方程的综合问题，涉及导数、二次方程等，是一道难题，解题时要灵活运用等价转化、数形结合等数学思想方法. .二、填空题31313.若平面单位向量a,b满足（a +b） b = ，则向量a,b的夹角为 _2n【答案】上34 4 4,

10、4【解析】 利用数量积运算法则a b= a b cos日即可求解. .【详解】故答案为：上. .3【点睛】 本题考查利用数量积求向量的夹角，解题时要注意单位向量的模长为 夹角的取值范围为0,n. .所以 。a_V 0，1 +a +1 +a -1 =0,解得1a :21. .由单位向量可得a=1，设向量a, b的夹角为二则(a b) b = ab+b2=b|cos啊b1解得co?,n旷=3.1，还要注意向量第1313页共 2121 页1414 已知幕函数y二mxn（m, n，R）的图象经过点（4,2），则m-n二_第1414页共 2121 页【答案】-2【解析】利用幕函数的定义可得m=1,再利用

11、幕函数的图象过点(4,2)可求得n的值, 则答案可得 【详解】由y二mxn是幕函数，可得m = 1. .1由y = xn的图象经过点(4, 2)，可得2=4n，解得n21 1所以m -n =1 -二一.2 21故答案为：丄.2【点睛】本题考查幕函数，利用定义求解即可，是一道基础题. .411515.正项等比数列an满足43，且 2 2a2,- a4,a?成等差数列，设42bn二anan1(nN*)，则b4川bn取得最小值时的n值为_.【答案】2【解析】先由题意列关于a“q的方程组，求得an的通项公式，再表示出 g , 即可求得答案. .【详解】 设等比数列an的公比为q. .132由2a2,a

12、4,a3成等差数列，可得a=2a?a3，则ag= 2c1q - ag,2所以q2 q，解得q = T (舍去) )或q= 2. .251 1因为q aa1ag，所以. .44 41n 4n -3n -3 n -22n-5所以an2=2. .所以bn二anan1=22=2. .4当n =2时，n(n -4)取得最小值，db?川bn取得最小值故答案为：2. .【点睛】所以bid川bn=23 1 1 3|i| (2 n -5)-n (2 n -8)=222n(n4),第1515页共 2121 页本题考查数列的综合问题，涉及等比数列、等差数列、等比数列求积、求最值等 利用等比数列的基本量进行运算是解题

13、的突破口1616 .已知函数f x对-X R满足f x 2二f -x,f x f x f x 2, 且f (X)AO，若f (1 ) = 4，则f (2019)+ f (2020) =_.3【答案】-4【解析】根据题意推导出函数y二f x的周期为6，并求出f 0、f 1、f 2、f 3、f 4、f 5，并结合周期性得出f 2019 f 2020的值. .【详解】f x 0且fx1二fxfx 2，得fx 2二f x一亠二亠亠二f(x+1) f(x) f(x+1) f(x) y=f x是以6为周期的周期函数，2,f x -f -x,f x f x f -x，可得f 0二f 1 =4,f (1 )1

14、1f 0 -2，又f 1=4，得f 2二荷=2,f 3=77，.f 2019 f 2020 =f 6 336 3 f 6 336 4二f3 f 4二丄1=-2443故答案为：-.4【点睛】本题考查利用函数的周期性求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题 三、解答题x R,第1616页共 2121 页1717数列:an ?中,a-1,an=2an二-；1 n N*，数列；g满足n*b -2 ann N.(I I )求证：数列:bn/是等差数列，并求数列 :务？的通项公式；, n(II(II )设Cn= log2，求数列annO/|A【答案】(证明详见解析，an

15、存；(n)“2一百一二fl 1配凑成2nan=2n%+-1由此证得数列bn是等差12丿数列 求得bn的表达式，进而求得数列 唧 的通项公式(II(II )先求得Cn的表达式，然后利用裂项求和法求得Tn. .【详解】而bn= 2nan, bn= bn 1 T，即g 1 -0= 1.又Q =2ai=1，数列bn是首项和公差均为 1 1 的等差数列.nn Cn=log2log22 an2 _ 2 _ 1 1cncn 2n(n 2) n n 2_3112 n 1 n 2【点睛】本小题主要考查配凑法求数列的通项公式，考查裂项求和法，考查等差数列的证明，属于基础题 的前 n n 项Tn.【解析】(D将a2

16、3nd(1)由an=2a即2nan =2n1ani-1.于是bn二1(n -1)1二n =2nan,an2n(II(IIJ：3 24 r5+ i-n -1丄丄一丄“丄 匚n1 n n 22 n1 n 22第1717页共 2121 页1818.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足tan asinC 2bcos= =acosC.22 22(1(1)求B;(2(2)若b=6，求a2c2的最小值.2n【答案】(1 1)-; (2 2)24. .3【解析】(1)(1)先化切为弦，再利用三角恒等变换、正弦定理化简，可得答案 (2)(2)利用余弦定理和均值不等式求解，也可以利用正弦定理和三角

17、函数的性质求解【详解】(1)TtanA asinC 2bcos = acosC，2(2 2丿2.A(CAACsinasi n2b cos =acos cos2I22)22AA(ACA .C.2b sincos=a 1 coscos - sinsin22I2222-.AA+Cn-B . Bb sin A二a cos = a cos = as in2 2 2B由正弦定理得sinBsin A二sinAsin 2BBBTsin A严0,- 2sin cos=sin 222.BeB 1sin 0,- cos =. .2 2 2D2n丫0 Bn,B. .32n(2 2)方法一：Bn,b=6,3由余弦定理得

18、b2=a2亠c2- 2accos B,2,2丄cca c ac = 362 2丿a +cac二22n兀由基本不等式得=”成立)，36空a2c22 2a ca2c2- 24，即a2c2的最小值为24. .2第1818页共 2121 页方法Aa,心,第1919页共 2121 页a c 6由正弦定理得sinAsinC_ 2nsin 3a =4 .3sin A,c=4、.3sinC. .2 2 2 2a c = 48(sin A sin C)i1 -cos2A 1 -cos2C =48 -+-2丿=48-24 cos2A cos勺-2A:13丿= 4824 -cos2A+逅sin2AI22丿=48 -

19、24sin 2A+ - I I6丿.-24 _ a2 c2: 36，则a2c2的最小值为24. .【点睛】本题考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理、最值的求法等，一般需综合利用三角恒等变换和三角函数的性质进行解题 . .佃如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC_平面ABCPAC为等边三角形,AB _ AC，D是BC的中点. .（2 2）若AB = AC=2，求二面角D - PA - B平面角的余弦值. .【答案】（1 1）证明见解析；（2 2）痘.7【解析】（1 1）取AC的中点E，连接PE、DE，证明AC_平面PDE，从而得出ACAC _ _ PDPD ;(2 2)证明出PE_平面ABC,可

20、得出PE、AC、DE两两垂直，以点E为坐标原点， ECEC、ED、nn5n2A，则66 67 7-sin 2A + - l 12B（1 1）证明：ACAC _PD_PD ;第2020页共 2121 页EP所在直线分别为x轴、y轴、z z 轴建立空间直角坐标系E-xyz，然后 计算出平面PAD、PAB的法向量，利用空间向量法求出二面角D_PA_B平面角的 余弦值 【详解】(1 1)证明：取AC中点E,联结DE、PE，Q PAC为等边三角形，E为AC的中点，.PE_AC. .QD是BC的中点，E为AC中点，.DE/AB，:AB _ AC，DE _ AC TPEfDE二E,. AC_ 平面PDE，Q

21、 PD二平面PDE，AC _ PD；T平面PAC_平面ABC，平面PACCl平面ABC = AC，PE平面PAC，.PE_平面ABC，贝UPE、AC、DE两两垂直，以点E为坐标原点，ECEC、ED、EP所在直线分别为x轴、y轴、z z 轴建立空间直角坐标系E - xyz,则C 1,0,0、A -1,0,0、B -1,2,0、D 0,1,0、P 0,0,、3. .设平面PAD的法向量为Jx1, y1,z1,7D=：0,1,i、3,PA+1,0,一一3. .第2121页共 2121 页所以，平面PAD的一个法向量为n h7；3,、3,1. .设平面PAB的法向量为m= x2,y2,z2,AB二0,

22、2,0,，得力 一_ ，取Z2=1，得X2 =J3，_ X2 _* 3 Z2 0所以，平面PAB的一个法向量为m二-.3,0,1. .结合图形可知，二面角D - PA - B的平面角为锐角，其余弦值为【点睛】本题考查异面直线垂直的判定，同时也考查了二面角余弦值的计算,直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题2 22020 已知椭圆C:%笃-1(a b 0)的一个焦点与抛物线y2=4、3x的焦点重合，a b且此抛物线的准线被椭圆C C 截得的弦长为 1 1.(I) 求椭圆 C C 的标准方程；(II)直线 l l 交椭圆 C C 于 A A, B B 两点，线段

23、ABAB 的中点为M(1,t)，直线 m m 是线段 ABAB 的 垂直平分线，试问直线m过定点坐标.x2【答案】(I)y2=1； (n)4a,b的值，进而求得椭圆的标准方程(II(II)首先根据M在椭圆C的内部，求得t的取值范围 分成I的斜率存在或者不存在两【详解】(I(I)抛物线 y y2=4、3X的焦点为( ( 3,0)3,0)，则c=：3抛物线的准线X- - “3 3 被椭圆 C C邸m=om =o贝y cos：m,2.72、.77般需要建立空间【解析】(I I)根据抛物线的焦点坐标求得椭圆c，结合-2 = 1以及a2二b2 c2，求得a种情况进行分类讨论，求出直线m的方程，由此判断直

24、线m过定点町截得的弦长为1,所以2b2=1，结合a2二b2c2，解得a2=4,b b2 2=1 .由mn第2222页共 2121 页2故椭圆 C C 的标准方程为y2=1.4(II(II)显然点M(1,t)在椭圆 C C 内部，故一丄3，-1,11，且直线的斜率不为0 02 2当直线 I I 的斜率存在且不为 0 0 时，易知t = 0，设直线 I I 的方程为y二k(x _1) t代入椭圆方程并化简得：2 2 2 2 2(1 4k )x (8kt-8k)x 4k -8kt 4t -4=0当直线 I I 的斜率不存在时，易知t = 0，此时直线m: y = 0，故直线综上所述，直线 m m 过

25、定点3,0.14丿【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查椭圆标准方程的求法， 考查直线和椭圆的位置 关系，考查直线过定点问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思 想方法，属于中档题 12121 .已知函数f(x)二x aln x(a R).x(I)若点e,1在f(x )图像上，求曲线y=f(x)在点e,1I e丿(II(II)若函数g(xx2f (x) 2ln x-ax(其中f (x)是 f f (x)(x)的导函数)有两个极值 点x1,x2，且x!:x2e，求 g g x xi- - g g X X2的取值范围.2(21)【答案】(I)X-e2y-2e=0； ( n )

26、0,e2-4. .V e丿(1 )【解析】(l l)利用点.e,-丄 求得a,利用导数求得切线的斜率，由点斜式求得切线方 e丿程 (iiii)先求得g x的解析式和定义域 根据g x极值点的个数和范围， 求得a的取值范设A(x)，2罟=2，解得k=14t因为直线 m m 是线段 ABAB 的垂直平分线,故直线m: y -1二4t(x -1)，即：y=t(4x-3).3令4x 3 = 0,此时x = ,y = 0,4于是直线 m m 过定点-,0.m m 过定点i3,014丿处的切线方程;第2323页共 2121 页围、x x1；x2x2 的数量关系以及 花的取值范围 化简 g g x xi-g

27、-g X X2的表达式为只含 为的形式,利用导数求得这个表达式的取值范围，由此求得g g 为-g-g x x2的取值范围 【详解】-ax = x2-2ax 21 n x T，则g(x)的定义域为2(0,f),g(x) =2x-2a=蛰 坐卫，若g(x)有两个极值点 为、x?，且x 2:二a4 01人：x2: e，xix a, x1x2=1. .由a得a 2，且 人：1.0e22 2所以g X1-g x2二为-2a为2ln为-刈2ax -2In沁=捲X2音一X2；-2a音一X2 i亠41 n为=-x1x2片x24ln片1212-x14ln x1x1X1e设h(t) =-t24In tl1te故h

28、(t)在t (0,1)单调递减，从而h(t) h(1)=0,h(t)：h1二e./【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求取值范围，考查化归与转( (I I) f f (x)(x)的定义域为(0, ：),护”1a而f (xV ，即f (x)x x1e1f (e) p ,eee1 1所以方程为y2(x-e) =1f (e)二e - a =e1 e = ，x x故所求切线的斜率为x -e2y -2e = 0.2(11)g(x) = x f (x) 2ln x则h吟一2t菩222 t2-1t31:0在t(一，1)上恒成立e:t : 1,二e2-2-4e所以 g g 捲 X X2的取值范围是0,e2二-4、e第2424页共 2121 页化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题x = rcos,出22.在平面直角坐标系中，曲线G G 的参数方程为（r r 0 0 , 为参数）,y = 2 + rsi n/ n以坐标原点0为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G经过点P 2,，曲I 6丿2线G2的极坐标方程为（2 cos 2） = 6.（1 1）求曲线Gi的极坐标方程;/ 11（2 2）若A（6）,B嘉厂 匚 是曲线C2上两点，求 R 訂的值.I2丿|0A|0B|2 2【答案】（1 1）=4sinr；（2 2）. .3（n【解析